凸函数

毕业论文（设计）
课题名称指数凸函数的性质及应用
学院理学院
专业数学与应用数学（S）
班级2011级2班
指导教师黄金莹
学生姓名肖坤
佳木斯大学教务处
指数凸函数的性质及应用
肖坤
佳木斯大学理学院数学系
2015年6月
摘要
指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。

指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。

首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。

对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。

关键词:凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式
Abstract
Index convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.
Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities
目录
摘要 (I)
Abstract (Ⅱ)
第1章绪论 (1)
第2章凸函数的基础知识 (2)
2.1凸函数的概念和性质 (2)
2.1.1凸函数的概念 (2)
2.1.2凸函数的性质 (3)
2.2凸函数的一些结论 (6)
2.2.1凸函数的判定定理 (6)
2.2.2与凸函数相关的不等式 (8)
第3章指数凸函数的性质及应用 (11)
3.1指数凸函数的概念和性质 (11)
3.1.1指数凸函数的概念 (11)
3.1.2指数凸函数的性质 (13)
3.2. 常见函数的指数凸性 (17)
3.2.1 指数凸函数的判定定理 (17)
3.2.2 基本初等函数的指数凸性 (19)
3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 (25)
结论 (28)
致谢 (29)
参考文献 (30)
附录1 (31)
附录2 (35)
第1章绪论
在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.
最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.2
f 是最典型的凸函数.
x
(x
)
随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.
在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.
首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.
其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.
最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.
第2章 凸函数的基础知识
本章主要介绍了凸函数的概念、性质、判定定理以及凸函数在不等式中的应用，但对于凸函数的研究，目前已经很深入了，尤其是在不等式方面的研究备受关注.
2.1 凸函数的概念和性质
为了更好的研究本课题要研究的指数凸函数内容，我们可以依据指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，先深入了解一下凸函数的概念和性质，进而研究指数凸函数.下面我们将给出凸函数的概念和计算方面的性质.
2.1.1 凸函数的概念
函数2)(x x f =图像的特征是：曲线2)(x x f =上任意两点间的弧段总在这两点线的下方.我们可以这样定义：设函数)(x f 在区间[]b a ,上有定义，若曲线)(x f y =上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数)(x f 是凸函数.
以上定义只是对凸函数作了直观的描述，下面给出精确的定义.
定义2.1.1 设)(x f 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数 )1,0(∈λ，总有
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (2-1) 则称f 为I 上的凸函数.
若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数)1,0(∈λ，总有
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2-2) 则称f 为I 上的凹函数.]1[
2.1.2 凸函数的性质
性质2.1.1 若函数)(x f 为凸函数，则)(x f -为凹函数.反之亦然. 证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
在上式两边同时乘以-1得：
)]()[1(])([])1()([2121x f x f x x f --=-≥-+-λλλλ 故)(x f -为凹函数.同理可得)(x f 为凹函数，则)(x f -为凸函数.]2[ 性质2.1.2 若函数)(x f 为凸函数，则：
1）若0≥α，则)(x f α为凸函数；
2）若0≤α，则)(x f α为凹函数.
证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
1）当0≥α时，在上式两边同时乘以α得：
)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≥-+ 即)(x f α为凸函数.
2）当0<α时，在上式两边同时乘以α得：
)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≤-+ 即)(x f α为凹函数.
性质2.1.3 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为凸函数.
证明：因函数)(),(x g x f 是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
则
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-++-+=-+
)()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ )]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++=λλ )()1()(21x h x h λλ-+=
即)()()(x g x f x h +=为凸函数. 性质2.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有
0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f
整理得 )()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ (2-3) 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由指数凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≥-+
所以
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（2-3）式可知
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤
)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=
)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+=
)()1()(21x h x h λλ-+=
即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数.]3[
性质2.1.5 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()()1()(])1([212121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-+
)()1()()()1()(])1([212121x h x h x g x gf x x g λλλλλ-+≤-+≤-+
从而有
]})1([],)1([max{])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)()1()(21x h x h λλ-+≤
所以)]}(),(max{[)(x g x f x h =为凸函数.]4[
性质2.1.6 若函数)(x f 为凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的凸函数，则))((x f ϕ亦为 凸函数.
