常微分方程的初等解法与求解技巧

师大学本科毕业论文（设计）

常微分方程的初等解法与求解技巧

姓名娟

院系数学与计算机科学学院

专业信息与计算科学

班级12510201

学号1251020126

指导教师王晓锋

答辩日期

成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧

容摘要

常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.

【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary

Differential Equation

Abstract

Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.

【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

目录

1.引论

1 2.变量分离方程与变量变换

1 2.1变量分离方程的解法 1 2.2变量分离方程的举例

2 2.3变量分离方程的几种类型

2 3.线性微分方程和常数变易法

6 3.1线性微分方程与常数变易法 6 3.2伯努利微分方程

8 4.恰当微分方程与积分因子

9 4.1恰当微分方程 9 4.2积分因子

11 5.一阶隐式微分方程与参数表示

13 5.1一阶隐式微分方程的主要类型

13 6.常微分方程的若干求解技巧

18 6.1将一阶微分方程dx

dy

变为dy dx 的形式

18 6.2分项组合

19 6.3积分因子的选择

21 7.总结 21

参考文献 错误!未定义书签。

致 22

常微分方程的初等解法与求解技巧

学生：娟 指导教师：王晓锋 1.引论

常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].

常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].

常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.

2.变量分离方程与变量变换

2.1变量分离方程的解法

对于变量分离方程

)()(y x f dx

dy

ϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：

dx x f y dy

)()

(=ϕ， 两边积分，得到:

c dx x f y dy

+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.

如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy

+=⎰)()

(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.

2.2变量分离方程的举例

（1）

xy dx

dy

2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx y

dy

2=， 两边积分，得到：

12⎰⎰+=c xdx y dy

，1c 为任意实数．

故 2

x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2

x ce y =中， 故方程的通解为：

2

x ce y =，c 为任意实数．

2.3变量分离方程的几种类型 2.

3.1齐次微分方程

对于齐次微分方程

)(x

y

g dx dy =， 解法：令x

y

u =

则有： ux y =，

（2-1）

两边对x 求导得：

u dx du

x dx dy +=，

（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x y

g dx dy =中可得：

)(u g u dx

du x =+， 即 x

u

u g dx du -=

)(， 从而可以求得其解．

举例：求解方程)0(2<=+x y xy dx

dy

x .

解：原方程可化解为：