凸函数

毕业论文（设计）

课题名称指数凸函数的性质及应用

学院理学院

专业数学与应用数学（S）

班级2011级2班

指导教师黄金莹

学生姓名肖坤

佳木斯大学教务处

指数凸函数的性质及应用

肖坤

佳木斯大学理学院数学系

2015年6月

摘要

指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。

关键词:凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式

Abstract

Index convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.

Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities

目录

摘要.............................................................................................................................................. I Abstract. (Ⅱ)

第1章绪论 (1)

第2章凸函数的基础知识 (2)

2.1凸函数的概念和性质 (2)

2.1.1凸函数的概念 (2)

2.1.2凸函数的性质 (3)

2.2凸函数的一些结论 (6)

2.2.1凸函数的判定定理 (6)

2.2.2与凸函数相关的不等式 (8)

第3章指数凸函数的性质及应用 (11)

3.1指数凸函数的概念和性质 (11)

3.1.1指数凸函数的概念 (11)

3.1.2指数凸函数的性质 (13)

3.2. 常见函数的指数凸性 (17)

3.2.1 指数凸函数的判定定理 (17)

3.2.2 基本初等函数的指数凸性 (19)

3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 (25)

结论 (28)

致谢 (29)

参考文献 (30)

附录1 (31)

附录2 (35)

第1章绪论

在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.

最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.2

f 是最典型的凸函数.

x

(x

)

随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.

在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.

首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.

其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.

最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.