函数的单调性与导数(导学案)

1.3.1函数的单调性与导数(导学案)

【学习目标】1．探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

2.能由导数信息绘制函数大致图象。

【学习重点】探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。

【学习难点】利用导数信息绘制函数的大致图象。

【学习方法】：发现式、启发式。

【学习过程】

一．回顾与思考

1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

2、如果遇到函数：y=x3-3x判断单调性呢？还有其他方法吗？

二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值

等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我

们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的

单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，

那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在

的联系呢?

【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2

=-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数h t t t

() 4.9 6.510

'

==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间v t h t t

()()9.8 6.5

的运动状态有什么区别？

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． （2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．

【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的

切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的

斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数

有什么关系呢？

【引导】可先分析函数的单调性与导数的符

号之间的关系.

【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的

单调性与其导数正负的关系．

（1）函数y x =的定义域为 ，并且在定义域上是 ，其导数 ；

（2）函数2y x =的定义域为 ，在(,0)-∞上单调 ，在(0,)+∞上单调 ； 而2()2y x x ''==，当0x <时，其导数 ；当0x >时，其导数 ；当0x =时，其导数 。

（3）函数3y x =的定义域为 ，在定义域上为 ；

而32()3y x x ''==，若0x ≠，则其导数 ，当0x =时，其导数 ；

（4）函数1y x

=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，在(,0)-∞上单调 ，在(0,)+∞上单调

而211()y x x ''==-，因为0x ≠，显然0y '<.

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么 ；如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么 .

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？

【探究】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．

在0x x =处，'0()0f x >，切线是“ ”式的，

这时，函数()f x 在0x 附近单调 ；

在1x x =处，'0()0f x <，切线是“ ”式的，这

时，函数()f x 在1x 附近单调 ．

知识归纳

函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，

如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ；

如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内

特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是 ．

问：()0f x '>能推出()f x 为增函数，反过来成立么？

三．知识应用

【例1】判断下面函数的单调性，并求出单调区间． 2()23f x x x =--

知识归纳

求解函数()

=单调区间的步骤：

y f x

（1）确定函数()

y f x

=的定义域；（2）求导数''()

=；

y f x

（3）解不等式'()0

f x>，得到函数的单调递增区间；

（4）解不等式'()0

f x<，得到函数的单调递减区间；．

【变式训练】判断下面函数的单调性，并求出单调区间

（1）y=3x3－3x2(2) y=3e x －3x(3) y=x ln x

函数的导数与函数的增减速度

一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”. 【例2】如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同