高等数学换元法
《高等数学换元法》课件
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《高等数学换元法》PPT 课件
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引言
换元法是一种在高等数学中常用的求解方法，它通过引入一个新的变量来简 化问题的求解过程。 我们将学习为什么需要换元法以及它在实际问题中的应用。
基本概念
函数
了解什么是函数及其性质，是掌握换元法 的基础。
复合函数
学习如何构造和计算复合函数，为换元法 提供更多的方法。
应用换元法解决有理函数的 复合函数问题。
常见的换元方法
1 常见的换元方法介绍
2 第一类换元法：代换法
了解常用的换元方法及其适用范围，为 问题求解提供更多的思路。
介绍使用代换法进行问题求解的具体步 骤和技巧。
3 第二类换元法：三角函数换元法 4 第三类换元法：指数函数换元法
探索利用三角函数进行变量替换的换元 方法，提高求解的便利性。
学习如何利用指数函数进行变量替换， 解决涉及指数函数的问题。
实例演示
实例1
实例2
实例3
$y = rac{sqrt[3]{x-1}}{(x-1)^2}$ $y = rac{2x-1}{sqrt{x^2+x+1}}$ $y = sqrt{ rac{1-x}{1+x}}$
小结ห้องสมุดไป่ตู้
通过本课程，我们学习了高等数学换元法的基本概念、常见的换元方法以及其在实例中的应用。 希望你对换元法有了更深入的了解，并可以在实际问题中应用这一求解方法。
变量
认识变量的含义和作用，为后续的复合函 数和反函数打下基础。
反函数
研究反函数的特性和性质，掌握反函数换 元法的应用技巧。
高数求积分方法总结
高数求积分方法总结高等数学求积分(Integration)方法总结1、换元法(Substitution Method)换元法是指计算积分时，根据被积函数和被积的变量的关系，将被积的变量由一个变量改变成另一个变量，以便转换待积函数的形式，使得函数变得更加简单，进而求解积分。
2、积分变形法(Integration Transformation Method)积分变形法就是在求解积分时先对被积函数做变形，通过将积分中的被积函数分解成多个部分，并对这些部分分别做不同的变换，使用不同的积分公式或积分变换公式，从而得出积分的解。
3、分部积分法(Partial Integration Method)分部积分法也称作展开积分法，它是将多项式的积分运算定义为求取多个式子的和，通过重项定理可以将多项式的积分分解成更简单的积分运算。
5、解析法(Analytic Function Method)解析法指的是将待积函数转换为某种常用标准函数，并应用相应积分公式进行求解积分，这可以有效地将复杂的函数形式转换成简单的函数形式，大大简化计算积分的求解工作。
6、复合分部积分法(Multiple Partial Integration)复合分部积分法是指在进行积分计算时，对被积函数进行分部展开，但是分部展开的函数又包含不同的其他多项式，这时可以就每一部分函数单独进行求积分处理，直至将所有部分积分完成，最后将积分结果求和，获得最终的积分解析结果。
7、级数法(Series Method)级数法是指将被积函数按级数的形式表达出来以后，把积分转换成求和公式，然后将每一层级按照一定的几何级数关系依次求解，最后将所求的积分求和而得出解析函数的积分表达。
8、蒙特卡洛算法(Monte Carlo Method)蒙特卡洛算法是采用抽样统计的方法来求解待积函数的积分，它可以将复杂的积分转换成随机变量的抽样统计，当抽样次数足够多时，便可以获得较为准确的积分值。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中的一种重要的解题方法，广泛应用于微积分、积分学等领域。
通过适当的变换，可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，使问题更易于解决。
本文将探讨高等数学中换元法的教学方法和注意事项，帮助学生更好地理解和运用这一解题方法。
换元法的教学内容应包括基本概念和基本方法。
换元法的核心思想是通过变量的替换，改变被积函数的形式，使之更方便进行积分。
教学内容可以从简单的一元函数开始，引导学生理解变量代换的意义和作用，进而介绍二元函数和多元函数的换元法。
教学方法可以通过具体的例子和图形解释，帮助学生理解换元法的基本原理和步骤。
换元法的教学过程应注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够分析问题、找到解决问题的方法和途径。
在教学过程中，可以引导学生进行问题分析和推理，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
给学生提供一个较复杂的积分问题，要求他们分析问题的特点和难点，找到合适的变量代换，并运用相应的换元方法进行求解。
换元法的教学应注重实际应用的训练和综合能力的培养。
