二、交错级数及其审敛法

p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
根值审敛法
lim n
n
un


1
1
收敛
发散
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不满足 发 散
比较审敛法

1
不定

部分和极限
用它法判别

积分判别法
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3. 任意项级数审敛法
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
( P203 定理9 )
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S, ,
则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛, 其和为 S . (P205 定理10)
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN

0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1
lim un1 n un

lim
n
(n1)
1 np
p
1
p 1, 级数收敛 ;
但
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
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例1. 讨论
p
级数
1

1 2p

1 3p


1 np

(常数
p
> 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n

而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
1) 2)
1 1 1 23
1 1 1 2! 3!
1 4

1 4!

(1(u)unn1n)11n1n1n1(!n1n101n01nn1!n)11!
收敛
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10

2 102

3 103

4 104


(1)n1
收敛 , 令
vn

1 2
(
un

un
)
(n 1, 2, )

显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1


un , 2 vn 收敛
n1
n1

un 也收敛
n1
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即
( )n un ( )n 1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un


1 nn

p

1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
n 10n

收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
发散
收敛
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3)
n n110n
.
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
证: “ ” 若 “”
收敛 , ∴部分和数列
故有界. 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
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(l ) vn un (l ) vn ( n N )
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
(2) 当l = 0时,

若 vn 收敛 ,
n1

vn
n1
由定理2 知
0

rn

(n
1 1)n1

(n
1 2)n2


1 (n 1)n1

1
1

1 n1

1 n (n 1)n
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 .
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证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n

则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
r u . YANGZHOU UNIVERnSITY n1
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
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例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数



k 2
1 k
(3) 当l = ∞时,
即
un vn

由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n1
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是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
说明: 证明参考 P203～P206, 这里从略.
但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
p
级数
发散 .
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2) 若 p 1,因为当
1
np

n n1
1 np
d
x
时,
1 np

1 xp
,
故

n1 n1 x p
d
x

1 p 1
1 (n 1) p1

n
1
p1

考1虑强2 p1级1数 n22
.
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知

sin
n1
1 n
发散
.

例4. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1

1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1

1 n2


lim
n
n2

1 n2
1

根据比较审敛法的极限形式知 ln1
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)

(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)

sin n
n4

1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,

n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
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S2n1

lim (
n
S2n

u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 S u1,
(un1 un2 )
rn un1 un2 un1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
也发散 .
特别取
vn

1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
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例3.

判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
解: lim n sin 1 lim n 1 1
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n

1 1)
p1


n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1

1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数,
且
lim n
n
un

,
则
为正项级
证明提示:
lim n
n
un

, 对任意给定的正数
存在 N Z ,
n un
1 1
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如

：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n

(1)n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
证: (1) 当 1 时,
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
n1
1 n2
收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) 令

(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en

lim
n
1 e

n
n
12

1 e
1

n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此

(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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第二节
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法

若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .