二次函数与特殊三角形、四边形综合题

二次函数与特殊三角形、四边形综合题

一、与等腰三角形、直角三角形相关

【例1】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点

出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．

（1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．

∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． ∴MC NC EC CD =． ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =

． 5分

（2）分三种情况讨论：

① 当MN NC =时，如图②作DF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．

∵4

sin 5

DF C CD ∠==，

∴3

cos 5C ∠=，

∴310225t

t -=⨯，

解得25

8

t =． 6分

② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，

∴()321025

t t =-⨯．

∴6017t =．7分

③ 当MC CN =时，如图④．

则102t t -=． 10

3

t =． -------------------------------------8分

综上所述，当258t =、6017

或10

3时，MNC △为等腰三角形．

A B M C N E D A

B

M C

N

F D A

B M C

N H

D

原图

【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，

1OA =，2OC =，点D 在边OC 上且5

4

OD =．

（1）求直线AC 的解析式． （2）在y 轴上是否存在点P ，直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ，使得DMC △为等腰三角形？若存在，直接写出．．．．

所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线2y x =-经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D 和点E （点E 在y 轴正半轴上），且ODE △沿DE 折叠后点O 落在边AB 上O '处？

y x

O D B

C A

解：（1）OA =1，OC =2 则A 点坐标为（0，1），C 点坐标为（2，0） 设直线AC 的解析式为y=kx+b

01

20

b k b +=⎧∴⎨

+=⎩ 解得121

k b ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩

∴直线AC 的解析式为1

12

y x =-+ ·················· 2分

（2）1235

55

(0)(0)(0(52))384P P P --+，，，

，，或35(0)4(52)

P --，

（正确一个得2分） ························ 8分

（3）如图，设(1)O x ′

， 过O ′点作O F OC ⊥′于F

22225

1()4

O D O F DF x ='+=+-′

由折叠知OD O D =′

2255

1()()44x ∴+-=

1

2

x ∴=或2 ··········· 10分

第25题

【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为反比例函数4

y x

=

(0)x >的图象上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将4

y x

=(0)x >的图象绕原点O 顺时针旋转90°

，A 点的对应点为'A ，B 点的对应点为'B ．

（1）求旋转后的图象解析式； （2）求'A 、'B 点的坐标；

（3）连结'AB ．动点M 从A 点出发沿线段'AB 以每秒1个单位长度的速度向终点'B 运动；动点N 同时从'B 点出发沿线段''B A 以每秒1个单位长度的速度向终点'A 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使'MNB △为等腰直角三角形的t 值，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

O

y

x

B '

A '

B A y =

4x

解：（1）旋转后的图象解析式为4

y x

=-

(0)x >． ……………………… 1分 （2）由旋转可得'A （4，-1）、'B （1，-4）． ………………………… 3分

（3）依题意，可知'45B ∠=︒．若'MNB △为直角三角形，则'MNB △同时也是等腰三角形，因

此，只需求使'MNB △为直角三角形的t 值．

分两种情况讨论：

①当'B NM ∠是直角，'B N MN =时，如图1，

∵AB ′=8，B ′A ′==32，AM=B ′N=MN=t ， ∴B ′M=8-t ，

∵222

''B N MN B M +=，

∴2

2

2

(8)t t t +=-． ………… 4分 解得 882t =-±（舍去负值）， ∴882t =-+． ……………… 5分 ②当'B MN ∠是直角，'B M MN =时， 如图2，