信号与系统奥本海姆课件第4章

非周期信号，对非周期信号应该如何
进行分解，什么是非周期信号的频谱 表示，就是这一章要解决的问题。
在时域可以看到，如果一个周期信号的 周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一 个非周期信号；反过来，任何非周期信号 如果进行周期性延拓，就一定能形成一个 周期信号。我们把非周期信号看成是周期 信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考

1 F { x(t ) cos 0t } { X [ j( 0 )] X [ j( 0 )]} 2 1 F COS0t 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2 [ ( 0 ) ( 0 )]
4. 共轭对称性: 若 则
考察周期性矩形脉冲的频谱图： ①当 时，谱线间隔 变小，谱线
越来越密；
②当
时，周期方波转化为非周期的
单脉冲信号，相应地，信号频谱由离
散谱变成连续谱。
非周期信号 考察
是周期信号

的一个周期，
的傅立叶级数：
~ x (t )
k
a e
k
jk0t

定义
的包络为
连续时间傅立叶变换
系数
①当 ②当 积分式。
1 R( j ) S ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
1 1 S j ( 0 ) S [ j ( 0 )] 2 2
s(t )

p(t )
r (t )
0
P( j )
( )
0
0

1
S ( j )
0
R( j )
2

X ( j )e d
将 x(t ) 分解成复指数分量的线性组合，每个 j t e 通过LTI系统时都要受到系统频响 H ( j ) 的加权，其中
H ( j ) h(t )e


j t
dt
即是系统与 e
j t
对应的特征值。故有
1 y (t ) x(t ) * h(t ) 2
x(t )
1
2T1
4T1
t
0
2T1

2T1

0
不同脉冲宽度对频谱的影响
5.
1 X ( j ) 0
W W
(称为理想低 通滤波器)
X ( j )
1
(W / )
x(t )

W
W 0

W
0
t
与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时
域和频域之间存在一种对偶关系。
对偶关系可表示如下:
e 则 x(t t0 )

jt0
X ( j)
这表明信号的时移只影响它的相频特性， 其相频特性会增加一个线性相移。 3. 频移: Frequency Shifting 若 则
x(t ) X ( j ) j0t x(t )e X ( j ( 0 ))
Conjugate and Symmetry

x(t ) X ( j ) x (t ) X ( j)

由 X ( j ) x(t )e jt dt 可得


X ( j ) x (t )e
* *

j t
dt
j t
所以
即
X ( j )
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform
讨论傅立叶变换的性质，旨在 通过这些性质揭示信号时域特性 与频域特性之间的关系，同时掌 握和运用这些性质可以简化傅立 叶变换对的求取。
1. 线性: Linearity
若
则
2. 时移: Time Shifting 若 x(t ) X ( j )
LTI系统的特性， (t ) 才在信号与系统分析
中具有如此重要的意义。
X ( j )
1

0
4. 矩形脉冲:
x(t )

1,
t T1
t T1
0,
x(t )
1
t
T1 0 T1
2T1
X ( j )

T1
0

x(t )
1
2T1
X ( j )

T1
t
T 1

0
T1
0
X ( j )
查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时
的变化，就应该能够得到对非周期信号的
频域表示方法。
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅 立叶变换
Representation of Aperiodic Signals: The ContinuousTime Fourier Transform
Fra Baidu bibliotek
一.从傅立叶级数到傅立叶变换 已求得周期对称矩形脉冲的傅立叶级数系数：
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous-Time Fourier
Transform
本章的主要内容:
1.连续时间傅立叶变换;
2.傅立叶级数与傅立叶变换之间 的关系;
3.傅立叶变换的性质; 4.系统的频率响应及系统的频域 分析；
4.0 引言 Introduction
在工程应用中有相当广泛的信号是
时， 时，
趋近于 ，
； 过渡为一个
即，
1 x(t ) 2



X ( j )e d
jt
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多
1 个频率连续分布、振幅为 X ( j )d 的复 2
指数信号之和。 X ( j )称为
的频谱。
周期信号的频谱是对应的
非周期信号频谱的样本；而非

2 x()


X ( jt )e
X ( jt )e
jt
dt
2 x( )
jt
dt
8. Parseval定理:
若 则
2



1 x(t ) dt 2



X ( j ) d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也 可以在频域求得。由于 X ( j ) 表示了信号
5.时域微分与积分:
Differentiation and Integration
若
则
1 (将 x(t ) 2
（时域微分特性）