证明：因函数)(x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
又11:R R →ϕ为单调增加的凸函数，所以
))(()1()(())()1()(()))1(((212121x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕλλϕ-+≤-+≤-+ 即))((x f ϕ为凸函数.
2.2 凸函数的一些结论
如果给定一个函数，要判断是凸函数还是凹函数，我们讲依据什么结论来判断？这里将给出凸函数的判定定理，用来判断一个函数是否是凸函数.
2.2.1 凸函数的判定定理
定理2.2.1 （凸性判别法）设函数)(x f 是区间I 上的可导函数，则下列论断相互等价
1）函数)(x f 是区间I 上的凸函数；
2）函数)(x f '是区间I 上的增函数；
3）对区间I 上任意的两点21,x x ，有
))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥
证明：)2)1⇒在区间I 上的任取两点)(,2121x x x x <，对充分小的正数h ，由于h x x x h x +<<<-2211，有
h
x f h x f x x x f x f h h x f x f )()()()()()(22121211-+≤--≤--
因)(x f 是区间I 上的可导函数，令+→0h 时可得
)()()()(21
2121x f x x x f x f x f '≤--≤
' 所以)(x f '是区间I 上的增函数. )3)2⇒在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和)(x f '是区间I 上的增函数得
))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ
移项后的))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥且当21x x >时仍可得相同的结论.
)1)3⇒任取区间I 上的两点)(,2121x x x x <， )10()1(213<<-+=λλλx x x ，由3）并利用))(1(2131x x x x --=-λ与))(1(1232x x x x --=-λ得
))(()1()())(()()(213331331x x x f x f x x x f x f x f -'-+=-'+≥λ
))(()())(()()(123332332x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥λ
分别用λ和λ-1乘以上述两式并相加.使得
))1(()()()1()(21321x x f x f x f x f λλλλ-+=≥-+
则)(x f 是区间I 上的凸函数.
定理2.2.2 （凸性判别法）设函数)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则
1）当0)(≥''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凸函数；
2）当0)(≤''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凹函数.
定理2.2.3 设函数)(x f 是区间I 上的二阶可导函数，则在I 上的)(x f 为凸函数的充要 条件是
I x x f ∈≥,0)(
证明：1）必要性：因为函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f '是区间I 上的增函数，即
I x x f ∈≥'',0)(
2）充分性：因为I x x f ∈≥'',0)(， 所以)(x f '是区间I 上的增函数，即)(x f 为I 上的凸函数.]5[
2.2.2 与凸函数相关的不等式
定理2.2.4 （凸函数的Jensen 不等式）若函数)(x f 在区间I 上有定义，且对于任意的I x i ∈及满足∑==n
i i 11λ，0>i λ ,n i ,,2,1 =，有
∑∑==≤n
i i i n i i i x f x f 11)()(λλ 成立
那么称)(x f 在区间I 上凸函数.
证明：当1=n 时，等式显然成立；
假设当k n =时成立，即对任意的)2,1(0,k i x I x i i =≥∈且满足∑==k
i i x 11，此时有
)()(11i k
i i i k i i x f x f ∑∑==≤λλ不等式成立；
此时我们要证明当1+=k n 时，∑∑==≤n
i i i n i i i x f x f 11)()(λλ成立，
即 )()(111
11++=+=+=∑∑k k i k
i i k i i i x x f x f λλλ
)()(111
++=+≤∑k k k i i i x f x f λλ
)()(111++=+≤∑k k i k
i i x f x f λλ
∑+==1
1)(k i i i x f λ
即1+=k n 时不等式成立，结论正确.]6[
定理2.2.5 （凸函数的Hadamard 不等式）若函数)(x f 为[]b a ,上的凸函数，则
2)()()(1)2(b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤+⎰]7[
证明：由题意知，函数)(x f 在[]b a ,上可积.
