切比雪夫求积公式

与任何次数不超过 n的多项式 P(带x)权 正 (交x)，
即
b
a P(x)n1(x) (x)dx 0.
证明 必要性.
设 P(x) Hn , 则 P(x)n1(x) H2n1,
（5.5）
9
因此，如果 x0 , x1, , xn 是高斯点，则求积公式(5.1)对于
f (x) P(x)精确n1成(x立) ，
于是
f ( x) H 2n1
f (2n2) (2n
( )
2)!
2 n1
(
x)
13
两端乘 (，x)并由 到a 积分b ，则得
b
b
I a f (x)(x)dx a H2n1(x)(x)dx Rn[ f ].
（5.7）
其中右端第一项积分对 2n 次1多项式精确成立，故
推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的.
定理7 设 f (x) C[a, b], 则高斯求积公式(5.1)收敛，
即
n
b
lim
n
k 0
Ak
f
( xk )

a
f (x) ( x)dx.
16
4.5.2 高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中， 若取权函数 (x) 1, 区间为
解 令公式(5.3)对于 f (x) 1, x准, 确x2成, x立3 ，
得

A0 x0 A0
A1

2; 3
x0 A0
2; 5

x02 A0

x12 A1

2; 7

x03 A0

x13 A1

2. 9
（5.3）
（5.4）
5
由于
x0 A0 x1 A1 x0 ( A0 A1) (x1 x0 ) A1,
其中 P(x),q(x.)Hn 由(5.5)可得
b
b
a f (x) (x)dx a q(x) (x)dx.
（5.6）
10
由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 q(x)是H精n 确的，
即
b
n
q(x) (x)dx
a
Ak q(xk ).
k 0
再注意到
n1(xk ) 0 (k 0,1, ,n), 知
0.8611363 3
0.3399810
0.9061798
4 0.5384693
0.0000000
Ak 2.0000000
1.0000000 0.5555556
0.8888889 0.3478548
0.6521452 0.2369269
0.4786287
0.5688889
20
由(5.8)式， 公式(5.9)的余项
[1,1], 则得公式
1
n
f (x)dx
1
Ak f ( xk ).
k 0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [1上,1]的正交多项式，因此，
勒让德多项式 Pn1(的x)零点就是求积公式(5.9)的高斯点.
形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.
17
若取
P1(x的) 零x点 做节x0 点 0构造求积公式
( x)dx


0, 2
m
2n 1
m
n; n.
21
得
Rn [
f
]

22n3[(n 1)!]4 (2n 3)[(2n 2)!]3
f (2n2) ( )
当 n 时1，有
(1,1).
（5.10）
R1[ f
] 1 135
f
(4) ( ).
它比区间 [1上,1]辛普森公式的余项
即
n
Ak xkm
b xm (x)dx
a
k 0
m 0,1, ,2n 1. （5.2）
当给定权函数 (，x)求出右端积分，则可由(5.2)解得
xk 及Ak (k 0,1, , n).
4
例5 试构造下列积分的高斯求积公式：
1
0 x f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1).
(
x)

(
x)dx.
（5.8）
关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：
14
定理6 高斯求积公式(5.1)的求积系数 Ak (k 0,1, , n) 全是正的.
证明 考察
lk (x)
n j 0
x xj , xk x j
jk
它是 n次多项式， 因而 lk2 (x是) 次2多n 项式，
故一般不通过解方程(5.2)求 xk及Ak (k ，0,1, ,n)
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
8
定理5 插值型求积公式(5.1)的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn )
即有
b
n
a P( x)n1( x) ( x)dx Ak P( xk )n1( xk ).
k 0
因 n1(xk ) 0(k 0,1, , n), 故(5.5)成立.
充分性. 对于 f (x) H2n1, 用 n1(除x) ，f ( x)
记商为 P( x，) 余式为q(x，) 即 f (x) P(x)n1,(x) q(x)
Rn[ f ]
f (2n2) ( )
(2n 2)!
1 1
P~n21
(
x)dx
[1,1],
这里 P~n1(是x)最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7)
P~n (x)

n! (2n)!
dn dx n
[( x2
1)n ].
1 1
Pn
( x) Pm
公式(5.1)对于它能准确成立，即有
故高斯求积
0
b a
lk2 ( x) ( x)dx

n
Ailk2 ( xi ).
i0
注意到 lk (xi ) ki ,上式右端实际上即等于 Ak , 从而有
15
定理得证.
Ak
b a
lk2
(x) (x)dx

0.
由本定理及定理2，则得
f (x) 1 x2
n
dx Ak f ( xk ).
1) 3

A1
f
(
1 ), 3
18
令它对 f (x) 都1,准x 确成立，有

A0 A0
A1 1 3
2;

