材料力学内力求解小技巧

材料力学内力求解小技巧

许秀兰潍坊工商职业学院

摘要：构件发生轴向拉压、剪切与挤压、扭转与弯曲等变形时，均可采用截面法来研究其内力，即将构件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方程求出内力。按照上述步骤求解构件变形时的内力，解题过程较繁琐、麻烦，我们可以将其进行简化，先找出内力的正向，运用下面的相关计算公式，利用口诀“相反为正”来快速准确的求解。

关键词：截面法；轴力；扭矩；剪力和弯矩；相反为正；

1、引言

材料力学是高等高职高专技术学校机械类、数控技术、模具设计制造、土木工程类等工科专业的技术基础课，其理论性强且与专业课、工程实际紧密联系，是科学、合理选择或设计结构（或构件）的尺寸、形状、强度校核的理论依据。为后续机械设计基础、机械设计制造、模具设计与制造、液压与气动技术等专业课的学习和应用奠定了很强的理论基础，也为学生毕业后作为技术工人运用力学知识，在实际工作中正确使用、维护、保养机械设备和建造公路与桥梁，正确分析和解决生产中有关的力学问题提供了知识上的保证，对提高学生的实际操作水平、分析问题解决问题的能力及技术应变能力都具有至关重要的作用。

2、材料力学特点

该课程具有理论性强、概念多、公式多、内容抽象、教学内容繁杂易混淆等特点，学生感到枯燥无味，容易产生厌学的情绪，对教学效果产生不利影响。而本课程又与很多后续课程密切相关，学习的好坏直接影响学生以后对专业课的学习，所以有必要对以往的教学进行适当改革，简化公式推到过程重视其灵活应用，简化求解思路与过程，善于进行比较归纳总结，找出相互间的异同和规律，提高学习效率和学习效果。

3、材料力学内力分析计算

构件在工作时，一般要承受载荷、自重、约束力等作用，构件横截面上的内力会随着外的增加而增大，但内力的增加时有限的看，若超过某一限度，构件就不能正常工作甚至被破坏。为了保证构件能够在外力作用下安全可靠地工作，必

须能清其内力分布规律。

当构件发生轴向拉压、剪切与挤压、扭转与弯曲等变形时，均可采用截面法来研究其内力，即将构件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方程求出内力。解题步骤可归纳为：

（1）截：沿需求内力的截面处，假想地用一平面把构件截为两段

（2）取：任取一段（一般取受力情况较简单的部分）为研究对象

（3）代：在截面上用内力代替弃去部分对所取部分的作用

（4）列：列平衡方程，求出截面上内力的大小

按照上述步骤求解构件变形时的内力，解题过程较繁琐、麻烦，我们可以将其进行简化，先找出内力的正向，运用下面的相关计算公式，利用口诀“相反为正”来快速准确的求解。

3.1 轴力求解

截面法求轴力可化简为此公式求解：（口诀：相反为正）

任意截面上的轴力等于该截面任一侧所有轴向外力的代数和，外力有正反，与轴力正向相反为正，反之为负。若构件一侧为固定端，则取截面非固定端为研究对象进行求解。

例1：已知 P1=10kN；P2=20kN； P3=35kN；P4=25kN，求各截面轴力

解：

N1 = P1 = 10KN

N2 = P1-P2 = 10KN-20KN=-10KN

N3 = P4 = 25KN

该类型题做熟练以后，还可以进一步化简，不需画出每段简图，直接在原图

上标出轴力正向，通过观察求解。

3.2 扭矩求解

截面法求扭矩可化简为此公式求解：（口诀：相反为正）

任意截面上的扭矩等于该截面任一侧所有外力偶矩的代数和，外力偶矩有正反，与扭矩正向相反为正，反之为负。若构件一侧为固定端，则取截面非固定端为研究对象进行求解。

例2：主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩。

解：M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m

M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m

M D = 9550 PD/n = 446 N.m

M 1 = -M B =-350N.m

M 2 =-M B -M C =-700N.m

M 3 = M D = 446N.m

该类型题做熟练以后，还可以进一步化简，不需画出每段简图，直接在原图上标出扭矩正向，通过观察求解。

3.3 剪力与弯矩求解

截面法求剪力和弯矩可化简为此公式求解：（口诀：相反为正）

任意截面上的剪力等于该截面任一侧所有垂直于轴向外力的代数和，外力有正反，与剪力正向相反为正，反之为负。

任意截面上的弯矩等于该截面任一侧所有外力对该截面形心之矩的代数和，外力对该截面形心之矩有正反，与弯矩正向相反为正，反之为负。

若构件一侧为固定端，求梁发生弯曲时的剪力和弯矩时，应取截面非固定端为研究对象进行求解。

例3：如图所示简支梁，已知：P=40kN ，M=25kN.m ，q=10kN/m 试求1-1、 2-2截面上的内力F S1、M 1、F S2、M 2 。

解： 1、求支反力

Σ M A =0 ， -P×2-M-q×3×4.5＋R B ×6＝0

Σ F y =0 ， R A -P-q×3+R B =0

代入数值求解得： R A ＝30kN ，R B ＝40kN

2、求各截面上内力

4、小结

构件发生轴向拉压、剪切与挤压、扭转与弯曲等变形时，均可采用截面法来研究其内力，解题步骤可归纳为截、取、代、列，但按照上述步骤求解构件变形时的内力，解题过程较繁琐、麻烦，我们可以将其进行简化，先找出内力的正向，运用下面的相关计算公式，利用口诀“相反为正”来快速准确的求解。

参考文献：

1.张定华，工程力学，高等教育出版社，2010

2.张勤，工程力学，高等教育出版社，北京，2007

3.张秉荣，工程力学，机械工业出版社，2010

F S1= R A =30KN

M 1= R A ×1m =30KN ×1m=30KN ·m

F S2=q ×1.5m －R B =10×1.5KN ·m －40KN ·m=－25 KN ·m

M 1=R B ×1.5m －q ×1.5m ×0.75m=40KN ×1.5m-10×1.5×0.75

KN ·m =30KN ·m