第二章 常用概率分布可靠性

Z
1nx y
y
五、威布尔分布
• 威布尔分布是一种含有三参数 或两参数的分布，常用来描述 材料疲劳失效、轴承失效等寿 命分布的，由于适应性强而获 得广泛的应用。
三参数威布尔分布的概率密度函数为
x y 1 f ( x) ( ) e
累积概率分布为
x ( )
当 =0， =1时，称随机变量X服从标准正 态分布，记作N（0， 1），其概率密度函数和 累积分布函数为
1 f ( z) e 2 z2 1 z 2 dZ F（Z）= e 2
上式F(z)值可查标 准正态分布面积表
z2 2
（2-9） （2-10）
为了便于计算，经过变量置换，可将非标准正态分布 化为标准正态分布。
泊松分布的表达式为
r ee P（X=r）= （2-5）
r!
式(2-5)表示事件发生r次的概率， 其中 为事件发生次数的均 值， 它不随时间的变化而改变。

当试验次数n很大而每次试验事件发生的概率P很小 时，泊松分布是二项分布很好的近似，一般当n≥20， P≤0.05，二者的近似性就已很好，即有近似公式
r n
r Pn(X=r)= Cn p r q nr

二项分布的累积分布函数为
P（r ≤k）
C
r 0
k
r n
pq
r
nr
1
（2-1）

由累积分布函数的性质可知 （2-2） 二项分布是离散型随机事件的一种分布 ， 其均值和标准差分别为
r 0
p ( X r)
n
n
C
r 0
k
r n
其定义为

P(X≤xm)=P(X>xm)=0.50
对数正态分布的均值、标准差和中位值分 2 y 别为 (y ) （2-15） x E( X ) e 2
x D( X ) x (e 1)
xm e y
2 y
1 2
（2-16） （2-17）

由于y=1nx呈正态分 布，所以有关正态分 布的一切性质和计算 方法都可在此应用。 只要令 1nx y Z y ，便可应用标准 正态分布表，查出累 积概率F（Z），反之 由F（Z）变可查出

解 已知n=25， =np=0.5，P=0.02 r 由二项分布Pn（X－r）= Cn p r q n r
2
= C25 ×0.022×0.9823=0.0754 由泊松分布P（X－r）= r e 2 0.5 = 0.5 e =0.0758 r!
2!
可见两种分布计算的结果非常近似，而二项分布计算 较烦，泊松分布计算则简单些。 但是应该指出，泊松分布不仅是二项分布的一种近似式， 就其本身而言也是可靠性学科中一个重要的分布。

和

对正态分布曲线位置和形状的影响
• 则有： 不可靠度
F (t ) 0
t
1 2
t
(t ) 2 2 2 dt e
•
• •
可靠度
R(t ) 1
1 2
0
(t ) 2 2 2 e
dt
故障率
f (t ) (t ) R (t )
正态分布计算可用数学代换把上式 变换成标准正态分布，查表简单计 算,得出各参数值。
x ( )

（2-21）
讨论三个参数对威布尔分布的影响：
形状参数 ，它影响分布曲线的形状，图2—10～图 2—12示出了形状参数对概率密度函数f(x)，可靠度 R(t)和失效率 (t)的影响情况。如果应用威布尔概率纸， 把随机变量x和相应的F(x)在威布尔概率纸上描点时， 可得出以不同卢为斜率的直线，所以形状参数 也称威布尔斜率。它是三个参数中最重要的具有 f(t) 实质意义的参数。
令z
F ( x)
x