X ( j )e
j t
d
两边对 t 微分即得该性质)
（时域积分特性) 由时域积分特性从
也可得到:
6.时域和频域的尺度变换:
若 当 a 1 时，有 则
x(t )
1
2T1
X ( j )

t
T1 0 T1
T1
0

(W / )
x(t )
W
1
X ( j )
t
0
W

0
W
对于5. 我们可以想到，如果 W ，则
x(t ) 将趋于一个冲激。
6. 单位冲激函数的傅立叶逆变换
因为
2 () 所以 x(t ) 1
F
4.2 连续时间FT的性质
1/2
M
M

0
0

正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的 频谱搬移到载频位置。 例3. 同步解调:
2
能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密
度”函数。
4.3 卷积性质
一. 卷积特性： 若 则
The Convolution Property
由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频 域进行分析成为可能。本质上，卷积特性成 立正是因为复指数信号是LTI系统的特征函 1 数。由 j t
x(t )
1 a
2 a
a
X ( j )
号的频谱。
a

3.
x(t ) (t )
j t
(t )
dt 1
0
X ( j ) (t )e

t
这表明 (t )中包括了所有的频率成分，且
所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，
系统的单位冲激响应 h(t ) 才能完全描述一个
Scaling
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 这就从理论上证明了时域与频域的相反关系， 也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。 时域中的压缩对应频域中的扩展.反之亦然
7.对偶性: Duality
若
1 证明： x (t ) 2
则



X ( j )e jt d



X ( j ) H ( j )e
j t
d
所以
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
由于h(t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的 复指数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输 入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统 的频率响应。 鉴于h(t )与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI 系统可以由其频率响应完全表征。由于并非 任何系统的频率响应 H ( j ) 都存在，因此用 频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系 统。
若 则
The Multiplication Property
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个 信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调 制。其中一个信号称为载波，另一个是调制 信号。
例1. 正弦幅度调制:
s(t ) S ( j),
p(t ) cos 0t
r (t ) s (t ) p(t ) P( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
二. LTI系统的频域分析法:
根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分
析, 其过程为:
1. 由
x (t ) X ( j )
2. 根据系统的描述，求出 H ( j )
3. Y ( j ) X ( j ) H ( j )
4.
y(t ) F [Y ( j )]
1
4.4 相乘性质
*


x (t )e
*
dt
* x ( t ) •若 是实信号，则 x(t ) x (t )
于是有:
X ( j ) X ( j )
*
• 若 X ( j) Re[ X ( j)] j Im[ X ( j)] 则可得 即实部是 Re[ X ( j )] Re[ X ( j )] 偶函数
dt
jt
dt x( )e j dt X ( j)
*
表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。
又因为 X ( j ) X ( j ) 所以 X ( j ) X ( j )
*
表明 X ( j ) 是实函数。
• 若 x(t ) x(t )
即信号是奇函数，同样可以 即 X ( j ) 是虚函数 即 X ( j ) 是奇函数
周期信号的频谱是对应的周期 信号频谱的包络。
定义：设有非周期连续时间信号x(t)
X ( j ) x(t )e



jt
dt
d
1 x(t ) 2


X ( j )e
jt
x(t ) X ( j)
F .T .
二. 傅立叶变换的收敛
既然傅立叶变换的引出是从周期信 号的傅立叶级数表示，讨论周期趋
X ( j ) e e
0
a t
,
0
a 0
1
x(t )
at jt
dt e at e jt dt
1 1 2a 2 2 a j a j a
t
0
对此例有 X ( j) X ( j) 结论：实偶信号的傅立 叶变换是实偶函数。此 时可以用一幅图表示信
限个第一类间断点。
三.常用信号的傅立叶变换：
1.
x(t )
1
x(t ) e u(t ), a 0
at j t 0
at
X ( j ) e e
X ( j ) 1
2
1 dt a j
t
0
a
2
1/ a
X ( j )
2 2a
0
a
a

2. x(t ) e
得出:
X ( j ) X ( j )
X ( j ) X ( j )
*
• 若 x(t ) xe (t ) xo (t ) 则有:
X ( j ) X e ( j ) jX o ( j )
X e ( j ) Re[ X ( j )]
X o ( j) Im[ X ( j)]
Im[ X ( j)] Im[ X ( j)] 虚部是
奇函数 •若
X ( j) X ( j)
则可得出
即：模是偶函数，相位是奇函数
• 如果 x(t ) x(t ) 即信号是偶函数。则
X ( j )
x(t )e




x ( t )e

jt
于无穷大时的极限得来的，傅立叶
变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。
相应的两组条件：
1. 若
则



x(t ) dt
2
X ( j )
存在。
即所有能量有限的信号 其傅立叶变换一定存在。
2. Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件



x(t ) dt
b. 在任何有限区间内，x(t ) 只有 有限个极值点,且极值有限。 c. 在任何有限区间内， x(t ) 只有有