高数幂级数详解和习题

s( x ) ln(1 x ),
又 x 1时,
n
( 1)
n1

n1
1 n
收敛.
( 1 )
n 1
n 1
x
ln( 1 x ). ( 1 x 1)
n
例 5 求幂级数 ( 2n 1) x 的和函数.
n n 0

解

设 s( x )
n
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数.
n 0
1 2
原级数的收敛域为
( 2 , 2 ).
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n n 0 n 0
R minR1 , R2
(1) 加减法
an x bn x
n n n 0 n 0


cn x .
n

2x (1 x )
2

1 1 x

1 x (1 x )
2
.
| x | 1
例6
求

n 1

n( n 1) 2
n

的和.
n
解
考虑级数 n( n 1)x , 收敛区间(-1,1),

n 1
则 s( x ) n( n 1) x x ( x
n n1 n1
a b
二、 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函 数:

1、
nx
n 1
n 1
；
x
5
2、 x
x
3


x
2 n 1
3
5
2n 1
.
练习题答案
一、1、 ( , ) ； 1 1 2、[ , ]； 2 2 3、 ( 2 , 2 ) ； 4、 ( c , c ) ,其中 c maxa , b 0 . 1 ( 1 x 1) ； 二、1、 2 (1 x ) 1 1 x ( 1 x 1) . 2、 ln 2 1 x
n n 0

它在满足不等式 x x 0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数
a
n 0

n
x 在 x x 0 处发散,则它在满足
n
x 不等式 x x 0 的一切 处发散.
几何说明 收敛区域 发散区域

R
o
R
x
发散区域
推论
如果幂级数 不是仅在 一点收敛, n
a n 1 an
n
lim
.
1 n1
n
0, R ,
收敛域为
( 4) ( 1)
n 1

n
2
n
(x n
1 2
) .
n
lim
a n 1 an
n
lim
2 n n1
n
2
R
1 2
,
即 x
1 2

1 2
收敛,
x (0,1)收敛,

当x 0时,
级数为
级数为
n 1
1 n
,
n
发散
,
n1
当x 1时,
( 1) n
收敛
故收敛域为(0,1].
例3
求幂级数
的收敛域.


x
2
解
级数为
x 2

x 2
3 2

x 2
5 3
n 1
2
缺少偶次幂的项
应用达朗贝尔判别法
un1 ( x ) un ( x )
2
x lim
幂级数
a n x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n n 0

( R , R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n 即 s( x ) ( a n x ) n 0


nan x n1 . (an x )
n n 0
n 1
(收敛半径不变)
例 4 求级数
域,
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 称 为函数项级数的和函数. ,
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
s( x ) 函数项级数的部分和 s n ( x ),
lim sn ( x ) s( x )
a
n 0

n
x
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全 确定的正数 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域为以下几个区间之一：
( R, R), [ R, R), ( R, R], [ R, R].
n n 0

x R, R
(其中 cn an bn )
(2) 乘法
( a n x ) ( bn x )
n n n 0 n 0
cn x .
n n 0

x R, R
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
(3) 除法
(收敛域内 bn x 0)
n n 0

an x bn x
n 0 n 0

n

n
cn x
n 0

n
. (相除后的收敛区间比原来
两级数的收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
a n x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n n 0

( R , R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.

n

x 1 x
,
| x | 1
1 x A( x ) , 2 1 x (1 x )
2nx
n n 0

2x (1 x )
2
,
x
n n 0

1 1 x
,
| x | 1
s( x )
( 2n 1) x
n 0
n
n
从而级数 an x 发散. 故收敛半径 R
n n 0
1

;
( 2)
有
如果 0,
n 1 n
x 0,

a n 1 x an x
0 ( n ), 级数 | an x n | 收敛,
n 0 n
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n 0
n n 1

lim
a n 1 an
n
lim
n
( n 1) n
n
n 1
n
1 lim 1 ( n 1) n n
级数只在
R 0,
处收敛, 收 敛 域 为 { 0 }.
( 3)
n 1

x
n
;
n!
lim
( 1)
n1
n 1

n 1
x
n
的和函数.
n
n 1
解 s( x ) ( 1)
2
x
n
,
显然 s(0) 0,
,
n
s( x ) 1 x x
1 1 x
( 1 x 1)
两边积分得
0
x
s( t )dt ln(1 x )
即 s( x ) s(0) ln(1 x )

n
2
n
(x n
1 2
) .
n
解 (1) lim
当x 1时, 当x 1时,
故收敛域是
a n 1 an

n
lim
( 1)
n
n n1
1 R 1
n
级数为
n 1
,
,
该级数收敛
级数为
n1
n 1
n
该级数发散
.
( 2) ( nx ) ;
n 0

2n
a 1 x
x
n 1
; 2
( 4)
n 0

x
n
e ;
n!
2 n 1
( 5) ( 1)
n 1
n 1
( 2n 1)!
n
sin x;
(6) ( 1)
n 0

x
n1
ln(1 x );
四、小结
1.函数项级数的概念: 2.幂级数的收敛性: 收敛半径R 3.幂级数的运算: 分析运算性质
1
当 时, R 0 .

