高等数学换元法

∫
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第二类换元法
问题
x 5 1 x 2 dx = ? ∫
令 x = sin t dx = cos tdt ,
解决方法 改变中间变量的设置方法 改变中间变量的设置方法. 过程
∫x
5
1 x dx = ∫ (sin t )
2
5
1 sin t cos tdt
2
= ∫ sin 5 t cos 2 tdt =
e e dx dx = ∫ dx ∫ = ∫ 1 x x 1+ e 1+ e 1 d (1 + e x ) = ∫ dx ∫ 1+ ex
x
x
= x ln(1 + e x ) + C .
例题
1 x+ 1 例8 求∫ (1 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1 2 , x x
cos x = 1 u,
2
f ′( u ) = 1 u ,
1 2 f ( u) = ∫ (1 u )du = u u + C , 2 1 2 f ( x) = x x + C . 2
例题
例17 求
解
∫
x 4 x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 x arcsin 1 arcsin 2 2 2
1 a2 x2
dx
Ax + B ax 2 + bx + c
1
2 2
1 x a
2 2
dx
∫
1 x +a
2 2
∫
∫
2
dx
∫ sin xdx
3
∫ sin ax cos bxdx
a cos x + b sin x
2
dx
例题
例16 设 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x , 求 f ( x ) . 解 令 u = sin 2 x
1 = [ln( x a ) ln( x + a )] + c 2a
1 xa ln | | +c = 2a x+a
例10：求 ：
∫ cos 2 x
dx tgx
例题
解：原式 = ∫
dtgx = 2 tgx + c tgx
dx
例11: 求 ∫
(sin x + cos x ) 2
dx 1 = ∫ 2 dx π sin ( x + ) 4
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x sin x + sin x + C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
例题
例14 求 cos 3 x cos 2 xdx .
∫
1 解 cos A cos B = [cos( A B ) + cos( A + B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
；
凑微分公式
∫
f (sin x) cos xdx =
∫
f (sin x)d sin x
；
∫
∫
f (tan x) sec 2 xdx =
dx f (arctan x) = 2 1+ x
∫
f (tan x)d tan x
；
∫
f (arctan x)d arctan x
；
∫
1 1 1 1 f 2 dx = f d x x x x
第二讲 换元法
教学目的：不定积分换元法 教学目的： 教学目的 教学重点：凑微分法 教学重点： 教学重点 教学难点：第二类换元法 教学难点： 教学难点
主视图
换元法 凑微分法 凑微分公式 第二类 换元法 一次式的 有理根式 二次式的 二次根式
凑微分法
问题
1 ∫ cos 2 xdx = 2 sin 2 x + C , 求导数验证结果
再用“凑微分” 再用“凑微分”
t = 1 ( x )
∫
x = ( t )
f ( x )dx
=
∫
f [( t )]′( t )dt = F ( t ) + c
易
=
F [ 1 ( x )] + c .
难
第二类换元法
是单调、可导函数， 定理2 定理2 设 x = (t ) 是单调、可导函数，且 ′( t ) ≠ 0
1 dx . 例3 求 ∫ x (1 + 2 ln x )
解
1 1 ∫ x(1 + 2 ln x )dx = ∫ 1 + 2 ln xd (ln x )
1 1 d (1 + 2 ln x ) = ∫ 2 1 + 2 ln x
u = 1 + 2 ln x
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln(1 + 2 ln x ) + C . 2 u 2 2
例题
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 dx 2 x 1+ 2 a
1 = ∫ a
1 x d = 1 arctg x + C . 2 x a a a 1+ a
例题
1 dx . 例6 求∫ 2 x 8 x + 25 1 1 解 ∫ 2 dx = ∫ dx 2 x 8 x + 25 ( x 4) + 9
1 ∴ ∫ (1 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx源自文库
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例题
例9：求 ：
∫
dx x2 a2
1 1 1 解：原式 = ∫ ( x a x + a )dx 2a
1 d ( x a) d ( x + a) ] = [∫ ∫ 2a xa x+a
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2 x dx = dt , 换元 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
换元以后再还原
凑微分法
定理1 定理1
u 可导， 具有原函数， 设 f (u) 具有原函数， = ( x ) 可导，
∫
思考
思考：以下几种形式的积分， 思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积
∫
∫
1 ax + bx + c
2
dx
∫
xdx ax 2 + bx + c
1 1 x2
dx = arcsin x + C ;
∫
1 x2 1
dx = archx + C
∫
∫
1 x +1
2
dx = arshx + C
∫
dx
1 1 1 1 x 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x 4 3 x 4 3 +1 +1 3 3
1 x4 = arctg + C. 3 3
例题
1 dx . 例7 求 ∫ x 1+ e 1 1+ ex ex dx = ∫ dx 解 ∫ x x 1+ e 1+ e
1 d (cos x ) = ∫ u = cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 + du = ∫ = ∫ du 2 2 1 u 1+ u 1 u
1 1 u 1 1 cos x = ln + C = ln + C. 2 1+ u 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C .
