同济大学 概率统计期中试题

2007年秋季学期《概率统计》期中试卷 卷面总分：100分 答题时间：120分钟

专业 姓名 学号

一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）

1.对于任意两事件A 与B ，若B B A =⋃，则（ ）

A B a ⊂)( A B b ⊃)( φ=B A c )( 1)|()(=A B P d 2.设随机变量),0(~2σN X ,则( )

)()22()(σσσσ<<-<<<-X P X P a )()22()(σσσσ<<-><<-X P X P b )()22()(σσσσ<<-=<<-X P X P c

中哪个大和无法确定)()22()(σσσσ<<-<<-X P X P d 3.设X 和Y 相互独立,且)1,0(~N X ,)4,1(~N Y ,则有( )

21)0()(=

≤+Y X P a 21)1()(=≤+Y X P b 21)0()(=≤-Y X P c 2

1

)1()(=≤-Y X P b

4.下列关于数字特征的运算律,正确的是( ) )()()()(Y E X E XY E a = )()()(X aD aX D b = )()()()(Y D X D Y X D c ±=± )()()()(Y E X E Y X E c ±=±

二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 1.设在一次试验中，事件A 出现的概率为3.0，则在三次独立试验中,事件A 至

少出现1次的概率为 ；

2.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)|(=A B P ,则)(B A P ⋃= ；

3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则)1(>X P = ；

4.设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，有

≤≥-)2|)((|X E X P ；

三 解答题（本大题共7小题，共84分）

1.(10分)设有两个实数,满足条件10<

1

>

XY 的概率。 2.(12分)已知甲袋中装有6只红球，4只白球；乙袋中装有8只红球，7只白球，丙袋中装有10只红球，20只白球，求：

（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球的概率； （2）已知取到的是红球，求该球是从乙袋中取出的概率。

3.(12分)设随机变量)5,2(~R X ，现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

4.(12分)设随机变量X 的密度函数为)

1(1

)(2

x A x f +=

,+∞<<∞-x ,试求: ⑴系数A 的值； ⑵X 的分布函数； ⑶概率)10(<

试求：

⑴关于X 和Y 的边缘分布律，并判断X 和Y 是否独立； ⑵2X ，2Y 及XY 的分布律；

⑶)(X E ，)(Y E ，)(2X E ，)(2Y E ，)(XY E ； ⑷)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，Y X ,ρ。 6.(14分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为

⎩⎨

⎧>>=+-other y x e y x f y x ,

00

,0,2),()2( 试求：⑴关于X 和Y 的边缘密度函数；

⑵判断X 和Y 是否独立； ⑶Y X Z +=的概率密度； ⑷概率)1(≤+Y X P 。

7.(10分)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重量50千克,标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977。（977.0)2(=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数）

2007年秋季学期《概率统计》期中测试参考答案 卷面总分：100分 答题时间：120分钟

专业 姓名 学号

一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）

1. d ；由B B A =⋃知A B ⊃，所以A B ⊂，φ=-=A B B A ，1)|(=B A P ；

2. b ；由),0(~2σN X 知，)1()1()10

1()(-Φ-Φ=<-<

-=<<-σ

σσX P X P ；

)2()2()20

2()22(-Φ-Φ=<-<

-=<<-σ

σσX P X P

3. b ；由条件知)5,1(~N Y X +，又根据正态分布密度函数关于μ=x 对称得知答案。

4. d ；查书即得。

二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 1. 设所求事件为B , 则

P(B) =1–P(B )= 1-3(1-0.3)=0.657 2. 5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)|(=A B P ,则

P (A B )=P (A )P (B =0.8 ⨯0.5=0.4 ;

()()()()

0.50.60.40.7

P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-= 3.(1)1(1)1(0)(1)

10.3678790.3678790.264242

P X P X P X P X >=-≤=-=-==--=

4. 据切比雪夫不等式，有2

2()21

(|()|2)222

D X P X

E X -≥≤

== .

三 解答题（本大题共7小题，共84分）

1.(10分)设有两个实数,满足条件10<

1

>xy 的概率。 解：这是个几何概型 ,设所求事件设为A .

这一问题相当于将一点M 随机的投到 xoy 平面内的区域

{}(,)|01,01x y x y Ω=<<<<.