换元法不仅仅是一种技术性的解题方法，还可以应用于实际问题的求解。
在教学过程中，可以通过一些实际应用问题的训练，培养学生将数学理论与实际问题相结合的能力。
引导学生通过利用换元法分析和解决实际问题，如求曲线与坐标轴所围成的面积，计算杯子中液体的体积等，帮助学生理解和掌握换元法的实际应用。
换元法的教学中需要注意的是引导学生理解和掌握换元法的思想和原则，而不仅仅是记忆和机械运用公式和方法。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够灵活运用所学的知识解决实际问题。
教师应引导学生通过大量的练习和思考，培养他们的分析和推理能力，帮助学生理解和掌握换元法的思想和原则。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨引言换元法是高等数学中比较重要的一个概念，在求解一些较为复杂的积分时，起到了非常重要的作用。
然而，对于初学者来说，换元法并不是一件容易掌握的事情。
在教学中如何更好地让学生理解和掌握换元法，是每一位高等数学教师必须面对的问题。
本文将从以下几方面探讨高等数学中换元法的教学方法。
一、基本概念的讲解在教学中，首先应该从基本概念讲起，即什么是换元法，为什么使用换元法可以求出积分。
可以结合图例进行讲解，让学生通过图像感性理解换元法的原理，进而掌握其思想。
二、例题的讲解与分析在讲解基本概念后，需要配合一些例题进行讲解和分析。
在例题的选择上，要注意难度逐渐递增，避免一开始就使用过于复杂的例题，造成学生的挫败感。
同时，通过对例题的分析和讲解，可以帮助学生更好地掌握换元法的应用技巧和方法。
三、引导学生探究在掌握了基本概念和应用技巧后，可以引导学生探究一些新的问题，如何判断某个积分中是否需要使用换元法？如果选择的换元方法不正确，会对结果造成怎样的影响？可以通过一些综合性的例题进行引导，激发学生的独立思考能力和问题解决能力。
四、拓展应用与归纳总结在完成了一系列的教学任务后，可以引导学生拓展换元法的应用范围，并给予充分的练习和实践机会。
同时，通过对换元法的归纳总结，可以让学生更好地理解其内在的规律和思想，从而提高其整体的学习效果。
思考与展望总的来说，换元法是高等数学中比较重要的一个概念，其教学方法也需采用灵活多样的方式，从基本概念、例题讲解、问题探究、拓展应用等多方面展开。
除此之外，还可以采用一些生动有趣的小技巧和案例，激发学生的兴趣和积极性，让他们自主学习和探索，实现真正的知识共享和问题解决。
希望能够借此机会，共同探讨高等数学中换元法的教学策略，推动数学教育的创新和发展。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨一、换元法的基本概念换元法是指将一个变量替换成一个表达式，从而使原有的方程式变形成一个更加容易求解的方程的方法。
通常情况下，采用换元法前后的未知量并不相同，因此可以通过选择合适的代换量，以便将方程转化成最简单的形式。
二、换元法的一般步骤（1）化简原方程，以便找到需要代换的变量。
（2）找到一个代换变量，将原方程中的变量全部替换为代换变量，并将原方程转化成带有新变量的方程。
（3）求解新方程，得到新变量的值。
（4）将新变量的值代入代换变量，得到原变量的值。
三、实际教学中如何进行换元法的解题（1）帮助学生掌握常见的代换方法对于换元法的教学来说，了解常见的代换方法是非常重要的。
例如，对于二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方数形式，从而进行方便的变量替换。
而对于三次方程，可以使用Tartaglia公式求解，从而将不易求解的三次方程转化为容易求解的算式形式。
（2）引导学生选择合适的替代变量不同的代换变量可能会导致不同的转换结果，因此在实际解题中需要根据题目的要求来选择合适的替代变量。
例如，某些题目需要进行逆变换，这时选择正弦或余弦的比值作为代换变量可能会更加适合。
（3）注重解题过程中的物理意义在高等数学的教学中，注重解题过程中的物理意义能够帮助学生更好地理解本质。
例如，在物理问题中，可能需要使用对数或指数来描述问题，在解题过程中注重对数或指数的物理含义可以更好地理解问题以及求解过程。
四、结束语在高等数学的教学中，换元法是重要的解题方法之一，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，并且可以帮助学生更好地掌握解题思路。
因此，在高等数学的教学中，教师需要注重引导学生掌握常见的代换方法，引导学生选择合适的替代变量，并注重解题过程中的物理意义，从而帮助学生更好地掌握这一重要的解题方法。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中一种基本的解法方法，可以运用于微积分、线性代数等多个领域的问题解决。
本文就对高等数学中换元法的教学进行探讨，旨在让学生对换元法有更深入的理解与掌握。
一、换元法的基本概念换元法就是将一个或多个自变量用一个或多个新变量来代替，以便简化问题进一步求解。