一方面，根据定积分概念和凸函数的Jensen 不等式，有
∑⎰=∞→--+-=-n i n b a n a b a b n i a f a b dx x f a b 1
))((lim 1)(1 ∑=∞→-+=n
i n a b n
i a f n 1))((1lim )))((1(lim 1∑=∞→-+≥n i n a b n
i a n f ∑=∞→--+-=n i n n
a b a b n i a a b f 1)))((lim 1( )2
()1(b a f x d x a b f b a +=-=⎰ 另一方面，我们令b a x )1(λλ-+=，解得a
b x b --=λ 即
b a
b a x a a b x b x b a x --+--=∈∀],,[ 于是
⎰⎰--+---=-b a b a dx b a
b a x a a b x b f a b dx x f a b )(1)(1 ))()((1⎰⎰--+---≤b a b a dx a b a x b f dx a b x b a f a
b 2)()(b f a f += 综上所述的两个方面，结论成立.
例2.2.1 设52
3≤≤x ，证明1923153212<-+-++x x x 证明：由于函数x y =在区间[)+∞,0上是凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有 x x x x x x x 31532113153212-+-++++=-+-++ 4
31532114x x x x -+-++++≤ 142+=x
由于x x x 315,32,1--+不可能同时取等号，从而有
1921423153212≤+<-+-++x x x x
例2.2.2 证明不等式c b a c
b a
c b a abc ≤++3)(.
证明：设0,ln )(>=x x x x f ，由x x f 1)(=
'可见x x x f ln )(在0>x 时为严格的凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有
)]()()([3
13(c f b f x f c b a f ++≤++ 从而
)ln ln ln (3
13ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即有
c b a c b a c b a c b a ≤++++3(
又因为不等式3
3c b a abc ++≤成立，所以c b a c b a abc c b a ≤++3)(.]8[ 以上内容就是对凸函数的性质与应用的一些研究，接下来开始研究本课题的核心内容，利用指数凸函数和凸函数之间存在的平行关系，类比出指数凸函数的性质与应用.
第3章 指数凸函数的性质及应用
本章主要介绍了指数凸函数的概念、性质、判定定理以及在不等式中的应用.从本章的内容来看，不仅让我们了解指数凸函数的基本知识和内容，也让我们理解了研究指数凸函数的数学意义.指数凸函数是凸函数的分支，内容上存在着平行关系.指数凸函数和凸函数一样，可以广泛的应用于其它领域，特别是在不等式中的应用.
3.1 指数凸函数的概念和性质
对于指数凸函数而言，并没有给出严格的定义，以及相关的性质与应用，但是我们可以根据凸函数的定义、性质及应用，类比建立一个新的不等式模型，定义为指数凸函数.那么我们该如何建立呢？接下来将研究指数凸函数的概念和性质.
3.1.1 指数凸函数的概念
我们在研究指数凸函数的概念时，先来关注余弦函数x cos 在区间)2
,0(π上的不等式链. 我们根据凸函数的性质可以知道x cos 在区间2
,0(π是递减的凹函数，同时它也是对数凹函数和几何凹函数.可以得到如下结果：
33cos 3
cos 3cos cos cos cos cos cos ABC C B A C B A C B A ≤++≤++≤ 其中
3c o s c o s c o s c o s 3C B A C B A ++≤可由x c o s 作为对数凹函数直接得到，33cos cos cos cos ABC C B A ≤可由x cos 作为几何凹函数直接得到]9[，那么对于正弦函数x sin 在区间2,0(π
会有怎样的情况呢？接下来我们会慢慢进行研究. 由正弦函数x sin 在区间2
,0(π是递增的凹函数也是几何凹函数，借助于均值不等式，可以得到如下两组结果：
3
sin 3sin sin sin sin sin sin 3C B A C B A C B A ++≤≤
3
sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A ++≤≤ 因此我们想要形成类似于余弦函数x cos 在区间)2
,0(π上的不等式链，那么我们就需要研究上述两组不等式中的中间两项3
sin sin sin C B A ++与3sin ABC 的大小关系，如何来比较这两者之间的大小关系，我们就需要建立指数凸函数的概念、性质知识. 下面我们给出指数凸函数的定义与指数凸函数的Jensen 不等式. 定义3.1.1 设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凹函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-
类比凸函数的Jensen 不等式（定理2.2.4）我们可以得到指数凸函数的Jensen 不等式. 定理3.1.1 （指数凸函数的Jensen 不等式）函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当,,2,1,),1,0(n i I x q i i =∈∀∈∀， ∑==n i i q
11，有
)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤ ]10[
注：定义3.1.1是定理3.1.1的一个特例，对于定理3.1.1可以利用数学归纳法证明. 证明：当1=n 时，不等式显然是成立.
