将军饮马模型

将军饮马模型

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型

作法

结论

l

B

A

当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．

l

P

A

B

连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．

P A ＋PB 的最小值为AB

l

A

B

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．

l

P

B'

A

B

作点B 关于直线l 的对称点B '，

连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．

P A ＋PB 的最小值为AB '

l

A

B

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．

l

P

A

B

连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P

即为所求作的点．

PA PB -的最大值为AB

l

A

B

当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．

l

B'

A

B

P

作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '

并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．

PA PB -的最大值为AB '

l A

B

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．

l

P

A

B

连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l

于点P ，点P 即为所求作的点．

PA PB -的最小值为0

模型实例

例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．

E

D

P

P

E C

D

解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，

∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3

例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB

-

的最大值是多少？

D

C

B

P

P

A'

B

C

解答：

如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．

∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°．

∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．

∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．

∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4．

练习

1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．

D

A

C

B E

解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，

此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．

连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．

2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．

x

y

B (2,0)A (0,3)

O

解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．

当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）． 设直线BA ′的解析式y=kx+b ，将点B 和点A ′的坐标代入得：k ＝34，b ＝−32．∴y=34x-32

． 将x=3代入函数的解析式，∴y 的值为

3

4

3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝7，M 是DC 上的一点，且DM ＝3，N 是AC 上的一动点，求|DN －MN |的最小值与最大值．