在微积分中，通常情况下都是将一些复杂表达式中的函数用类似于反函数之类的方法进行换元化简，使其变成可进行进一步处理的形式。
例如，可以使用$x^2=\sin t$将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$，方便进行计算。
换元法的一般步骤包括确定新变量、确定旧变量与新变量之间的关系、求解新方程、将得到的结果通过新旧变量之间的关系回代到原方程中。
其中，确定新变量的关键是要找到能够化简问题的合适变量。
以求解微积分中的曲线积分为例，根据问题不同，我们可以使用极坐标、参数方程等不同的变量来实现化简。
确定旧变量与新变量之间的关系，通常需要根据题目的要求，采用特定的变量替换方法。
有的换元法遇到的变量替换可能较复杂，学生可借助画图来理解和记忆。
例如常常遇到的三角换元法。
三、典型例题具体来看，下面结合具体的例子，进行探讨。
例1. 求$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$解: 可以使用反三角函数中的$\arcsin$关系进行换元，设$x=\sin t$，则$\mathrm{d}x = \cos t\mathrm{d}t$，原式变为$\int\frac{\cost\mathrm{d}t}{\sin^2t\cos t} = \int\frac{\mathrm{d}t}{\sin t} =\ln|\tan\frac{t}{2}|+C$。
通过将$t$换回$x$来得到最终的答案，记得当$x$在区间$(-1,1)$之外时需加符号来保证得到的结果为正值，答案为$\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}\right|+C$。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨1. 引言1.1 引言在高等数学中，换元法是一种重要的解题方法，它在解决一些复杂问题时起到了至关重要的作用。
换元法的基本概念是通过引入新的变量或者函数，将原来的积分或者微分问题转化为容易求解的形式。
这种方法通常能够简化问题的结构，使得计算变得更加方便和高效。
换元法的原理与方法主要是通过进行代换，将原函数转化为另一种形式，进而简化问题的求解过程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择适合的换元方法，以达到最优的解题效果。
在不同类型的问题中，换元法都有着广泛的应用。
比如在求不定积分、解微分方程、计算面积和体积等方面，换元法都能够发挥巨大的作用，帮助我们解决各种复杂的数学难题。
当使用换元法时，需要注意一些技巧和注意事项，比如选择合适的代换变量、避免代换后引入无关的项等等。
只有在掌握了这些注意事项后，我们才能更好地运用换元法来解决问题。
为了更好地掌握换元法，我们还需要不断练习。
通过大量的练习，我们才能熟练掌握不同类型的换元方法，提高解题的效率和准确性。
换元法是高等数学中一个重要的解题工具，掌握了它，我们能够更加轻松地解决各种复杂的数学问题。
展望未来，我们可以通过不断地学习和实践，进一步提高换元法的运用能力，为解决更多更复杂的数学难题奠定更加坚实的基础。
2. 正文2.1 换元法的基本概念换元法是高等数学中常用的一种方法，它在解决复杂数学问题时具有重要的作用。
换元法的基本概念涉及到将复杂的问题转化为简单的形式，从而更容易解决。
换元法的核心思想是通过引入一个新的变量或函数，将原问题转化为一个容易求解的形式。
换元法的基本步骤包括确定新的变量或函数的取值范围，建立新旧变量之间的关系，然后将原问题转化为新变量或函数的形式，最终求解新问题。
在换元法中，选择合适的变量或函数是至关重要的。
通常情况下，我们会选择与原问题具有相关性的变量或函数作为新的代换变量，这样可以更好地反映原问题的性质。
高数53换元法与分部积分法
在运用换元法和分部积分法时，需要注意一些积分技巧，如选择合适的代换变量、合理拆分被积函数等。这 些技巧可以帮助我们更有效地求解复杂积分。
04 复杂函数求解技巧与实例 分析
复杂函数类型及特点
01
02
03
复合函数
由多个基本初等函数通过 四则运算或复合而成的函 数，如$f(g(x))$。
隐函数
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高数53换元法与分部积分法
目录
• 换元法基本概念与原理 • 分部积分法基本概念与原理 • 换元法与分部积分法关系探讨 • 复杂函数求解技巧与实例分析 • 实际应用问题中换元和分部积分思想体现 • 总结回顾与拓展延伸
01 换元法基本概念与原理
换元法定义及作用
换元法是一种通过变 量代换简化复杂数学 表达式或方程的方法。
解。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
换元法
通过变量代换将复杂积分转化为简单积分，包括第一类换元法（凑微分法）和第 二类换元法（三角代换、根式代换等）。
分部积分法
