分析方法第二章演示文稿
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明过程 主 0后 ,找 要 的是 过 ,须 任 程 解 给 ,不 为等 使
式的过 ,经 程常 简采 单用,或 放先 大x的 限 绝取 制 对值 ,值 再范 放
绝对,然 值后再解,找 不出 等小 式 .正数
例 1用 语言 lix m 2 证 x 1 明 0 . x 1 x 3 证 首 明 x 先 1 1 ,则 限 x 2 有 x 制 1 1 x 1 1 2
f (x) f x
lim
2 0,
x0
x
求证 limf (x) 0. x x0
f(x)fx
证明lim
20，则
x0
x
0 , 0 , x:0 x ,有
f ( x ) f x 2
x
f(x)fxf(x)fxx. 于是有以下不等
2
2
f (x) x fx
2
f
x 2
x
2
f
x 22
f2x2
x 22
li f ( x m ) A 0 , B 0 , x : x B f ( x ) A
x
以上为正常极限定义，非正常极限定义还有18个，请大家 作为练习， 自己写出.
用定 li义 m f(x)证 A ，明 须 0 ,找 对出 ， 小使 正 x a
0x a 时， f(x) 有 A 成 . 立
x:0x a f(x ) 3 3 f (x)
lim3 f(x) 0 xa
(2 )当 A 0 时 3f(x ， ) 3A
f(x) A
3f2(x) 3f(x)A 3A 2
f(x)A
f(x)A
2
3
f(x)32A
33 4
A2
33 A2 4
lif( m x ) A ,则 0 , 0 , x :0 x a 时有 x a
( 2 ) 0 0 , 0 , x :a x a f ( x ) A 0
例 5 设 f( x ) 在 函 ( 0 , ) 上 数 f( 2 x ) 满 f( x ) ， li f 足 ( x m ) A , x
证f( 明 x ) A ,x 0 ,. 证任 明意 x 0 ,取 , 有 定
lim fx 1 f(x)l有限 . 数
x
求证limf(x)l. x x
证 (当 1Hale Waihona Puke Baidul 明 0 时 , ) l i f x m 1 f ( x ) 0 x
则 对 0 , A 0 , xA ,有
fx1fx
2
对 x A , 设 x A n s n 0 , 1 , 2 , , 0 s 1 , 则
第二章 函数极限存在的证明 与求法
方法一 利用函数极限的定义
定义 lf i ( x ) m A 0 , 0 , x : 0 x a f ( x ) A x a li f ( x ) m A 0 , 0 , x : a x a f ( x ) A x a li f ( x ) m A 0 , 0 , x : a x a f ( x ) A x a li f ( x m ) A 0 , B 0 , x :x B f ( x ) A x li f ( x m ) A 0 , B 0 , x : x B f ( x ) A x
x 3(x 1 ) 2 2 x 1 1
于是有
x2x1x2x12x1
x3
x3
对 0 ,由 2x 1 ,解 x 得 1 .
2
于是 m 1 ,取 i2 n ， 则 x:0 x 对 1 时 ,有
x2x12x1 lim x2x10
x3
x 1 x3
例 2设 lifm (x ) b b 0 ,证 li明 m 1 1 .
1
1
f(x)b
f(x)b
f(x) b f(x)b b2
2
lim 1 1 xa f (x) b
例 3设 lim f(x)A （常数 -语 ） 言 用 证明 x a lim3 f(x) 3 A xa
证 1 ） A 明 0 时 当 li f （ ( x m ) ， 0 , 则 0 , 0 , x a
f(x)A33 A2
4
从 而 x:0xa时有
f(x)A
3 f(x)3 A
33 A2
4
lim3 f(x)3 A
xa
例 4叙述 1 定 lim f(义 x)： . x
2 x a 0 时 f(x)不 A 为 以.极限
解 1 ） M （ 0 , B 0 , x :x B f( x ) M .
x a
x af(x ) b
证首 明先 0b 2 取 0 , lx iafm (x) bb0 ，
则 10, x:0xa1时有
b f (x)b ,
2
从f而 (x )f(x ) b b bf(x ) bb 2
于是 f1 (x)b 1ff((xx)) b bf(xb)2b 2
再l由 im f(x)b,则 x a 0 , 2 0 , x :0 x a 2 f(x ) b b 2 2 取 m 1 ,2 i ,则 n x :0 x a 时 ,有
f(x ) f( 2 x ) f( 2 2 x ) f( 2 n x )
limf(x) , 由海涅定理， x f(x)lim f(2nx)A n 再 x 的 由 ,有 任 f( x ) A , 意 x 0 , 性 .
