弹性力学作业答案 第二章

第二章平面问题的基本理论

2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件∑M c=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？

解：将对形心的力矩平衡条件∑M c=0，改为对角点的力矩平衡条件∑M D=0，列出力矩的平衡方程∑M D=0：

σx dy×1×dy

2+τyx dx×1×dy+(σy+∂σy

∂y

dy)dx dx

2

=

τxy dydx+σy dx dx

2+(σx+∂σx

∂x

dx)dy dy

2

。

σx 2(dy)2+τyx dxdy+σy

2

(dx)2+∂σy

2∂y

dy(dx)2=

τxy dxdy+σy

2(dx)2+σx

2

(dy)2+∂σx

2∂x

dx(dy)2。

将上式除以dxdy，合并相同的项，得到

τyx+∂σy

2∂y dx=τxy+∂σx

2∂x

dy。

省略去微小量不记（即∂σy

2∂y dx，∂σx

2∂x

dy为0），得出

τyx=τxy

可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件∑M c=0解出的结果一样。

2-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。

解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了

计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。

各点的正应力为：

(σx)A=σx

(σx)B=σx+∂σx ∂y

dy

(σx)D=σx+∂σx ∂x

dx

(σx)C=σx+∂σx

∂x

dx+

∂σx

∂y

dy

(σy)

A

=σy

(σy)

B =σy+

∂σy

∂y

dy

(σy)

D =σy+

∂σy

∂x

dx

(σy)

C =σy+

∂σy

∂x

dx+

∂σy

∂y

dy

各点的切应力为：(τxy)

A

=τxy，

(τxy)

B =τxy+∂τxy

∂y

dy，

(τxy)

D =τxy+∂τxy

∂x

dx，

(τxy)

C =τxy+∂τxy

∂x

dx+∂τxy

∂y

dy，

(τyx)

A

=τyx，

(τyx)

B =τyx+∂τyx

∂y

dy，

(τyx)

D =τyx+∂τyx

∂x

dx，

(τyx)

C =τyx+∂τyx

∂x

dx+∂τyx

∂y

dy，

由微分单元体的平衡条件∑F x=0，∑F x=0得

{−1

2[(σx)A+(σx)B]}dy+{1

2

[(σx)D+(σx)C]}dy−{1

2

[(τyx)

A

+(τyx)

D

]}dx+{1

2

[(τyx)

B

+

(τyx)

c

]}dx+f x dxdy=0，

{−1

2[(σy)

A

+(σy)

D

]}dy+{1

2

[(σy)

B

+(σy)

C

]}dy−{1

2

[(τxy)

A

+(τxy)

B

]}dx+{1

2

[(τxy)

D

+

(τxy)

c

]}dx+f y dxdy=0。

将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程

{∂σx

∂x

+

∂τyx

∂y

+f x=0，

∂σy ∂y +

∂τxy

∂x

+f y=0。

2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

图2-13 图2-14

解：

对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应满足下列的边界条件：

(σx)x=0=−ρgy， (τxy)

x=0

=0;

(σx)x=b=−ρgy， (τxy)

x=b

=0。

在次要边界y=0上，能满足下列边界条件：

(σy )

y=0

=−ρgh 1， (τyx )

y=0

=0。

在次要边界y=h 2上，有位移边界条件：(u )y=h 2=0，(v )y=h 2=0。这两个边界位移条件用圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替，设板厚为1个单位， {

∫(σy )y=h 2dx =−ρg (h 1+h 2)b ， b

0∫(σy )y=h 2xdx =b

00， ∫(τyx

)y=h 2

dx =b 00。

对于图2-15中，在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件： (σy )y=h/2

=0， (τyx )

y=h/2

=−q 1; (σy )

y=−h/2

=−q ， (τyx )

y=−h/2

=0。

在次要边界上x=0，列出三个积分的应力边界条件：

{

∫(σx )x=0dy =− h/2

−h/2F N ， ∫(σx )x=0ydy =− h/2

−h/2M ， ∫(τxy )x=0

dy =− h/2−h/2F S 。

在次要边界x=l 上，有位移边界条件：(u )x=l =0，(v )x=l =0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。

2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

图2-16 图2-17

解：

按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界

条件（本题不计体力）。

（a ） 图2-16，σx =y 2

b 2q ，σy =τxy =0。 ①相容条件：将应力分量代入相容方程得： (∂2

∂x 2+∂2

∂y 2)(σx +σy )=2q

b 2≠0，