函数三要素

一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：

例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．

()f x x =，(

)g x =(

)f x =(

)2

g

x =

C.

()211

x f x x -=

-，()1g x x =+ D. (

)f x =(

)g x =二、求函数定义域

1.具体函数的定义域：

1）分式函数：()()

f x y

g x =

，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式

)*2,y n k k N =

=∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0

y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域

1)

())

1f x x =- 2)

()1111f x x

=

+

+

3) ()()22log 32f x x x =--- 4）(

)f x =

2.抽象函数的定义域：

如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。 1）

已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令

()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）

已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，

则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）

已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡

⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的

定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1） 已知

()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2） 已知

()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

3） 已知()12f x -的定义域为()1,3，求()1f x +的定义域。

4） 已知

()f x 的定义域为()2,8，求()2x f 以及()2log f x 的定义域。

三、求函数的值域

1．已知的几类初等函数（一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）求值域：利用图像法或函数的单调性来求值域。 1）一次函数：()0y kx b k =+≠，利用单调性求值域。

例4：已知一次函数()0y kx b k =+≠在区间()1,2-上的值域为()1,2-，求一次函数

的解析式。

2）反比例函数：()0k

y k x =≠，单调性与图像相结合求值域。 例5：求反比例函数2

y x

-=在()()1,02,-+∞ 上的值域。

3） 二次函数：()2

0y ax bx c a =++≠，利用函数的开口方向以及对称轴求出单

调区间，再利用图像来求值域。 例6:

a. 求函数221y x x =+-在()3,0-上的值域。

b ．求函数

()221y x ax a R =--∈在区间()1,1-上的值域。

4）

指数函数与对数函数：利用函数的单调性求值域。

例7：求

()13

log f x x =在()3,27上的值域。

2.复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的值域：根据定义域先求出()g x 的值域，然后令()g x t =，

()y f t =，根据t 的范围求函数()y f t =的值域，就是()y f g x =⎡⎤⎣⎦的值域。

例8：求下列函数的值域：

a ．)0y x =≥

b ．y =

c.

()22log y x x =-

3.分式形式（分子与分母形式相同）的函数求值域：利用分离常数法。 例9：求下列函数的值域

a ．2

1

x y x +=

+

b ．23

1

x y x +=

-

c ．221

2

x y x -+=+

d ．1

1

x x e y e -=+

4.带有根号的复杂函数：利用换元法来求值域。 例10：求下列函数的值域

a ．()f x x =-

b ．

()23f x x =-+

四、求函数的对应法则：

1.换元法： 例11：

a ． 已知

()22f x x +=，求()f x 的对应法则。

b ． 已知

()ln 1f x x =+，求()f x 的对应法则。

2.待定系数法： 例12：

a ． 已知幂函数过点

⎛ ⎝，求此幂函数的对应法则。 b ． 已知

()2,f x ax bx c =++若()00f =，且()()11f x f x x +=++，求

()f x 的表达式。

3.方程组法： 例13：

a ． 已知

()f x 满足()122f x f x x ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

，求()f x 。