计算固体计算力学 - 第五章 接触和碰撞问题

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计算固体计算力学 接触判定条件
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第二节 接触问题的罚函数法
产生接触的两个物体必须满足无穿透的约束条件，数学上施加 无穿透约束的方法有拉格朗日乘子法，罚函数法以及直接约束法。
用拉格朗日乘子法、罚函数法或增广拉格朗日乘子法将接触约束条
件引入到系统的总泛函中，再根据变分原理或虚功原理得到系统的 总体平衡方程，求解的迭代过程实际上是一个搜索接触状态的过程
题处理中最基本的，在有限元中，这一问题可以归结为确定积分界
限的问题。而这一问题只有通过迭代过程才能求解，每次迭代必须 逐个检查接触点对的接触状态是否需要修改。
接触点对状态判定条件只能用于分析滑动量较小的情况。对于接触间
有较大相对滑动的情况，须用点-线，点-面或面-面接触条件。这些判定条
件要比点对判定条件复杂得多。
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利用坐标变换关系可得
如果考虑摩擦力，采用载荷增量法分析，离散化后的接触条件如下：
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分离的结点对
粘结结点对
滑移结点对
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第一节 接触面的连接条件和接触判定条件
二、接触面判定条件
接触求解的迭代过程首先假定可能接触区内各接触点对的接触状
态，根据相应的接触定解条件求解。但是，一般来说，开始假定的 接触状态并不符合实际，如何确定三种接触状态的分界点是接触问
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引言
研究内容： 接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷 下接触状态的变化；（解决如何描述的问题） 几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件； （解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？） 摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间 的关系； 求解方法问题：建立数学方程并加以求解。
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接触对P和Q间的相对位移为。
uP uQ N c d c
其中
N c I33 N1 N2 N3 N4
d c uT P

T u1
T u2
T u3
T u4

N i N i I33
i 1, 2, 3, 4
为方便引入接触条件，引入局部坐标系
T T c c u u T u u T N d P Q P Q
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二、有限元方程 粘结接触状态 由罚函数法有，局部坐标系下一个接触点对的接触力引起的等
效结点力向量
和罚系数有关的矩阵
F k 1 T T N c d c d
整体坐标系下接触力等效结点力向量



对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与 方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触 问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究 的热点。
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引言
研究内容浅析： 接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。 点－点（node-to-node）接触模式：将两接触体的接触面分成同样 的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递 通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地 按结点对来判断。优点－直观、简单、易于编程。缺点－对 于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。 点－面（node-to-surface）接触模式：先将两接触体人为地分为 主动体（master body）与被动体（slave body），并假定主 动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一 定是网格结点）相接触。优点－两接触体可根据自身情况剖 分网格。缺点－方法较复杂、编程难度大。
计算固体计算力学
博士研究生课程
计算固体力学
课程编号：017090
王生楠，谢伟
西北工业大学 航空学院
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授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题
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引言
接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性 连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲 击来传递。 接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片 与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。 研究现状：简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究， 但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有 了长足发展，并达到实用化程度。 接触问题的特点：属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而 是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并 与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。
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引言
研究内容浅析: （续） 几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的 同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形 式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。 摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（Coulomb）摩擦 定律，其中的摩擦系数为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于 接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触 面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物 体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理 非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、 动摩擦系数分开处理。
具体内容参考《线性与非线性有限元及其应用》，郭乙木等著
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第四节 Abaqus中的接触问题
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F
对称阵
k 1
N

c
T
T T N d N
T c c

c
T
T d
k 1 F k 1 Kc d c F
--系统的等效结点接触力向量
代入离散系统的平衡或运动方程
k 1 K K d k 1 F k 1 F k 1 Md c
2017/1/12
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引言
研究内容浅析: （续） 求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。 经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解。
数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统 总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为：
二次 规划 问题
寻求一组位移矢量 q ； 使系统总势能 取驻值； 并满足条件 h q 0 。
点Q一般不是单元的结点，其坐标和位移可由所在接触块上结点和 位移插值得到。假设主动接触块是二维的4结点单元，则有
xQ N i Q ,Q xi
i 1 4
uQ N i Q ,Q ui
i 1
4
x k 1 x k x k
uk 1 uk uk
其中： Q Q --Q点在接触块的自然坐标。
在有限元位移法中，借助于恰当的选择位移模式和形函数可以保
证连续体中单元内部的连续性和跨单元的连续性，而无需增加其他 条件。但在接触问题中，除了各相互接触物体内部变形的协调性以
外，还必须保证各接触物体之间在接触边界上变形的协调性，不可
以相互侵入，同时还包括摩擦条件—称为接触面的连续条件。
采用有限元法分析接触问题时，需要分别对接触物体进行有限元网格 划分，并规定在初始接触面上，两个物体对应结点的坐标位置相同，形成 接触对。整体和局部坐标系下，两个物体由于接触载荷引起的等效结点力 矢量分别记为
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第三节 接触单元
应用有限单元法分析接触问题，一种最为直接的方式是在接触 面上设立一种特殊形式的单元，一般称为接触单元，也称为界面单 元。通过这些单元与接触物体的连接、组装，建立接触系统的整体 的平衡方程。常用的接触单元，有两结点单元、岩土力学中的 Goodman单元、无厚度的四边形单元、薄层单元及无厚度六面体空 间单元等。
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ห้องสมุดไป่ตู้
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引入单边约束条件
线性互补问题
目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变 分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问 题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元 方法，而经典方法仍然在此框架之内。
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第一节 接触面的连接条件和接触判定条件
一、接触面的连接条件
。Abaqus/Standard中应用的是罚函数法——将约束条件引入势能
泛函分析。
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一、接触点对 将被动接触块上的结点P和主动接触块上与其接触的Q点构成一个
k 1 k 1 k 1 k 1 , uP , xQ , uQ 接触对。它们在tk+1时刻的坐标的坐标和位移分别是 xP