1 2
， 代入式（2-8）得
x



e
Z2 2
dz (
x

)
x2
（2-11）
( x )2 2 2
或者P（ x1＜X＜xBiblioteka Baidu）
1
•
=
(

2
)
x
e
dx
1 2

x2
x1

e
Z2 2
dZ

x2

) (
解: （1）由附表1查得失效概率F（Z）=0.5 • 存活率 R（x=500）=1-F(Z)=1－0.5=0.5 • 试件失效数 n=100×0.5件=50件 （2）失效概率 P（450＜X＜550）
550 600 450 600 ) ( ) = ( 50 50 = （－2）－ （－3）=0.022750－0.0013499 =0.0214
• 2)标准正态分布面积表还有如图b、c、d所示 的表示方法，显然图b中的面积等于图a中的1 一F(Z)， 图c中的F(Z)+0.5等于图a的F(Z)， 图d中的面积除2加0.5等于图a中的F(Z) (图中 的积分面积均以阴影表示)。
• 例2-2 有100个某种材料的试件进行抗拉 强度试验，今测得试件材料的强度均值 =600MPa，标准差=50MPa求：(1)试件的 强度均值=600MPa时的存活率、失效概 率和失效试件数， (2)强度落在(550— 450)MPa区间内的失效概率和失效试件 数； (3)失效概率为0.05(存活率为0.95) 时材料的强度值。
※概述
产品可靠性的所有数量特征，都与该产品的寿命分布函数有 密切关系。如果已知寿命分布函数，则失效密度函数、失效率函 数以及可靠寿命等许多特征量都可以求出。即使不知道具体的寿 命分布函数，但如果已知寿命分布的类型，也可以通过对分布的 参数估计，求得某些可靠性特征量的估计量。因此，研究产品的 寿命分布十分重要。 由于产品千变万化，寿命分布的类型很多，许多情况下要 确定产品的失效服从何种分布是很困难的，一般有两种方法：一 是根据其物理背景来定，即产品的寿命分布与内在结构以及物理、 化学、力学性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过 失效分析，证实该产品的失效模式或失效机理与某种分布类型的 物理背景相接近时，可由此确定它的寿命分布类型。二是通过进 行可靠性寿命实验或者分析产品在使用过程中数据资料来获得产 品的失效数据，利用统计推断的方法来判断它属于何种分布。在 可靠性工程中，常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、 正态分布、威布尔分布等。
试件失效数 n=100×0.0214件≈2件 （3）失效概率F（Z）=0.05，存活率1－F（Z） x =0.95。由附表1查得Z=－1.64，由式Z= x 600 可得－1.64= 50 材料的强度值为 x=518MPa。
在可靠性分析中，材料的强度、零件的寿命和 尺寸等都可以用正态分布来拟合。由概率论的 中心极限定理可知，当研究对象的随机性是由 许多互相独立的随机因素之和所引起，而其中 每一个随机因素对于总和影响极小时，这类问 题都可认为服从正态分布，因此，正态分布应 用较广。但是，正态〃分布是对称的，并且随 机变量的取值是从—≦到+≦。然而，有许多 试验数据并不是对称的，而是倾斜的，或观察 数据只能取正值而不能取负值，因此，正态分 布和其它分布一样，也有局限性，在使用中应 根据具体情况选择合适的分布。
(
x y

)
（2-18）
F ( x) 1 e
式中

（2-19）



为形状参数； 为尺度参数； 为位置参数。

当 =0，则称为两参数威布尔分布。其 概率密度函数和累积分布函数分别为
x 1 f ( x) ( ) e
x ( )