具有原函数， 又设 f [( t )]′( t ) 具有原函数，即
例题
x dx . 例4 求 ∫ 3 (1 + x ) x x +11 dx = ∫ dx 解 ∫ 3 3 (1 + x ) (1 + x ) 1 1 ]d (1 + x ) = ∫[ 2 3 (1 + x ) (1 + x ) 1 1 C2 = + C1 + 2 + 1+ x 2(1 + x ) 1 1 = + + C. 2 1 + x 2(1 + x )
= 2 ∫ sin xd (sin x ) = (sin x ) + C ;
2
解（三） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
= 2 ∫ cos xd (cos x )= (cos x ) + C .
2
例题
1 dx . 例2 求 ∫ 3 + 2x 1 1 1 ( 3 + 2 x )′, = 解 3 + 2x 2 3 + 2x
1 = ctgx + + C. sin x
例题
例13 求 sin 2 x cos 5 xdx . 解
∫
sin 2 x cos 5 xdx = ∫ sin 2 x cos 4 xd (sin x ) ∫
= ∫ sin 2 x (1 sin 2 x )2 d (sin x ) = ∫ (sin x 2 sin x + sin x )d (sin x )
则有换元公式
∫ f [ ( x )] ′( x )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g( x )dx = ∫ f [( x )]′( x )dx
难
凑
u = ( x )
=
∫ f ( u)du.
易
证明
证由复合函数求导法则有
{F [ ( x)]}' = f [ ( x)] ′( x)
可见 F[ ( x)] 是 f [ ( x)] ′( x) 的一个原函数，故公式(1)成立．
公式（１）说明：当积分
∫ g ( x)dx
不便计算时，可考虑将
g(x)化为 f [ ( x)] ′( x) 的形式，那么
∫ g ( x)dx = ∫ f [ ( x)] ′( x)dx = ∫ f [ ( x)]d ( x) = ∫ f (u )du
2
解：原式= ∫ 原式
1 π 2 [ sin( x + )] 4 2 1 π = ctg ( x + ) + c 2 4
例题
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 cos x 解 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1 + cos x )(1 cos x ) 1 cos x 1 cos x dx = ∫ =∫ dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 = ∫ 2 dx ∫ 2 d (sin x ) sin x sin x
1 1 1 ∫ 3 + 2 xdx = 2 ∫ 3 + 2 x ( 3 + 2 x )′dx 1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln( 3 + 2 x ) + C . 2 u 2 2
一般地
∫
1 f (ax + b )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ax + b a
例题
例15: 求 csc xdx .
1 1 解（一） ∫ csc xdx = ∫ dx dx = ∫ x x sin x 2 sin cos 2 2
x d = ∫ 1 d tg x =∫ 2 2 x 2 x x tg tg cos 2 2 2 1
x = ln tg + C = ln(csc x ctgx ) + C . 2
1 2a
(a ≠ 0) ；
f (ax + b) xdx =
x x
∫
f ( ax 2 + b)d ( ax 2 + b)
x
；
(a ≠ 0)
∫
∫
f (e )e dx =
∫ f (e
)de
x
；
dx f (ln x) = f (ln x)d ln x ； x
∫
∫ f (cos x) sin xdx = ∫ f (cos x)d cos x
(2)
对 u 积分求出 f (u ) 的原函数 F (u ) ，再以 u = (x) 代回即得 所求积分，这种方法称为 凑微分法 ．
例题
例1 求 sin 2 xdx .
∫
1 解（一） ∫ sin 2 xdx = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 = cos 2 x + C ; 2 解（二） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
x x x sin 2 sin sin x 2 = 2 2 = 1 cos x = csc x ctgx 注 : tan = x x x 2 sin x cos 2 cos sin 2 2 2
∫
例题
例题
解（二） ∫ csc xdx = ∫
1 sin x dx = ∫ 2 dx sin x sin x
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
换元积分法技巧性强，需要多作练习， 不断归纳，积累经验，才能灵活运用．
凑微分公式
通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：
∫
∫
f ( ax + b)dx =
2
1 a
∫ f (ax + b)d (ax + b)