加法与乘法运算律

“加法与乘法运算律”内容分析与案例

《标准》在第二学段的课程内容中关于运算律提出两点要求：第一，“探索并了解运算律（包括加法的运算律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律）；第二，会应用运算律进行一些简便运算。可见，加法和乘法的运算律是小学阶段“数与代数”领域的一个重要内容。

一、《标准》中安排运算律内容的意图

《标准》中安排这个内容的意图，我们从三个方面来交流讨论，理解它的价值。

（一）有助于对运算意义的理解

我们都知道，从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。可见，加法运算和乘法运算是学习减法和除法运算的基础。运算律是指运算过程中，被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律，有助于对四则运算意义本质的理解。如：加法的交换律和结合律，无论在运算过程中是交换加数的位置，还是改变运算顺序，仍然还是求和的并集运算，所以这样的变化，都不会影响计算的结果。乘法分配律(a+b ) × c=a × c+b × c 变化后的算式与原来算式相比，变化很大：步数增加，运算顺序改变，但是为什么结果不变呢？有的学生在探究中感受到，因为 a 个 c 加上 b 个 c ，就是 (a+b ) 个 c ，所以说学习运算律，在理解形式改变了，而结果不变的道理时，会进一步加深对加法和乘法运算意义的理解。

（二）有助于对运算本质的理解

在第二阶段安排这个内容，一般教科书都安排在四则混合运算的后面，也就是在突出四则混合运算顺序在运算中的必要性后来学习运算律。因为运算顺序是关于运算的一般规则，一般运算如果不遵循运算顺序的一般规则，将会导致错误的结果，而运算律虽然改变了运算顺序，但运算结果并没有改变，这就是算式的等值变形，即改变算式的形式并确保算式的值不变，这就是运算的本质。所以把四则混合运算和运算律紧挨着编排，能给学生关于“运算”的一个整体认识，可以使学生全面看待运算问题。

（三）有助于提升学生的运算能力

运算的正确、合理、灵活和简捷是运算能力的主要标志。

其一，运算能力的首要标志就是正确、合理。运算正确和合理，涉及到算法和算理问题。算法是实施四则运算的基本程序和方法，也就是依据某种规则的操作方法，主要解决“怎么计算”的问题；算理，简单地说，就是运算的道理、想法，严格地说，是四则运算的依据，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性。我们有体会，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度，算理为算法提供了依据，那么，这里的依据，主要是指数的概念、运算定律、运算性质等知识，那么加法与乘法的运算律就是加法和乘法有关运算提供了依据，有的还是重要的依据。

其二，运算能力的标志就是灵活简捷。也就是根据题目的具体特点（即数据特点、运算符号），不一定按部就班地计算，可以运用运算律寻找更加合理简洁的运算途径，改变算式的形式，确保算式的值不变，使运算变得简洁，体会算法的多样性和普适性。

二、加法与乘法运算律的具体内容分析

下面我们分三个方面来谈这个问题。

（一）关于 5 个运算律的意义

加法交换律就是交换两个加数的位置，和不变；加法结合律就是三个数相加，可以先加两个数，也可以先加后两个数，和不变；乘法交换律是交换两个因数的位置，积不变；乘法结合律是三个数相乘，可以先乘前两个因数，也可以先乘后两个因数，积不变；乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别和这个数相乘，结果不变。

这个就是小学阶段 5 个运算律的基本内容，我们可以从以下三个方面来把握。

第一，运算律的表达形式是一个恒等式，是对原来的算式进行等值变形。

第二，变化过程中，加法和乘法交换律变化特点是只改变数的位置，其他都不变化；加法结合律和乘法结合律的变化特点是只改变运算顺序，其他都不变化；而乘法分配律变化比较多：运算的步数变多了，运算顺序也改变了，数的位置也改变。所以它是学生学习的难点。

第三，这 5 个运算律都是最基本的，可以拓展，如交换律与结合律可以拓展为 3 、 4 个数等；乘法分配律可以拓展为多个数的和与一个数相乘；或拓展为两个数的差与一个数相乘。也就是说乘法可以对加法进行分配，也可以对减法进行分配，还可以根据除以一个数等于乘一个数的倒数，可以拓展到除法商，即两个数的和或差除以一个数的算式，可以应用分配律。

小学阶段学习运算律，更多的是让学生经历探索的过程，加深对意义的理解；二是关于运算，一般都不超过三步，所以基本的就够用了。对有余力的学生教师可以适当拓展。实质上如果学生能理解得好，将来需要，自然会主动迁移拓展。

（二）关于教学内容的编排

关于 5 个基本运算律的集中系统学习是在第二学段，很多版本的教科书一般都在四年级，安排在整数四则混合运算之后，小数、分数混合运算之前。

表面上看，好像只有一次学习运算律，实质上，也和数的认识、数的四则运算一样，它是螺旋上升，逐步加深的。可以认为有这样三个阶段：第一阶段在第一学段中就出现了，融合在四则运算和混合运算方法的探索中以及解决简单的实际问题中；第二阶段一般在四年级系统学习运算律的意义和应用；第三阶段一般在五、六年级，主要是在小数、分数的混合运算中直接应用运算律使计算简便。

这三个阶段目标要求的程度是不一样的。第一阶段没有出现概念，是自然渗透、自觉运用，因为运算律是被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律，学生能够结合生活实例或具体的题目，对运算律有所感悟和体会。例如，三年级学习口算 1 3 × 12 ，很多同学都能这样计算：13 × 10+13 × 2=130+26=156 ；二年级解决问题时，列出了连加法 109+134+91 ，有的学生就能结合问题情境，先算 109+91 再加 134 ，这样的例子有很多，学生凭借直觉已经认可和接纳了这些规律，并能在计算和解决问题中主动运用。

第二阶段的系统学习，主要是进一步丰富运算律的现实背景，经历探索运算律的过程，理解 5 个运算律的运算意义，并能用字母表达，应用运算律使一些运算简便，同时培养合情推理能力。