A1
1 0. 3
由此解出 A0 A1 1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式
1 f (x)dx f ( 1 ) f ( 1 ).
1
3
3
三点高斯-勒让德公式的形式是
1
5
15 8
5 15
f (x)dx f ( ) f (0) f ( ).
1
9
59
95
表4-7列出高斯-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数.
19
表4-7
n
xk
0
0.0000000
1 0.5773503 0.7745967
2 0.0000000
x1

10 9
,
7
x0 0.821162, AFra Baidu bibliotek 0.389111,
x1 0.289949; A1 0.277556.
这样，形如(5.3)的高斯公式是
1
0 x f (x)dx 0.389111 f (0.821162)
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 n就很2难求解.
利用(5.4)的第1式，可将第2式化为
2 3
x0
( x1

x0 ) A1

2. 5
同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得
2 5
x0

( x1

x0 ) x1 A1

2; 7
2 7
x0
( x1

x0 ) x12 A1

2. 9
从上面三个式子消去 (x1 x0有) A1,
6
2

5 2
7
x0 x0

(2 5
(2 7

2
3 2
5
x0 ) x1 x0 ) x1

2
7 2
9
; .
进一步整理得
2

5 2
7
( x0 ( x0

x1 ) x1 )

2
3 2
5
x0 x1 x0 x1

2; 7 2. 9
由此解出
从而
x0 x1

5, 21
x0

的线性方程. 解此方程则得 Ak (k 0,1, , n).
12
也可直接由 x0 , x1的,插,值xn多项式求出求积系数
Ak (k 0,1, , n).
下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.
利用 f在(x节) 点 H 2n1, 即
xk (k 的0埃,1,尔米, n特)插值
H2n1(xk ) f (xk ), H 2n1(xk ) f (xk ), k 0,1, , n.
a
2 1 2
2
对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.
23
例6 用4点n( 3)的高斯-勒让德求积公式计算
π
I 2 x2 cos xdx. 0
解 先将区间 [0, π化]为 ，[1,1] 由(5.11)有
2
I
1

π
3

(1 t ) 2
cos
π
(1 t )dt.
4.5 高斯求积公式
1
4.5.1 一般理论
求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
含有 2n 个2待定参数 xk , Ak (k 0,1, , n).
当 为x等k 距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少
为 次n.
如果适当选取 xk (k 0有,1,可能, n使),求积公式 具有 2n 次1代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)
定理表明在 [a上, b带]权 的 (x)次正n交多1项式的 零点就是求积公式(5.1)的高斯点.
有了求积节点 xk (k 0，,1再,利,用n)
n
Ak xkm
b xm (x)dx
a
k 0
对 m 0,1,成立, n，
则得到一组关于求积系数 A0 , A1, , An
1 4
4
根据表4-7中n 的3 节点及系数值可求得
3
I Ak f (xk ) 0.467402. (准确值I 0.467401 ). k 0
24
4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式
若 a 1且, b取权1,函数
(x) 1 ,
1 x2
则所建立的高斯公式为
1 1
q(xk ) f (xk ) (k 0,1, ,n),
从而由(5.6)有
b
b
n
f (x)(x)dx q(x)(x)dx
a
a
Ak f ( xk ).
k 0
11
可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 2n的1多项式均精 确成立. 因此， xk (k 0,为1,高斯, n点) .
n
Rn[ f ] I Ak f (xk )
k 0
b a
f (2n2) ( )
(2n 2)!
2 n1
(
x)

(
x)dx.
由于
2 n 1
(
x)

(
x)

0,
由积分中值定理得(5.1)的余项为
Rn[ f ]
f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
2 n1
求积公式.
2
为具有一般性，研究带权积分
b
I a f (x) (x)dx,
这里 (为x)权函数， 类似(1.3)，求积公式为
b
n
f ( x) (x)dx
a
Ak f ( xk ),
k 0
（5.1）
Ak (k 0,1, , n)为不依赖于 f (的x)求积系数.
xk (k 0,1, , n)为求积节点， 可适当选取 xk 及Ak
R1[ f
] 1 90
f
(4) ( )
还小，且比辛普森公式少算一个函数值.
当积分区间不是 [，1而,1]是一般的区间 时[a，, b]
只要做变换
22
x bat ab,
2
2
可将[a,化b]为 [,1,1] 这时
b f (x)dx b a 1 f b a t a b dt. （5.10）
1
1 f (x)dx A0 f (0).
令它对 f (x)准 1确成立，即可定出 A0 2. 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为
1 f ( x)dx 1 f (0),
1
2
是中矩形公式.
再取
P2 (x)

1的(3两x2个1零) 点
2
构造求积1公式
3
1
1 f ( x)dx A0 f (
(k 0,1, , n), 使（5.1）具有 2n 1次代数精度. 定义4 如果求积公式(5.1)具有 2n次1代数精度，
则称其节点 xk (k 0,1为,高,斯n)点，相应公式(5.1)称为高斯求 积公式.
3
根据定义要使(5.1)具有 2次n代1数精度，只要对 f (x) xm , (m 0,1, ,2n 1), 令(5.1)精确成立，