假设当k n =时成立，即
)()()()(22112121k k q k q q x f q x f q x f q x x x f k +++≤
只需证1+=k n 时成立
))(()(11111211211121121++++++-+++-+=k k k q k q k q k q k q k q k k q q k k q k q q q k q q x x x x x f x x x f
))()()(
()()(11
1112211++++++++++++≤k k k k k k k k k k x f q q q x f q q q q q x f q x f q i n i i x q ∑==1
即1+=k n 时也成立，结论得以证明.
3.1.2 指数凸函数的性质
对于指数凸函数的性质，我们可以类比凸函数的一些计算性质，得出相应的指数凸函数在计算方面的性质.
性质3.1.1 若函数)(x f 为指数凸函数，则)(x f -为指数凹函数，反之亦然. 证明：函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
在上式的两边同时乘以1-，不等式方向改变，则有
))()(1())(()(21121x f x f x x f --+-≥--λλλλ
故)(x f -为指数凹函数.同理有函数)(x f 指数凹函数，则)(x f -为指数凸函数. 性质3.1.2 若函数)(x f 为指数凸函数，则
1）若0≥α，则)(x f α为指数凸函数；
2）若0≤α，则)(x f α为指数凹函数.
证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
1）当0≥α时，在上式两边同时乘以一个正数α，有
))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≤- 即0≥α时，)(x f α为指数凸函数.
2）当0≤α时，在上式两边同时乘以一个负数α，有
))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≥- 即0≤α时，)(x f α为指数凹函数. 性质3.1.3 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 证明：因函数)(),(x g x f 是指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- )()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-
则
)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h )()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ =)]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++λλ =)()1()(21x h x h λλ-+ 即)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 性质3.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的指数凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有
0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f
整理得
)()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ （3-1） 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
)()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-
所以
)()()(1211211
21λλλλλλ---+=x x g x x f x x h
)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（3-1）式可知
)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤
)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=
)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+= )()1()(21x h x h λλ-+=
即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数.
性质3.1.5 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()()1()()(21211
21x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-
)()1()()()1()()(2121121x h x h x g x g x x g λλλλλλ-+≤-+≤-
从而有
}
{)()1()(][],[max )(121121121x h x h x x g x x f x x h λλλλλλλλ-+≤=--- 所以)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数.
性质3.1.6 若函数)(x f 为指数凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的指数凸函数，则 ))((x f ϕ亦为指数凸函数.
证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
又11:R R →ϕ为单调增加的指数凸函数，所以
))(()1()(())()1()(()((21211
21x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕϕλλ-+≤-+≤-
即))((x f ϕ为指数凸函数.
性质3.1.7 函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当)(x e f 为区间I 上的凸函数. 证明：（充分性）已知函数)(x e f 是区间I 上的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u 则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，我们有
)()()(121ln )1(ln )1(2121λλλλλλ--+-+==x x f e f e f x x u u
)()1()(21x f x f λλ-+≤
)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=
)()1()(21u u e f e f λλ-+=
即 )()1()()(2121)1(u u u u e f e f e f λλλλ-+≤-+
故函数)(x e f 为区间I 上的凸函数.
（必要性）已知函数)(x e f 是区间I 上的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u ，则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，有
))1(())1((2121ln ln x x u u e e f e e f λλλλ-+=-+
))1((21x x f λλ-+=
)()1()(21x f x f λλ-+≤
)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=
)()1()(21u u e f e f λλ-+=
即 )()1()()1((2121u u u u e f e f e e f λλλλ-+≤-+
故函数 )(x e f 为区间I 上的指数凸函数.
3.2 常见函数的指数凸性
本节将给出一些常见的一元基本初等函数的指数凸性，首先需要了解判别函数指数凸性的判定定理.