将复杂被积函数拆分成两个简单函数的乘积，通过求导和积分降低计算难度，特 别适用于含有幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数的积分。
易错点剖析及注意事项
换元法易错点
在换元过程中，需要注意新变量 的取值范围与原变量保持一致， 同时在最后要将结果代换回原变
量。
分部积分法易错点
在选择u和dv时，需要遵循“反对 幂指三”的优先级顺序，同时要注 意计算过程中的符号变化。
注意事项
在应用换元法和分部积分法时，需 要熟练掌握基本初等函数的求导和 积分公式，以便进行正确的代换和 拆分。
高等数学《换元法》课件
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
高等数学换元法
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
(直接配元)
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结束
例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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结束
例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
或
x ln tan C 2
(P196 例16 )
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
高等数学-积分换元法
一般地
∫Leabharlann 1 f (ax + b )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ax + b a
1 1 1 1 x − 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
1 dx . 例7 求 ∫ x 1+ e 1 1+ ex − ex dx = ∫ dx 解 ∫ x x 1+ e 1+ e
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .
∫
1 解 cos Acos B = [cos( A− B) + cos( A+ B)], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
= [ ∫ f ( u)du]u=ϕ ( x ) 由此可得换元法定理
换元法求函数最值
换元法求函数最值换元法是高等数学中常用的一种求函数最值的方法。
它的基本思想是将原函数中的自变量用一个新的变量来表示，从而将原函数转化为一个新的函数，然后通过对新函数的求导或者其他方法来求出原函数的最值。
换元法的具体步骤如下：1. 选取一个合适的新变量，将原函数中的自变量用新变量表示。
2. 将原函数转化为一个新的函数，即将原函数中的自变量用新变量表示后得到的函数。
3. 对新函数求导，找到其极值点。
4. 将极值点代入原函数中，求出原函数的最值。
下面我们通过一个例子来说明换元法的具体应用。
例：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上的最大值。
解：首先我们观察到$f(x)$是一个三次函数，因此我们可以尝试将其转化为一个二次函数来求解。
我们可以选取一个新变量$t=x-1$，将原函数中的自变量$x$用$t$表示，得到新函数$g(t)=(t+1)^3-3(t+1)^2+2$。
接下来，我们对新函数$g(t)$求导，得到$g'(t)=3(t+1)^2-6(t+1)$。
令$g'(t)=0$，解得$t=-\frac{1}{2}$。
将$t=-\frac{1}{2}$代入$g(t)$中，得到$g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。
我们将$t=-\frac{1}{2}$代入原函数$f(x)$中，得到$f(-\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}$。
因此，函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为$\frac{1}{2}$，当$x=\frac{1}{2}$时取到。
通过这个例子，我们可以看到，换元法是一种非常实用的求函数最值的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选取不同的新变量，将原函数转化为不同的形式，从而更加方便地求解函数的最值。
高等数学第三节 换元法
练习
1
x
dx x2 1
小结
• 根式换元法 • 三角换元法 • 用换元法注意最后结果一定换回原变量
6
t
6
t
4
t
2
1
1 1t
2
dt
6 7
t
7
6 5
t
5
2t
3
பைடு நூலகம்
6t
6 arctan t
C
6 x6 x 6 6 x 5 2 x 66 x 6 arctan6 x C.