; (2)
当 0时, R ;
证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
lim
a n 1 x an x
n 1 n
n
lim
a n 1 an
n
x x,
(1)
如果 lim
n
a n 1 an
( 0)存在,
( 2n 1) x
n n 0 n 1

2nx x
n n 0 n 0


n
2nx 2 x nx
n n 0 x n 1
,
设A( x )
nx
n 1

n 1
,
0
A( x )dx
n x
n 1 0
x
n 1
dx
x
n 1
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那
么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定.
例 f ( x)
n 1 n 2 n 1
x n
,
f ( x )
n 2

n 1
x
,
n
f ( x )

n 2

( n 1) x n
, 它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是 [1,1], [1,1), ( 1,1)
第三节
幂级数
一、函数项级数的一般概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
四、小结
练习题
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 数,则 是定义在 上的函
u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ),
称为定义在区间 上的(函数项)无穷级数.

例如级数 x 1 x x ,
练 习 题
一、求下列幂级数的收敛区间: 1、 2、
2 n
x 2

x
24

2
x
2 4 ( 2n )
；
2 2

x
2
2
x
x
2 n 2
2
2
n
3、
n 1
5 2n 1
2Biblioteka Baidu
n
n
n 1
x ；
n
； ( a 0 , b 0) .
4、
n 1

x
n n

n 1
)
x(
故
n1
x
2
1 x
)
2x (1 x )
3
,
n( n 1) 2
n
s(1 2) 8.
常用已知和函数的幂级数
(1) x
n n 0
1 1 x
;
( 2) ( 1) x
n n 0

2n

1 1 x
x
2
;
( 3) ax
由比值审敛法, 当 | x |
n
1

时, 级数 | an x | 收敛,
n n 0

从而级数 an x 绝对收敛.
n 0
当 | x |
1

时,
n 级数 | an x | 发散, 并且从某 n 0

个 n 开始 | a n1 x

n 1
|| an x |, | a n x | 不趋于零 .
当x0 0时,
an x ,
n n 0 n
其中 a n 为幂级数系数.
2.收敛性:
例如级数
x
n 0

1 x x ,
2
当 x 1时, 收敛;
当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域( ,1] [1, );
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 a n x 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
规定
(1) 幂级数只在 x 0 处收敛,
R 0,
收敛域为：{ 0 } ;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
R , 收敛区间
.
问题
如何求幂级数的收敛半径?
定理 2
设
如果幂级数
a n x 的所有系数a n 0 ,
n n 0

n
lim
a n1 an

(1)
(3)
则当 0 时, R
n 2 n 0

un ( x ) u1 ( x )
2.收敛点与收敛域:
如果 x 0 I ,数项级数

un ( x0 )收敛,
n 1

则称 x 0 为级数

否则称为发散点. un ( x )的收敛点,
n1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛
n1
(2)
幂级数 内可积,则对
的和函数
an x 在收敛区间
n 0


n
可逐项积分.
n
即 s( x )dx
0 x n
x

x
0
( a n x )dx
n 0


a n x dx 0 ( R, R )
n 0
n 1x
n 0
an
n 1
.
(收敛半径不变)
(3)
n
2 n 1
lim
2 x
2 n 1
n 1
n

n
1 2
x ,
2
2
当 x 1, 2 1
即 x 2时,
级数收敛,
当
1 2
x 1, 即 | x |
2
2 时,

级数发散,
,
当x
2 时, 级数为
n1
1 2
级数发散,
, 级数发散,
当x 2 时,级数为
n1
( 3)如果 ,
x 0,
级数 an x 必发散.
n n 0
收敛半径 R 0.
定理证毕.
例2
n 1
求下列幂级数的收敛域:
n
(1) ( 1) ( 3)
n 1
x
n
;
n
( 2) ( nx ) ;
n n 1

x
n
;
n!
( 4) ( 1)
n 1