复合函数的单调性-必修一精品PPT课件
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(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是 (5) 增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] (6) 为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增 (6) 函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] (7) 为减函数。
四.复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g(x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
例3.试判断函数f(
x)
1
2
2 x
1
的单调性。
变式1：
试判断函数f(x)
2x 2x
1 的单调性。 1
变式2：
试判断函数f(x)
ax ax
1(a 1
0且a
1)的单调性。
小结：
（1）求复合函数的单调区间；
原则：同增异减 注意：首先要求函数的定义域。
（2）运用常用结论判断函数单调性。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
练习1.讨论函数
f (x) (1) x2 2x 的单调性。 3
例2.求函数 f (x) log 1 (x25x6)的单调区间。
2
练习2.讨论函数 f (x) log2(2x2x6)的单调性。
五.有关函数单调性的常用结论
❖ f(x)、g(x)的单调性相同时， f(x)+g(x)的单调性不变；
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。
例1.求函数y 3x2 2x6的单调递减区间 。
解：函数f (x)的定义域是R。
令u x2 2x 6 x 12 7,则y 3u
y 3u 在定义域内是增函数。
又u x 12 7在 ,1上是减函数，在1,上是增函数。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为, ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为, 。
y k (k 0) x
y
y k k 0
x
O
x
图象的函数解析式是：y k k 0。此函数是反比例函数。
x
当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在0,上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在0,上也是增函数。
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2 ,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就说y f (x) 在区间I上是单调减函数。
函数的单调性是函数的局部性质。
二.常用函数的单调性
y
y kx b(k 0)
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数，
复合函数的单调性
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数f (x)的定义域为A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2 ,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
y
y ax (0 a 1)
y a x (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)。此函数是指数函数。
当a 1时，函数在 ,上是增函数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
❖ f(x)、g(x)的单调性相反时， f(x)-g(x)的单调性与f(x) 的单调性相同；
❖ 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同， a
的单调性与f(x)的单调性相反；
f (x)
❖ 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反，
的单调性与f(x)的单调性相同。
a
f (x)
y 3x2 2x6 在 ,1上是减函数，在1,上是增函数。
y 3x2 2x6的单调递减区间为 ，1
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
(2) 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域；
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x b
x
2a
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax2 bx c(a 0)。Βιβλιοθήκη Baidu函数是二次函数。
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是减函数，在
b 2a
,
上是增函数；
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是增函数，在
b 2a
,
上是减函数。
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是 (5) 增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] (6) 为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增 (6) 函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] (7) 为减函数。
四.复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g(x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
例3.试判断函数f(
x)
1
2
2 x
1
的单调性。
变式1：
试判断函数f(x)
2x 2x
1 的单调性。 1
变式2：
试判断函数f(x)
ax ax
1(a 1
0且a
1)的单调性。
小结：
（1）求复合函数的单调区间；
原则：同增异减 注意：首先要求函数的定义域。
（2）运用常用结论判断函数单调性。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
练习1.讨论函数
f (x) (1) x2 2x 的单调性。 3
例2.求函数 f (x) log 1 (x25x6)的单调区间。
2
练习2.讨论函数 f (x) log2(2x2x6)的单调性。
五.有关函数单调性的常用结论
❖ f(x)、g(x)的单调性相同时， f(x)+g(x)的单调性不变；
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。
例1.求函数y 3x2 2x6的单调递减区间 。
解：函数f (x)的定义域是R。
令u x2 2x 6 x 12 7,则y 3u
y 3u 在定义域内是增函数。
又u x 12 7在 ,1上是减函数，在1,上是增函数。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为, ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为, 。
y k (k 0) x
y
y k k 0
x
O
x
图象的函数解析式是：y k k 0。此函数是反比例函数。
x
当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在0,上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在0,上也是增函数。
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2 ,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就说y f (x) 在区间I上是单调减函数。
函数的单调性是函数的局部性质。
二.常用函数的单调性
y
y kx b(k 0)
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数，
复合函数的单调性
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数f (x)的定义域为A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2 ,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
y
y ax (0 a 1)
y a x (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)。此函数是指数函数。
当a 1时，函数在 ,上是增函数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
❖ f(x)、g(x)的单调性相反时， f(x)-g(x)的单调性与f(x) 的单调性相同；
❖ 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同， a
的单调性与f(x)的单调性相反；
f (x)
❖ 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反，
的单调性与f(x)的单调性相同。
a
f (x)
y 3x2 2x6 在 ,1上是减函数，在1,上是增函数。
y 3x2 2x6的单调递减区间为 ，1
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
(2) 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域；
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x b
x
2a
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax2 bx c(a 0)。Βιβλιοθήκη Baidu函数是二次函数。
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是减函数，在
b 2a
,
上是增函数；
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是增函数，在
b 2a
,
上是减函数。