弯曲内力图

Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
写出平衡方程
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
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Fy= 0 Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0
得到
dFs(x) = q(x)
dx
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
F
FA a
b
FB
A
B
c
x x
l
Fb l
+ -
Fa l
+
Fba l
作剪力图和弯矩图的几条规律
（1）取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正；剪力图向 上为正；弯矩图向下为正。
（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处， 及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。
弯曲内力图
◆ 利用剪力方程和弯矩方程作图 ◆ 利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系作图 ◆ 利用叠加原理作图
一、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图 1. 剪力方程和弯矩方程 用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化
规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 。
即：
Fs = Fs (x ) M = M（x）
两支座内侧横截面上剪力
2
绝对值为最大
ql2
Fs , max

ql 2
8
例题3 : 图示的简支梁在 C 点处受集中荷载 F作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
F
FA a
b
FB
A
B
c
l
解：求梁的支反力
FA

Pb l
FB

Pa l
F
FA a
b
FB
A
B
c
l
因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写 剪力方程和弯矩方程。
（3） 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图） 有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成 一个尖角。
（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处 剪力图没有变化。
（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处； 梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面， 或 Fs= 0 的截面处。
( 6 x <8 )
FA
q
C
A
x
x
x
2m
4m
8.5kN
+ -
6kN
m
FB
B D
2m
-
3.5kN
AD: Fs (x) FA qx 14.5 3x
( 2<x 6 )
M
(x)

FA (x

2)

q 2
x2
14.5(x

2)

3 2
x2
C
(2x<6)
x
FA
q
A
x
由
dM (x) dx
2
dM (x) q(x) dx2
公式的几何意义 剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
2. q(x)、Fs（x）图、 M（x）图三者间的关系 （1）梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0
Fs(x) 图为一向右下方倾斜的直线 M(x) 图为一向下凸的二次抛物线
FA FB 051001 6 80KN
FA
q
FB
A
B
C
E
D
0.2m
1.6m
1m
2m
将梁分为 AC、CD、DB 三段。 AC和 DB上无荷载，CD 段有向下的均布荷载。
剪力图 AC段 ：水平直线
FsA右 = FA = 80 KN CD段： 向右下方的斜直线
Fsc FA 80KN
2
2
( 0 x 2)
M
(x)

FA (x

2)

q 2
x2
14.5(x

2)

3 2
x2
(2x<6)
Mmax 6.04kN.m
C 2m
A 4m
x=4.83m 6
M (x) 3.5(8 x)
-
B D
2m
(6<x8)
单位:kN.m
+
4
6.04
7
二、弯矩、剪力与分布荷载集度 间的微分关系及其应用 1. 弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
M ( x) 3.5(8 x)
(6<x8)
FA
q
C
A
x
x
x
2m
4m
m
FB
B D
2m
画剪力图 CA: Fs(x)= -qx = -3x
( 0 x< 2 ) AD: Fs (x) FA qx 14.5 3x
( 2<x 6 ) DB: Fs (x) FB 3.5kN
FB
A
B
x
l
M
(x)

FA x

qx
x 2

qlx 2

qx2 2
弯矩图为一条二次抛物线, 由
x 0, M 0
x =l , M=0
(0 x l)
FA
FB
A
B
x
l
M
(x)

FA x

qx
x 2

qlx 2

qx 2 2
(0 x l)
令 dM (x) ql qx 0
l
F
FA a
b
FB
M (x) Fa (l x) (a x l) (4)
A
c
B
l
x
x
l
由（2），（4）式可知，AC，
CB 两段梁的弯矩图各是一 条斜直线
+
Fba l
在集中荷载作用处的左， 右 两侧截面上:
剪力值（图）有突变 , 突变 值等于集中荷载F。 弯矩图形成尖角，该处 弯矩值最大 ，
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的 值，但剪力图无变化。
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上 的外力情 况
向下的均布 荷载
q<0
无荷载
集中力
F C
集中力偶 Me C
剪力图的特征
向下倾斜的 直线
或

弯矩图的特征
下凸的二次 抛物线
水平直线
+
在C处有突变
在C处无变化 C
例题4 ： 一简支梁受移动荷载 P 的作用如图所示。试求梁的 最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。
F
A
B
F
FA
FB
A
B
C
x
l
解：先设 F在距左支座A 为 x 的任意位置。求此情况下梁的 最大弯矩为极大。
荷载在任意位置时，支反力为：
F (l x) FA l
Fx FB l
F
当荷载 F 在距左支座为 x
F
A
B
l
F
A
B
x
l
解：将坐标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程 和
弯矩方程 ：
Fs (x) F M (x) Fx
(0 x l) (0 x l)
FsA左 0
FsA右 F
F
Fs (x) F
(0 x l) A x
M (x) Fx (0 x l)

Fs
(x)

0
得
x
2m
4m
14.5 - 3x = 0 x = 4.83m 为弯矩的极值点
x=4.83m 8.5kN
M max
14.5(4.83 2)
3 4.832 2
6.04kN.m
+
-
6kN
m
FB
B D
2m
-
3.5kN
画弯矩图
FA
q
m
FB
M (x) 1 qx2 3 x2
设梁上作用有任意分布荷载其集度 q = q(x)
y
F Me
x
q(x)
y
F Me
x
q(x)
规定：q(x) 向上为正。 将 x 轴的坐标原点取在梁的 左端 。
y
m
n
m
n
F Me x
mn
C
q(x)
x dx
n m
q(x)
假想地用坐标为 x 和 x+dx 的两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。