例 6设 f(x)在 (0,1)上有l定 im f(x义 )0， 且 x 0
fx ffA A n 1 s s ffA A n s 1 fs A fs A n 1 s f A n s f A n 1 s f A n 1 s f A n 2 s
f2x3
---------
f2xn2xnf2nx1
以上各式相加,得
f(x) x2 x2 x 22 x n f 2n x 1
令n，对上式,取 得f极 (x)限 2x,
f (x) 2 ,
x
即limf (x) 0. x x0
例 7设 f(x)在 0 ,上 有 ,在 0 定 ,的 义任意闭 ,且区
式的过 ,经 程常 简采 单用,或 放先 大x的 限 绝取 制 对值 ,值 再范 放
绝对,然 值后再解,找 不出 等小 式 .正数
例 1用 语言 lix m 2 证 x 1 明 0 . x 1 x 3 证 首 明 x 先 1 1 ,则 限 x 2 有 x 制 1 1 x 1 1 2
f (x) f x
lim
2 0,
x0
x
求证 limf (x) 0. x x0
f(x)fx
证明lim
20，则
x0
x
0 , 0 , x:0 x ,有
f ( x ) f x 2
x
f(x)fxf(x)fxx. 于是有以下不等
2
2
f (x) x fx
2
f
x 2
x
2
f
x 22
f2x2
x 22
li f ( x m ) A 0 , B 0 , x : x B f ( x ) A
x
以上为正常极限定义，非正常极限定义还有18个，请大家 作为练习， 自己写出.
用定 li义 m f(x)证 A ，明 须 0 ,找 对出 ， 小使 正 x a
0x a 时， f(x) 有 A 成 . 立
x:0x a f(x ) 3 3 f (x)
lim3 f(x) 0 xa
(2 )当 A 0 时 3f(x ， ) 3A
f(x) A
3f2(x) 3f(x)A 3A 2
f(x)A
f(x)A
2
3
f(x)32A
33 4
A2
33 A2 4
lif( m x ) A ,则 0 , 0 , x :0 x a 时有 x a
( 2 ) 0 0 , 0 , x :a x a f ( x ) A 0
例 5 设 f( x ) 在 函 ( 0 , ) 上 数 f( 2 x ) 满 f( x ) ， li f 足 ( x m ) A , x
证f( 明 x ) A ,x 0 ,. 证任 明意 x 0 ,取 , 有 定
lim fx 1 f(x)l有限 . 数
x
求证limf(x)l. x x
证 (当 1Hale Waihona Puke Baidul 明 0 时 , ) l i f x m 1 f ( x ) 0 x
则 对 0 , A 0 , xA ,有
fx1fx
2
对 x A , 设 x A n s n 0 , 1 , 2 , , 0 s 1 , 则
第二章 函数极限存在的证明 与求法
方法一 利用函数极限的定义
定义 lf i ( x ) m A 0 , 0 , x : 0 x a f ( x ) A x a li f ( x ) m A 0 , 0 , x : a x a f ( x ) A x a li f ( x ) m A 0 , 0 , x : a x a f ( x ) A x a li f ( x m ) A 0 , B 0 , x :x B f ( x ) A x li f ( x m ) A 0 , B 0 , x : x B f ( x ) A x
x 3(x 1 ) 2 2 x 1 1
于是有
x2x1x2x12x1
x3
x3
对 0 ,由 2x 1 ,解 x 得 1 .
2
于是 m 1 ,取 i2 n ， 则 x:0 x 对 1 时 ,有
x2x12x1 lim x2x10
x3
x 1 x3
例 2设 lifm (x ) b b 0 ,证 li明 m 1 1 .
1
1
f(x)b
f(x)b
f(x) b f(x)b b2
2
lim 1 1 xa f (x) b
例 3设 lim f(x)A （常数 -语 ） 言 用 证明 x a lim3 f(x) 3 A xa
证 1 ） A 明 0 时 当 li f （ ( x m ) ， 0 , 则 0 , 0 , x a
f(x)A33 A2
4
从 而 x:0xa时有
f(x)A
3 f(x)3 A
33 A2
4
lim3 f(x)3 A
xa
例 4叙述 1 定 lim f(义 x)： . x
2 x a 0 时 f(x)不 A 为 以.极限
解 1 ） M （ 0 , B 0 , x :x B f( x ) M .
x a
x af(x ) b
证首 明先 0b 2 取 0 , lx iafm (x) bb0 ，
则 10, x:0xa1时有
b f (x)b ,
2
从f而 (x )f(x ) b b bf(x ) bb 2
于是 f1 (x)b 1ff((xx)) b bf(xb)2b 2
再l由 im f(x)b,则 x a 0 , 2 0 , x :0 x a 2 f(x ) b b 2 2 取 m 1 ,2 i ,则 n x :0 x a 时 ,有
f(x ) f( 2 x ) f( 2 2 x ) f( 2 n x )
limf(x) , 由海涅定理， x f(x)lim f(2nx)A n 再 x 的 由 ,有 任 f( x ) A , 意 x 0 , 性 .
例 6设 f(x)在 (0,1)上有l定 im f(x义 )0， 且 x 0
fx ffA A n 1 s s ffA A n s 1 fs A fs A n 1 s f A n s f A n 1 s f A n 1 s f A n 2 s
f2x3
---------
f2xn2xnf2nx1
以上各式相加,得
f(x) x2 x2 x 22 x n f 2n x 1
令n，对上式,取 得f极 (x)限 2x,
f (x) 2 ,
x
即limf (x) 0. x x0
例 7设 f(x)在 0 ,上 有 ,在 0 定 ,的 义任意闭 ,且区