3.2.1 指数凸函数的判定定理
定理3.2.1 设函数)(x f 在区间),0(+∞⊆I 上有定义，)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则
1）当0)()(≥''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凸函数；
2）当0)()(≤''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凹函数.
证明：1）由于0)()(≥''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有
0)]()([))(())((≥''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f
根据定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凸函数，再由性质3.1.7知，)(x f 为区间I 上的指数凸函数.
2）由于0)()(≤''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有 0)]()([))(())((≤''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f ，根据凸函数的定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凹函数，由性质3.1.7知，从而)(x f 为区间I 上的指数凹函数.]11[
现在我们有了指数凸函数的概念、性质和判定定理，就可以回答本章开始提出的问题了.
对于正弦函数x x f sin )(=，我们可以根据指数凸函数的判别方法，只需要判断)(co t sin sin cos )()(x x x x x x x f x x f -=-=''+'与零的大小关系.
令0)(cot )(=-=x x x g ，可以得到在区间)2
,0(π上有唯一一个实数根，设为α，由01)(sin )(cot )(21
<--='-='-x x x x g 恒成立.那么函数x x x g -=cot )(在区间)2
,0(π是单调递减的，即有当),0(α∈x 时，0sin cos ≥-x x x ；当)2
,(πα∈x 时，0sin cos ≤-x x x .由指数凸函数的判定定理3.2.1知
正弦函数x x f sin )(=在),0(α∈x 为指数凸函数，在)2
,(πα∈x 为指数凹函数，于是 当),0(,,α∈C B A 时，有
3
sin 3sin sin sin sin sin sin sin 33C B A C B A ABC C B A ++≤++≤≤
当)2
,(,,πα∈C B A 时，有 3
sin sin 3sin sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A C B A ++≤≤++≤ 3.2.2 基本初等函数的指数凸性
在前面的研究中，我们了解了正弦函数的指数凸性，那么我们常见的基本初等函数中，又有怎样的指数凸性呢？下面我们来慢慢研究.我们主要研究常数函数、一次函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等等.
例3.2.1 函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数k x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
0)()(=''+'x f x x f
此时，函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上既是指数凸函数也是指数凹函数.]12[ 例3.2.2 函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
a x f x x f =''+')()(
当0≥a 时，即0)()(≥=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.
当0≤a 时，即0)()(≤=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凹函数.
例3.2.3 函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数αx x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
)()()(11'+=''+'--ααααx x x x f x x f
))(1(2--+=αααααx x x
))(1(11---=αααααx x
))1(1(1-+=-αααx
12-=ααx
即0)()()(1211≥='+=''+'---ααααααx x x x x f x x f 恒成立（α为任意取值都成立）. 此时，有函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.
我们可以根据指数凸函数的定义3.1.1知，函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当n i I x q i i ,2,1,),1,0(=∈∀∈∀， ∑==n i i q
11，有
)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤
我们可以建立如下的不等式：
3)(33α
ααα
αααC B A ABC C B A ++≤=（此时的312,0(,,=+∈λπC B A ）. 由上式变换可以有3)(3213321ααααx x x x x x ++≤]13[我们应该很熟悉，这就是均值不等式.那么
我们可以证明正弦函数x sin 在区间)2
,0(π上为指数凸函数来间接证明均值不等式的成立，这是指数凸函数在不等式的应用中远大前景，更多的内容等待着我们去挖掘与研究.
51273321333<+≤-++x x x x
例3.2. 4 函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x x f ln )(=在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
1(1)()('+=''+'x
x x x f x x f 1(12x x x -+= 011=-=x
x 此时，有函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上既是为指数凸函数也是指数凹函数. 根据指数凸函数和指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥- 令3
1,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3
ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≤ 或者 3ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≥
例3.2.5 设函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x e x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
x x xe e x f x x f +=''+')()(
0)1(>+=x e x 恒成立.
