中考数学《二次函数与等腰三角形》复习

①当OM＝OC时，则m2＋(-
3 4
m＋3)2＝9，解得m1＝
72 25
，
m2＝0(舍去)，此时点M的坐标为(
72 25
，21 25
)；
②m③4当当＝CM- M15C2 ＝＝(舍OO去CM时)时，，，此则则时mm点22＋＋M(的( 343坐mm标))22为＝＝(m9，1522＋解，(65-得)3；mm3＋＝3152)2，，解得
m5＝2，此时点M的坐标为(24，32 )．
4
综上所述，满足条件的点M的坐标分别为
( 72 ，21 )，( 12 ，6 )和(2，3 )．
25 25
55
2
3
，例题解图①
∴点P的纵坐标为
3 2
，
2
∴点P的坐标为(
5 2
，
3 2
)；
(4)如图③,在抛物线的对称轴上是否存在 一点G,使得△COG是以CO为腰的等腰三 角形,若存在,求点G的坐标,若不存在,请说 明理由; （4）【思维教练】
例题图③
解：存在．如解图②，设对称轴x＝ 52与x轴交点为F.
(i)当点C为顶点时，以点C为圆心，OC长为半
第二部分 攻克题型得高分
题型八 二次函数综合题
类型一 等腰三角形的存在性问题
典例精析 例 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(1,0),B(4,0), 与y轴的交点为C(0,3).
(1)求该抛物线的解析式及其对称轴； （1）【思维教练】
(1)∵抛物线过点A（1,0），B（4,0），
∴设抛物线的解析式为y=a(x－1)(x－4)（a≠0），
3 4
x＋3.
∵点M在线段BC上，
∴设点M的坐标为(m，

3 4
m＋3)，(0＜m＜4)，
如解图③，过点M分别作x轴、y轴的垂线MN、MP.
在Rt△MON和Rt△MPC中，根据勾股定理得：
MO2＝m2＋(
3 4
m＋3)2，
例题解图③
MC2＝m2＋( 3 m)2， 4
要使△COM是等腰三角形，则分三种情况讨论：
2
2
11 2
＝
6
2
11
，
例题解图②
(ii)当点O为顶点时，以点O为圆心，以OC长为半径画弧，
与由对解称图轴②可x＝知52O交G3于＝GO3C，＝G34两，点，连接OG3、OG4.
在Rt△OFG3中，FG3=
， 11
2
∴点G3坐标为(
5，
2
同理得点G4坐标为(
11 )，
25 2
，-
211)．
综上所述，满足条件的点G共有4个坐标，分别为
G1(
5 2
，6
2
11)，G2(
5 2
，6 2
11
)，G3(
5 2
， 11 2
)，G4(
5 ，-
2
11 )；
2
(5)如图④,连接BC,线段BC上是否存在点M,
使△COM是等腰三角形,若存在,求出点
M的坐标,若不存在,请说明理由.
（5）【思维教练】未明确说明等腰三角形
的腰和底，故要分类讨论：①OM＝OC；
例题图②
解：由(1)知抛物线对称轴为直线x＝
5
2.
∵点P在对称轴上，∴设点P坐标为(
5 2
，y)．
要使△COP是以CO为底的等腰三角形，
则PC＝PO.如解图①，过OC的中点E作PE⊥CO，
PE与对称轴直线x＝ 5 的交点即为所求点P.
连接CP、PO，
2
∵点C坐标为(0，3)，则OC的中点E的纵坐标为
径画弧，与对称轴x＝
5 2
交于G1、G2两点，
连接CG1、CG2，过点C作CH⊥G1G2于点H.
∴∴∴CGGG11HF1＝ ＝＝CO212111＝＋，33，＝C6H2 1＝1 ，OF＝
5 2
，
∴点G1坐标为( 同∴点理G得2G坐2标H＝为(211
5 2
，6 2 11 )．
，FG2＝3－
5 ，6 11 )．
例题图①
（2）∵点D在OB上运动，设点D（d,0），B（4,0）
（0≤d≤4）
∴BD=4-d；
在Rt△COD中，OC=3，OD=d，
∴CD2=OC2+OD2=32+d2,
∵BD=CD，
∴BD2=CD2，∴(4－d)2=32+d2，
解得d=
7 8
.
∴点D的坐标为（ 7 ，0）；
8
(3)如图②,P为抛物线对称轴上一点,且 △COP是以CO为底的等腰三角形,求点 P的坐标； （3）【思维教练】
例题图④
②MC＝OC；③CM＝OM分别求解，若有解，则存在；
若无解，则不存在．
解：存在．设直线BC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将点
C(0，3)，B(4，0)代入解析式中，
得 ，解得 ， 4kb1 1
3
b1
0

Байду номын сангаас
b1 3
k
1


3 4
∴直线BC的解析式为y=
将点C（0,3）代入得a(0－1)(0－4)=3，
解得a=
3 4
；∴抛物线的解析式为y=
3 4
(x－1)(x－4)，
即y=
3 4
x2－ 15 x+3 4
∴抛物线对称轴为直线x=- b = 5 ;
2a
2
(2)如图①,D为OB上的一点,连接CD,若CD=BD,求 点D的坐标；
（2）【思维教练】点D在x轴上， 可设出D点坐标，再由CD＝BD列 出等式，求解D点坐标．