（2-20）
F ( x) 1 e
x1

（2-12）
• 可见，经变量置换后，式(2-7)和式(2-8) 都成了标准正态分布形式，这样，非标 准正态分布的累积概率值都可以看成是 标准正态分布的累积概率值，即 f (Z)曲 线下面的面积F(Z)或 （Z）。由于正态 分布的对称性，查表时请注意： • 1)附表1是与图a相应的标准正态分布面 积表， F(—Z)=1—F(Z)。
三、正态分布
• 正态分布是一个基本的概率分布，也是最常用 的一种概率分布。 • 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材 料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度 以及难以判断其分布的场合。 若产品寿命或某特征值有故障(失效）密度 (t ) 1 f (t ) e 2 (t≥0，μ≥0，σ≥0) 2 则称t服从正态分布。
β =3 β =2
β =1/2
β =1 t
不同β 值的威布尔分布 （ =1，γ=0）
图2—13给出了 不变而 取不同值 时的威布尔分布曲线，可见 当改变时， 仅曲线起点的位置改变，曲线的形状不 变。当随机变量为零件寿命时， 表示开 始发生失效的时间t, 即t= 之前发生失效的概率为零，因此 也称为最小保证寿命。
第二章
§2-1 §2-2
可靠性理论中常用的几种概率分布
常用概率分布 概率分布的应用
1
§2-1
常用概率分布
下面介绍几种常用的概率分布，包括离散 型随机变量的分布和连续型随机变量的分布。 它们在可靠性工程中有着广泛的应用。

二项分布 泊松分布 正态分布

对数正态分布 威布尔分布 指数分布
2 2
正态分布的概率密度函数和累积分布函数分 别为：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
－∞＜x＜∞
（2-7）
1 F ( x) 2


x

( x ) 2
2
dx
e
（2-8）
正态分布可记为N( ， )，它是—种对称的分布，其参数 均值决定正态分布曲线的位置，表征随机变量分布的集中趋 势，而标准差决定正态分布的形状，表征随机变量分布的离 散程度 。
pq
r
nr
1

npq
np
（2-3）
由于工程问题中随机 事件包含两种可能性情 况(合格和不合格、成功 和失败，可靠与不可靠) 者甚多，因此二项分布 不仅用于产品的可靠性 抽样检验，还用于可靠 性试验和可靠性设计等 各个方面。
如果某随机事件的不可靠度为: F（t）=p， 可靠度 R（t）=1－F(t)=q ， 则式（2-2） 变为 P（r≤k）=
f ( x)
1 x y 2
1 x y 2
e
1 y y ( ) 2 y
（2-13）
F ( x)
x
0
e
1 y y ( ) 2 y
dx
x>0 (2-14)
式中 y 和 y 为y=1nx的均值和标准差。
实际上常用到随机变量的中位值xm，它表示 随机变量的中心值，
四、对数正态分布

如果随机变量X的自然对数y=1nx服从正态分布， 则称X服从对数正态分布。由于随机变量的取值x 总是大于零，以及概率密度函数(x)的向右倾斜不 对称，见图

因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种 常用的分布。材料的疲劳强度和寿命，系统的修 复时间等都可用对数正态分布拟合，其概率密度 函数和累积分布函数分别为
r Cn P r (1 P)n r
r e
r!
式中

=np


不难证明，泊松分布的 均值和方差都是 ， 其累积分布函数为 k r e （2-6） P（ r≤k）=
r 0
r!
例2—1 今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定 的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用 二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效 的概率。
一、 伯努利试验和二项分布
伯努利试验 :在相同的条件下，某一随机事件独立地重复n 次试验只有两种不同的结果，且试验中事件发生的概率不 变，这种重复的系列试验称为伯努利试验 。 在n次伯努利试验中，随机事件出现的次数是一随机变量 X，它每次发生的概率为P，而不出现的概率为q=1-p。 设在 n次试验中出现的次数为r，则这样的组合数将有 r r Cn ,而每个组合的概率是 Pr q n，所以事件发生r次的 概率为 式中 C 正好是二项式系数，故称该随机事件发生的 概率服从二项分布
r C n [ F (t )]r [ R(t )]nr r 0 k
（2-4）
二、泊松分布

泊松分布也是离散型随机 变量的一种分布 ，它描述 在给定时间内发生的平均 次数为常数时事件发生次 数的概率分布。 例如一部仪器上各种类型的 缺陷数，铸件上的砂眼数， 一段时间内设备发生的故障 次数等。这些事件的共同特 点是，知道发生的次数或个 数，但是不知道它不发生的 次数或个数。而对于二项分 布，不但知道事件发生的次 数，也知道不发生的次数。