贝塞尔函数-1

贝塞尔函数

2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程 的定解问题

二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解
一个半径为ρ0 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘 温度分布恒保持为零度，求达到稳恒状态时圆盘内的 温度分布。
分析:这是一个稳态问题，所以温度分布满足拉普拉斯方程：
∇ 2 u = 0,
2 2 u u ∂ ∂ 2 ∇ u = + = 0, 2 2 ∂x ∂y
u
x2 + y 2 = R2
=0
3

引进极坐标变换：
⎧ x = ρ cos θ , (0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π ) ⎨ ⎩ y = ρ sin θ
方程与边界条件变换为：
∂u 1 ∂u ⎧1 ∂ (ρ ) + 2 2 = 0,0 ≤ ρ < ρ0 ,0 ≤ θ ≤ 2π ,(1) ⎪ ⎨ ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ⎪u ( ρ ,θ ) = 0,0 ≤ θ ≤ 2π (2) ⎩ 0
2
4

解： 1、分离变量：
u ( ρ ,θ ) = R( ρ )Φ(θ )" (5)
(5)代入(1)得：
R ′′Φ + 1
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (ρ )+ 2 = 0, 0 ≤ ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π , (1) 2 ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂ρ
ρ
R ′Φ +
1
ρ
2
RΦ ′′ = 0
整理后可令比值为λ：
ρ 2 R′′ + ρ R′
R
Φ′′ =− =λ Φ
5

ρ 2 R′′ + ρ R′
得两个常微分方程如下：
R
Φ′′ =− =λ Φ
Φ′′ + λΦ = 0
u (0, θ ) < + ∞
" (6)
u ( ρ , θ ) = u ( ρ , θ + 2π )
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0" (7)
u ( ρ ,θ ) = R( ρ )Φ(θ )
R (0 ) < + ∞
Φ (θ + 2π ) = Φ (θ )
⎧ Φ′′ + λΦ = 0 ⎨ ⎩Φ (θ + 2π ) = Φ (θ )
2 ⎧ ρ ⎪ R′′ + ρ R′ − λ R = 0 ⎨ ⎪ ⎩ R ( 0 ) < +∞
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5.1贝塞尔方程的引出

(一)、贝塞尔方程 例 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边 界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求 圆盘内的瞬时温度分布规律 定解问题为：
2 2 ⎧ ∂u ⎛ u u⎞ ∂ ∂ 2 2 2 2 a x y R , = + + < ( ) ⎪ ⎜ 2 2 ⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎪ ∂t ⎪ ⎨u t =0 = ϕ ( x, y ) ⎪ ⎪u x2 + y2 = R2 = 0 ⎪ ⎩
采用分离变量法求解
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(1)、时空变量分离 令： u( x, y, t ) = V ( x, y )T (t )
2 2 ⎛ ∂ V ∂ V 代入方程,得： VT ' = a 2 ⎜ + 2 2 ∂y ⎝ ∂x
⎞ ⎟T ⎠
⎛ ∂ 2V ∂ 2V ⎜ 2 + 2 ∂y T ' ⎝ ∂x 或 2 = aT V
得：
2 ′ T (t ) + a λT (t ) = 0" (1)
⎞ ⎟ ⎠ = −λ
∂ 2V ∂ 2V + 2 + λV = 0" (2) 2 ∂x ∂y
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得：
T ′(t ) + a 2 λT (t ) = 0" (1)
∂ 2V ∂ 2V + 2 + λV = 0" (2) 2 ∂x ∂y
由(1)：
T ( t ) = Ae
−α 2 λ t
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一阶线性齐次微分方程 1）一般式
dy + P( x) y = 0 dx ⎧
⎪分离变量 ⎪ ⎪ 2）解法 分离变量法 ⎪两边积分 ln y = − P( x)dx + ln C ⎨ ∫ ⎪ ⎪ ⎪ − ∫ P ( x ) dx y = Ce ⎪通解 3）通解公式 ⎩
1 dy = − P( x)dx y
∫ y = Ae
− P ( x ) dx

2 ′ T (t ) + a λT (t ) = 0" (1)
∂ 2V ∂ 2V + 2 + λV = 0" (2) 2 ∂x ∂y
亥姆霍兹（Helmholtz）方程
u( x, y, t ) = V ( x, y )T (t )
V ( x, y )T (t ) x2 + y 2 = R2 ＝0
u
x2 + y 2 = R2
=0
V ( x, y ) x2 + y 2 = R2 ＝0
⎧ ∂ 2V ∂ 2V ⎪ ∂x 2 + ∂y 2 + λV = 0 ⎨ ⎪ V ( x, y ) 2 2 2 ＝0 x + y =R ⎩
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⎧ ∂ 2V ∂ 2V ⎪ ∂x 2 + ∂y 2 + λV = 0 ⎨ ⎪ V ( x, y ) 2 2 2 ＝0 x + y =R ⎩
"( 2 )
采用极坐标并考虑边界条件得：
⎧ ∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + 2 + λV = 0, ( ρ < R) ⎪ 2+ 2 ρ ∂ρ ρ ∂θ " (3) ⎨ ∂ρ ⎪V ⎩ ρ =R = 0
(2)、空间变量分离
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令： V ( ρ , θ ) 得： Θ ′′ (θ
= P( ρ )Θ(θ )
∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + + 2 + λV = 0, ( ρ < R) 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂θ
) + μ Θ (θ ) = 0
" (4)
ρ 2 P′′( ρ ) + ρ P′( ρ ) + (λρ 2 − μ ) P( ρ ) = 0" (5)
(3)、求特征值问题
⎧ ⎪ Θ ′′(θ ) + μ Θ (θ ) = 0 ⎨ ⎪ ⎩ Θ (θ ) = Θ ( 2π + θ )
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