初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

专练3

最短路径模型——旋转最值类

基本模型图:

当点P 是⊙O 外一点，直线PO 分别交

⊙O 于点A 、B 两点，则线段PA 的长是点P

到⊙O 的最短距离，线段PB 的长是点P 到

⊙O 上的点的最长距离

.

当点P 是⊙O 内一点，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ，则线段PA 的长是点P 到⊙O 上的点的最短距离，线段PB 的是点P 到⊙O 上的点的最长距离

.

总结：用旋转思想解决线段最值问题的本质是利用三角形三边关系

解决问题.

特点：旋转类最值一般涉及到平面上一定点到圆上一动点的最大值（或最小值），属于单动点问题，有时动点的运动路径圆（或圆弧）并不直接给出，此时需要根据条件把“隐圆”勾画出来，具体来说“隐圆”一般有如下呈现方式：①定点定长

；②

定弦定角

.

【典例1】如图，在矩形

ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上

的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到

△EB ′Ｆ，连结B ′Ｄ，则B ′Ｄ的最小值是（

）．

A ．210-2

B.6

C.213-2

D.4

【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′Ｅ可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′Ｄ的长最小，此时B ′Ｄ＝DE －EB ′，问题得解.

【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′Ｅ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为

直径的圆上，如图所示

. B ′Ｄ的长最小值= DE －EB ′＝

2

2

6

2

22102.故选A ．

【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以

E

A

O

B

P

O

B

P A