7
5
练习
1、
x 1dx x
4、 1
1 dx x 1
二、三角换元法
量下去积，最后结果换回原变量.
例 求
x dx. 13 x
解 为了去掉根号，令 6 x t , x t 6 ,
则 x t 6 (t 0), dx 6t 5dt, 于是有
x dx 13 x
t 3 6t 5dt 1t2
6
t 8 dt 6
1t2
(t8 1) 1 1 t2 dt
因为 t arcsin x , a
cos t
a2 x2 , a
于是有
a2 x2dx
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C.
2
a2
例 求
dx (a 0). x2 a2
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中常用的一种解题方法，其主要应用于求一些已知函数的导数、积分和定积分。
本文将探讨在高等数学教学中如何更好地掌握和应用换元法。
一、基本思路在高等数学中，换元法的基本思路是通过一些代数变换将原式化简为更容易积分或求导的形式。
这个代数变换过程一般分为两步：1、选择合适的替换量进行代换。
选择的替换量应该是能够把原式化简为更容易求解的形式，并且这个替换量应该与原式中的某些部分具有一定的联系。
2、将原式中的所有部分用所选的替换量表示出来。
这个步骤一般需要一些代数运算，如分式的通分、配方等。
二、常用换元法在高等数学教学中，常用的换元法有三种：凑微分法、三角函数换元法和反函数换元法。
1、凑微分法凑微分法是一种利用微分法的思想，通过构造微分式恰好可以化简原式为更容易求积分的形式。
凑微分法的基本思路是将原式中包含某一部分的项进行等价变形，使其与另外一部分的项相消去，得到一个微分式，并将原式中的其他部分也表示为微分式的形式，最终化简出来的微分式是一个更容易积分的函数。
例如，对于原式：$$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx$$我们可以采用凑微分的方法，令$x=\sin{t}$，则有：$$dx=\cos{t} dt$$则原式可以化为：2、三角函数换元法三角函数换元法是将原式中的一些高次幂函数，如$x^2+a^2$、$x^2-a^2$等，用三角函数来代替。
这种方法的优点在于可以利用三角函数的简单性质，将原式转化为一个更容易求积分的形式。
$$\int\frac{2/\cos^2{t}}{(2\tan{t})^2+4}dt=\int\frac{\cos^2{t}}{\cos^2{t}}\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int dt=\frac{1}{2}(t+C)$$三、教学探讨在高等数学教学中，我们应该注重培养学生的换元思维，让学生能够理解和掌握换元法的基本思路，并能够根据实际题目进行灵活应用。
换元法的例子
换元法的例子
换元法，也叫代换法，是高等数学中常用的一种解题方法。
它的基本思想是：把原函数中的某个部分进行代换，使其变得容易求解。
下面就以一个例子来介绍如何使用换元法。
假设有以下的积分式子：
∫(x+1)^3dx
看到这个式子，我们发现它是一个多项式函数的积分，但是直接求解会比较困难。
这时候就可以考虑使用换元法。
我们可以令t=x+1，这样原式就变为：
∫t^3dt
这个式子已经变成了一个更容易求解的形式，直接计算即可得到：t^4/4 + C
这是t的函数，但是我们需要的是x的函数，所以还需要进行一步代换：
t = x+1
将t代入上式，得：
(x+1)^4/4 + C
这就是原积分式子的解。
通过这个简单的例子，我们可以看到换元法的威力。
它的运用不仅可以使本来难以求解的式子变得容易计算，而且可以大大节省时间和精力。
当然，使用换元法时需要注意一些常见的问题。
比如，代换应该是单射（一一映射），避免出现重复的情况。
此外，还要注意函数的连续性和可导性，避免出现不可求导或者函数间断的情况。
总之，换元法是一种简单而又常用的数学方法，对于解决积分和微分问题都有很大的帮助。
在实际应用中，需要将其与其他数学方法结合起来，才能得到更优秀的解答。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中重要的数学方法之一，也是数学中最基础的数学方法之一。