Fs
(x)
dFs (x) q(x) dx
2
dM (x) q(x) dx2
Fs(x)
o
x
o
x
o
x
M(x)
M(x)
梁上最大弯矩可能发生在 Fs(x) = 0 的截面上 ，或梁段边界的 截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。
在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。 弯矩图的相应处形成尖角。
由于dx 很小，略去 q(x) 沿 dx 的变化。
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
F Me x
m
Fs(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
m-m 截面上内力为 Fs(x) ， M(x) nn 截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。
m
3 2
x2
( 0 x 2)
AD:
FA
q
C
A
x
x
2m
4m
Fs (x) FA qx 14.5 3x
( 2<x 6 )
m
FB
B D
2m
M
(x)

FA (x

2)

q 2
x2
14.5(x

2)

3 2
x2
(2x<6)
DB:
Fs (x) FB 3.5kN
( 6 x <8 )
将坐标原点取在梁的左端
AC段：
Fs (x)

Fb l
(0 x a)
(1)
M (x) Fb x (0 x a)
(2)
l
F
FA a
b
FB
A
B
c
x x
l
CB段：
Fs (x)

Fb l

F


F (l b) l


Fa l
(a x l)
(3)
M (x) Fb x F (x a) Fa (l x) (a x l)
(0 x l)
x qlx qx2 M (x) FAx qx 2 2 2
(0 x l)
Fs (x)

ql 2

qx
(0 x l)
剪力图为一倾斜直线。
x=0 处 ，
Fs

ql 2
FA
A
x
l
x= l 处 ，
Fs


ql 2
绘出剪力图。
ql
2
+
FB
B
ql 2
FA
一般斜直线 在C处有尖角 在C处有突变
Me
或
或
最大弯矩所在 截面的可能位 在Fs=0的截面 置
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
例题6：一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。
FA
q
FB
A
B
C
E
D
0.2m
1.6m
1m
2m
解：计算梁的支反力
dx 2
得驻点
x l 2
弯矩的极值
M
max

M
x l 2

ql2 8
M
(x)

FA x

qx

x 2

qlx 2

qx2 2
(0 x l)
FA
FB
绘出弯矩图
A
B
x
l
+
ql2
8
l2
FA
A
x
l
ql
2
+
+
l2
FB
梁跨中截面上的弯矩值为最大
B
M max

ql2 8
但此截面上 ，Fs = 0
ql
M max

1 Fl 4
例题5：已知 q = 3kN/m , m = 3kN.m ，列内力方程并画内力图。
FA
q
m
FB
C
A
B D
2m
4m
2m
解： FA = 14.5 kN ， FB = 3.5 kN
CA:
Fs(x) = - qx = - 3x ( 0 x< 2 )
M
(x)


1 2
qx2


FA
FB
的任意位置 C 时，梁的弯
A
B
C
矩值为 ：
x
MC

FA x

F (l l
x)
x
l
令
dM C 0
dx
F (l 2x) 0 l
x
l 2
此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时， 梁的最大弯矩为极大。
将 x = l/2 代入式
MC

FA x

F (l l
x)
x
得最大弯矩值
dM (x) dx

Fs
(x)
dFs (x) q(x) dx
2
dM (x) q(x) dx2
Fs(x)
o
x
（2）梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线 当 Fs(x) > 0 时，向右下方倾斜。 当 Fs(x) < 0 时，向右上方倾斜。
dM (x) dx
写出平衡方程
MC 0
[M
(x)

dM
(x)]

M
(x)

Fs (x)dx

q(x)dx
dx 2

0
略去二阶无穷小量即得
m
Fs(x) M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
得到
dM (x) dx

Fs
(x)
dM (x) dx

Fs (x)
dFs (x) q(x) dx
2. 剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在 x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴下侧，负值画在 x 轴上侧
Fs(x)
Fs 图的坐标系
o
x
o
x
M 图的坐标系
M(x)
例题1：图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FsD FB 80KN
DB段 ：水平直线
FsB左 FB 80KN
FsB右 0
FA
q
FB
A
B
C
E
D
0.2m
1.6m
1m
2m
80KN
+
80KN
FA
q
FB
最大剪力发生在 CD 和 DB
A
B
(4)
l
l
Fs
(x)

Fb l
(0 x a)
(1)
Fs
(x)


Fa l
(a x l)
(3)
由（1），（3）两式可知，AC， CB 两段梁的剪力图各是一条平 行于 x 轴的直线。
F
FA a
b
FB
A
B
c
x x
l
Fb l
+ -
Fa l
M (x) Fb x (0 x a)
(2)
l
Fs
F
M
B
x x
例题2： 图示的简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载 作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。
FA
FB
A
B
l
解：求得两个支反力
FA

FB

ql 2
FA
FB
A
B
x
l
取距左端为 x 的任意横截面。写出 剪力方程 和 弯矩方程。
ql Fs (x) FA qx 2 qx