则函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和),0(+∞∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令3
1,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式
3
3213321x x x x x x e e e e ++≤ 例3.2.6 证明n
a a a n
x x x +++ 21与 ,2,1(,021=≥⋅⋅⋅n a n n x x x ）的大小关系. 证明：令函数 ,2,1,)(==x a x f x ，根据指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
)ln (ln )()('+=''+'a a x a a x f x x f x x
2)(l n ln a a x a a x x ⋅+=
)ln 1(ln a x a a x +=
1）当10<<a 时，0ln ,0,0ln <><a x a a x
i ）当0ln 1<+a x 时，即a
x ln 1-<，函数)(x f 为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，有
3
3213321x x x x x x a a a a ++≥ 即有
n
a a a a n n n x x x x x x +++≥ 2121 ii ）当0ln 1<+a x 时，即a
x ln 1-≥，函数)(x f 为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，有
3
3213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有
n
a a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 3）当1≥a 时，0)ln 1(ln )()(≥+=''+'a x a a x f x x f x 恒成立，所以函数)(x f 为指数凸函数.
根据指数凸函数的定义3.1.1知，有
3
3213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有
n
a a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 综上所述，当0<a 时，a
n ln 1-<，有 n a a a a
n n n x x x x x x +++≥ 2121 当a
n a ln 1,0-≥<和1≥a 时，有 n
a a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 例3.2.7 函数x x f cos )(=在区间)2
,0(π⊆I 上有定义，试判断函数x x f cos )(=在区间 2
,0(π⊆I 上的指数凸性. 证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
)(cos )()()(''+'=''+'x x cox x f x x f )(sin sin '--=x x x
x x x c o s s i n
--= )c o t 1(s i n
x x x +-= 由函数x cos 与函数x sin 在区间2
,0(π⊆I 都是大于0的，即有 0)cot 1(sin )()(<+-=''+'x x x x f x x f
此时，函数x x f cos )(=在区间)2
,0(π⊆I 上是为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-
令3
1,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3
cos cos cos cos 3C B A ABC ++≥ 例3.2.8 函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arcsin )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
)(arcsin )(arcsin )()(''+'=''+'x x x x f x x f
)2()1)(21()1(23
221
2x x x x ---+-=-- 2322232)1()1(---+-=x x x )1(2122232)1()
1(-+---+-=x x x ))1(1()1(122212---+-=x x x
当)1,1(-∈x 时，0)
1(212>--x ，0))1(1(122>-+-x x
所以 0)1(1()1()(arcsin )(arcsin )()(1222
12>-+-=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f 此时，函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令3
1,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式 3
arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 3C B A C B A +≤++ 例3.2.9 函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arccos )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.
证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有
)2)()1()(2
1()
1()(arccos )(arccos )()(23
2
2
1
2x x x x x x x x f x x f ----+--=''+'=''+'--
))1(()
1(2
32
2232-
-
--+--=x x x ))
1(()
1()1(2
1
2
2
232
---
--+--=x x x
)))1((1()1(1222
12--
--+--=x x x
当)1,1(-∈x 时，0)
1(2
12<---x ，0)))1((1(122<--+-x x .所以
0)))1((1()1()(arccos )(arccos )()(1222
12<--+--=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f
此时，函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凹函数.
根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-
令3
1
,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式
3
arccos arccos arccos arccos arccos arccos 3
C
B A
C B A +≥
++
3.3 指数凸函数的Hadamard 不等式
类比凸函数的Hadamard 不等式（定理2.2.5）我们可以得到指数凸函数的Hadamard 不等式.
例3.3.1 设),0(],[+∞⊆b a ，函数)(x f 为],[b a 上连续的指数凸函数，则
)
(ln ln 1()(ln ln 1()(1)(1(1
b f a
b a b b a f a b a a b dx x f a b a b e f b a a b a b ---+---≤-≤⎰-]
14[ （3-1） 证明：1）先来证明不等式的左边，由题意知，根据定积分的定义和函数)(x f 的指数凸性，有
∑
-+=-=∞→⎰n i n b a a b n
i
a f n dx x f a
b 1))((1lim )(1
∏-+≥=∞→n
i n n a b n
i
a f 11
))(((lim )(lim 1))(ln(1∑
==-+∞
→n i a b n
i
a n n e
f
)(1))(ln(1∑
==-+n i a b n
i
a n e
f
)(ln 1⎰
=-b
a
xdx a b e
f
)(1(1
a
b a b a
b e f -=
故⎰-≤
-b
a
a b a b dx x f a b a b e f )(1))(1(1
成立. 2）接下来证明不等式的右边.