换元法可以解决很多数学问题，如求导数，求积分，求极限等。
在高等数学中，换元法是数学学习的重要环节，因此在教学中需要引导学生深入理解换元法的本质和使用方法。
在教学中，首先要帮助学生理解换元法的本质。
换元法是将原来的数学表达式中的变量用另外一个变量来代替，从而得到一个新的数学表达式。
这种方法可以使得原来难以求解的数学问题变得简单。
例如，在求解微积分中的导数时，对于某个函数y=f(x)，如果我们对函数f(x)求导数较为困难，可以采用换元法，将原来的变量x换成另外一个变量t，使得y=f(t)，从而可以得到y关于t的导数。
由于t是一个新的变量，它可能比x更适合进行求导。
因此，通过换元法可以使求导数变得更加容易。
其次，教师需要向学生介绍换元法的使用方法。
换元法可以分为常用换元法和特殊换元法两种类型。
常用换元法通常采用一些常用的代换方式，例如将一些三角函数用其他三角函数表示，将指数函数用对数函数表示等。
特殊换元法则需要根据具体的数学问题，自行选择合适的代换方式。
在教学中，应该注重培养学生选择代换的能力，使他们能够灵活地运用换元法解决数学问题。
最后，教学应该注重实际应用。
换元法不仅是一种抽象的数学方法，还是实际应用的重要工具。
例如，在物理学中，我们可以通过换元法将自变量t改变成自变量x，从而得到一个新的物理表达式。
这个新的表达式可能会更加符合实际物理问题的要求。
因此，在教学中应该注重将数学方法与实际应用相结合，帮助学生理解换元法的实际用途，以及如何正确地使用它来解决实际问题。
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例题
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 dx 2 x 1+ 2 a
1 = ∫ a
1 x d = 1 arctg x + C . 2 x a a a 1+ a
例题
1 dx . 例6 求∫ 2 x 8 x + 25 1 1 解 ∫ 2 dx = ∫ dx 2 x 8 x + 25 ( x 4) + 9
则有换元公式
∫ f [ ( x )] ′( x )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
∫ g( x )dx = ∫ f [( x )]′( x )dx
难
凑
u = ( x )
=
∫ f ( u)du.
易
证明
第二讲 换元法
教学目的：不定积分换元法 教学目的： 教学目的 教学重点：凑微分法 教学重点： 教学重点 教学难点：第二类换元法 教学难点： 教学难点
主视图
换元法 凑微分法 凑微分公式 第二类 换元法 一次式的 有理根式 二次式的 二次根式
凑微分法
问题
1 ∫ cos 2 xdx = 2 sin 2 x + C , 求导数验证结果
1 = ctgx + 2 x cos 5 xdx . 解
∫
sin 2 x cos 5 xdx = ∫ sin 2 x cos 4 xd (sin x ) ∫
= ∫ sin 2 x (1 sin 2 x )2 d (sin x ) = ∫ (sin x 2 sin x + sin x )d (sin x )
1 ∴ ∫ (1 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例题
例9：求 ：
∫
dx x2 a2
1 1 1 解：原式 = ∫ ( x a x + a )dx 2a
1 d ( x a) d ( x + a) ] = [∫ ∫ 2a xa x+a
= 2 ∫ sin xd (sin x ) = (sin x ) + C ;
2
解（三） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
= 2 ∫ cos xd (cos x )= (cos x ) + C .
2
例题
1 dx . 例2 求 ∫ 3 + 2x 1 1 1 ( 3 + 2 x )′, = 解 3 + 2x 2 3 + 2x
例15: 求 csc xdx .
