自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)教学提纲

解法 可将微分dx凑成12d(2x)的形式,即
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dx12d(2x)
e2xd x1e2xd(2x)u2x1
2
2
eudu 1eu 2
C
12e2x C
第一类换元法(凑微分法)
e2xd x1e2xd(2x)u2x1
2
2
eudu 1eu 2
C
12e2x C
第一类换元法(凑微分法)
e2xd x1e2xd(2x)u2x1
解 (1) 原式
a1arctaxaC n;
(2) 原式
(x41)29dx
1 .f( a b x ) d x 1 f( a b x ) d ( a b x );
常
a
见 2 .f(x n 1 )x n d n x 1 1 f(x n 1 ) d (x n 1 );
凑 微
3 .f(x )1d x 2f(x )d (x ); x
分 公
4 .f 1 x x 1 2d x f 1 x d 1 x ;
解 x(112lnx)dx121lnxd(lx n) 1 212 1 ln xd (12 ln x )
12ln xu1 1 du 1lnuC
换元 2 u 2 u12ln x1ln12lnxC.
回代 2
注: 一般情形: f (lnx)1xdxf(lx)n d(lx)n
例 6 求下列不定积分
(1)
例7 求下列不定积分
(1)
1 a2x2
dx;
(2) x281x25dx.
解
(1) 原式
1 a2
1 1 ax2
dx
1 a
11ax2
d
ax
a1arctaxaC n;
(2) 原式
(x41)29dx
1 32
x31421dx
例7 求下列不定积分
(1)
1 a2x2
dx;
(2) x281x25dx.
注: 一般情形:
xf(x2)dxx2 u 1 f(u)du.
2
完
例 4 计算不定积分 x 1x2dx. 解 x 1x2dx1 2(1x2)1 2(1x2)dx
1(1x2)1 2d(1x2) 2 1(1x2)2 3C.
3
注: 对变量代换比较熟练后, 可省去书写中间变量
的换元和回代过程. 完
例 5 求不定积分 x(112lnx)dx.
式 5 .f(lx )n 1 x d x f(lx )n d (lx )n;
6 .f (x s ) c x io n f d ( s x s ) d x (i x s ) n ; i
7 .f( e x ) e x d x f( e x ) d ( e x );
常 见 凑 微 分 公 式
6 .f (x s ) c x io n f d ( s x s ) d x (i x s ) n ; i
u 3 2 x1ln32xC. 回代 2
注: 一般情形:
f(axb)dxa x b u1 a
f(u)du.
完
例 3 计算不定积分 xex2dx.
解
xex2dx1 ex2(x2)dx 2
12 ex2d(x2)
x2 u 1 eudu 1eu C
换元 2
2
ux21ex2 C. 回代 2
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g(x)dx 化为 f[(x) ](x)d.x
例 1 求不定积分 (2x1)10 d.x
解 利用凑微分公式 dxa1d(axb),所以
(2x1)10dx1 2(2x1)1(02x1)dx
复习： 凑微分
部分常用的凑微分:
1
1 (1d) x a d(a b x);
(2 xn d ) xn 1 d (xn 1 );
(3)
(4)
x12dx1
d(1); x
1dx 2d( x);
x
(5)
1dx 1 d(lnx); x
(6) exdx1 d(ex);
(7) sixnd x1 d(cxo ).s
7 .f( e x ) e x d x f( e x ) d ( e x );
常
见 6 .f (x s ) c x io n f d ( s x s ) d x (i x s ) n ; i
凑 7 .f( e x ) e x d x f( e x ) d ( e x );
微
分 8 .f(t x ) s a 2 e x n c d f(x t x ) d a (t x n )a ;n
1 2(2x1)1d 0(2x1)
2 x 1 u1 换元 2
u10du
12
u11C 11
u 2 x 11(2x1)11C. 回代 22
完
例 2 求不定积分 312xdx.
解 312xdx 1 23 12x(32x)dx 1 23 12xd(32x)
3 2 x u 1
换元 2
1 u
du
1lnuC 2
(2)
tan x
x
dx
2csionsxxd( x)
例 6 求下列不定积分
(1)
e3
x
dx;
x
(2) tanxxdx.
解 (1) e3 x dx 2e3 xC; x3
(2)
tan x
x
dx2csionsxxd(
x)
2co 1x sd(coxs)2lncox sC.
注: 一般情形:
f( x) 1xdx2f( x)d( x). 完
2
2
eudu 1eu 2
C
1e2x C 2
一般地,设 f (u)具有原函数 F(u),即
f(u )d u F (u )C ,
则 f[(x)](x)d xf[(x )d ](x )
(x)u换元f(u )d u F (u ) C
u(x)F [(x) ]C ,
回代
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
公 式
9.f(arx c )1 t1x a 2dn xf(ad(r ax rc )cttxa)a n. n
完
高等数学
第一类换元法(凑微分法)
问题 e2xdx ? e2xC (e2x)'2e2x e2x
观察 从公式 eudu euC,令u2x,则有
e2xd(2x)e2xC
e2xd xe2xC
e3
x
dx;
x
(2) tanxxdx.
解 (1) e3 x dx 2e3xd( x) x
3 2
e3
xd(3
x)2e3 3
xC;
(2)
tan x
x
dx
2tax nd(
x)
2csionsxxd( x)
例 6 求下列不定积分
(1)
e3
x
dx;
x
(2) tanxxdx.
解 (1)
e3
x
dx
x
2e3 xC; 3