令λλλ-=1),,(y x y x F ，则有)()(1))(1,,(x x a b x a b F λλλ-=-，当],[b a x ∈时，则
a
b x b a
b x
b b
a
x ln ln ln ln ln ln ln ln ----=
即
⎰⎰
----=b
a
a
b x b a
b x b b
a
dx b
a
f dx x f )()(ln ln ln ln ln ln ln ln
dx b f a
b a
x a f a b x b b
a ))(ln ln ln ln )(ln ln ln ln (
--+--≤⎰
⎰⎰--+--=b a b a dx a x a
b b f x b a b a f )ln (ln ln ln )
()ln (ln ln ln )( )](ln ln [ln ln )()](ln ln [ln ln )(a b a b b b a b b f a b b a a a a b a f ----+-+--= )()()ln ln ()()(ln ln b bf b f a
b a b a af a f a b a b +---+---= 所以
))()()ln ln ()()(ln ln (1)(1b bf b f a
b a b a af a f a b a b a b dx x f a b b a +---+----≤-⎰
)(ln ln 1
()()ln ln 1(
b f a
b a b b a f a b a a b ---+---= 故)(ln ln 1
()(ln ln 1()(1b f a
b a b b a f a b a a b dx x f a b b a ---+---≤-⎰成立.
因此由以上1），2）可得
当)
b
a，函数)
f为]
(x
⊆
[+∞
]
,0(
,
a上连续的指数凸函数时，则（3-1）式成立.]15[
,
[b
结论
几乎所有的分析类数学分支（实分析、泛函分析、测度论、凸分析等）,其理论框架的基础和出发点都是对函数、泛函、映射等赖以存在的集合或空间的研究,这一特点在凸分析中表现的尤为明显.在优化理论研究中,凸分析起到基石作用,凸分析以研究凸集为出发点,建立凸集与凸函数的密切联系,给出凸函数的一些结果及应用.
本课题的研究方向为指数凸函数，研究内容可概括为凸函数的性质及应用与指数凸函数的性质及应用，二者之间存在着平行关系，是运筹学与控制论的一个研究分支.
通过对相关文献的大量研究(见国内外研究现状) ，我们发现该方向的研究目前有如下特点：
1.从应用层面上的指数凸函数,多属平行推广，论证方法和技巧仅仅是形式上的改变，并没在本质上的进行深入探讨.
2.就目前对凸分析理化的研究虽然很深入，但是对于指数凸函数的研究，还没有形成专门的理论.
3. 指数凸函数理论并不完善，关于指数凸函数及其相应的指数凸集的内在联系方面还没有形成一般性理论，基本上处于空白阶段,这在一定程度上制约了优化理论的发展.
基于上述该方向的目前研究特点，并注意到凸分析等分析类数学分支的研究模式，为了给非凸优化问题的应用提供强有力的基础理论支撑,和新的发展动力，使之向着理论化和科学化方向持续发展，在已有凸函数理论和指数凸集的初步研究基础上，将指数凸函数与凸函数概念到性质有机地结合起来，开展二者的结构理论研究是十分必要和切实可行的.
致谢
从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经过了四个多月的时间.在这几个月里，有很多的老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！
首先感谢我要感谢我的父母，是他们的辛苦劳作的血汗钱，和对我的教导才让我考上佳木斯大学.四年来对我的培养，是他们教会我学习方法、锻炼了我的思考能力，指明了我未来奋斗的方向，使我进一步明确人生的目标.
其次，我要感谢我的指导老师-黄金莹老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学习、工作中的榜样；黄老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给与我无尽的启迪.在撰写整个毕业论文的过程中，黄老师为我们考虑到了每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，黄老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导.没有黄老师，我的论文也不可能这么顺利的完成.
最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程中同样给了我大量有益的建议，再次向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助.
肖坤
2015年6月。