1 1 解（一） ∫ csc xdx = ∫ dx dx = ∫ x x sin x 2 sin cos 2 2
x d = ∫ 1 d tg x =∫ 2 2 x 2 x x tg tg cos 2 2 2 1
x = ln tg + C = ln(csc x ctgx ) + C . 2
2
解：原式= ∫ 原式
1 π 2 [ sin( x + )] 4 2 1 π = ctg ( x + ) + c 2 4
例题
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 cos x 解 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1 + cos x )(1 cos x ) 1 cos x 1 cos x dx = ∫ =∫ dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 = ∫ 2 dx ∫ 2 d (sin x ) sin x sin x
1 1 1 ∫ 3 + 2 xdx = 2 ∫ 3 + 2 x ( 3 + 2 x )′dx 1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln( 3 + 2 x ) + C . 2 u 2 2
一般地
∫
1 f (ax + b )dx = [ ∫ f ( u)du]u= ax + b a
例题
；
凑微分公式
∫
f (sin x) cos xdx =
∫
f (sin x)d sin x
；
∫
∫
f (tan x) sec 2 xdx =
dx f (arctan x) = 2 1+ x
∫
f (tan x)d tan x
；
∫
f (arctan x)d arctan x
；
∫
1 1 1 1 f 2 dx = f d x x x x
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
换元积分法技巧性强，需要多作练习， 不断归纳，积累经验，才能灵活运用．
凑微分公式
通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：
∫
∫
f ( ax + b)dx =
2
1 a
∫ f (ax + b)d (ax + b)
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2 x dx = dt , 换元 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
换元以后再还原
凑微分法
定理1 定理1
u 可导， 具有原函数， 设 f (u) 具有原函数， = ( x ) 可导，
e e dx dx = ∫ dx ∫ = ∫ 1 x x 1+ e 1+ e 1 d (1 + e x ) = ∫ dx ∫ 1+ ex
x
x
= x ln(1 + e x ) + C .
例题
1 x+ 1 例8 求∫ (1 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1 2 , x x
1 d (cos x ) = ∫ u = cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 + du = ∫ = ∫ du 2 2 1 u 1+ u 1 u
1 1 u 1 1 cos x = ln + C = ln + C. 2 1+ u 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C .
x x x sin 2 sin sin x 2 = 2 2 = 1 cos x = csc x ctgx 注 : tan = x x x 2 sin x cos 2 cos sin 2 2 2
∫
例题
例题
解（二） ∫ csc xdx = ∫
1 sin x dx = ∫ 2 dx sin x sin x
1 2a
(a ≠ 0) ；
f (ax + b) xdx =
x x
∫
f ( ax 2 + b)d ( ax 2 + b)
x
；
(a ≠ 0)
∫
∫
f (e )e dx =
∫ f (e
)de
x
；
dx f (ln x) = f (ln x)d ln x ； x
∫
∫ f (cos x) sin xdx = ∫ f (cos x)d cos x
1 1 1 1 x 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x 4 3 x 4 3 +1 +1 3 3
1 x4 = arctg + C. 3 3
例题
1 dx . 例7 求 ∫ x 1+ e 1 1+ ex ex dx = ∫ dx 解 ∫ x x 1+ e 1+ e
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x sin x + sin x + C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
例题
例14 求 cos 3 x cos 2 xdx .
∫
1 解 cos A cos B = [cos( A B ) + cos( A + B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
证由复合函数求导法则有
{F [ ( x)]}' = f [ ( x)] ′( x)
可见 F[ ( x)] 是 f [ ( x)] ′( x) 的一个原函数，故公式(1)成立．
公式（１）说明：当积分
∫ g ( x)dx
不便计算时，可考虑将
g(x)化为 f [ ( x)] ′( x) 的形式，那么
∫ g ( x)dx = ∫ f [ ( x)] ′( x)dx = ∫ f [ ( x)]d ( x) = ∫ f (u )du
∫
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第二类换元法
问题
x 5 1 x 2 dx = ? ∫
令 x = sin t dx = cos tdt ,
解决方法 改变中间变量的设置方法 改变中间变量的设置方法. 过程