8.5麦克斯韦速率分布定律

v
2
2
f ( v)
v
2

2
N
0
v dN N
2


0
v Nf ( v)dv N
vrms
2
o
v 3kT m 3 RT Mmol
v
3kT v m
kT RT v 1.60 1.60 m Mmol
2
vp v v
vp
2kT m
2RT Mmol
2kT vp m
N 0
dN f ( v)dv dS N
归一化条件
dN 0 f ( v)dv 1 N
f ( v)
S
dN f ( v)dv dS N 速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2
v
dN Nf ( v)dv
1
v2 v v 速率位于 1 2 区间的分子数 N v N f ( v)dv
N 为速率在 v v v
v v v
v
区间的分子数.
N 1 N 1 d N 分布函数 f ( v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
f ( v)
物理意义
dS
o
v v dv
v
表示在温度为 T 的平衡 状态下，速率在 v 附近单位 速率区间 的分子数占总数的 百分比 . 表示速率在 v v dv 区间的分子数占总分子数的 百分比 .
M O 0.032kg mol
1
R 8.31J K mol
1
1
T 300K
vrms 3RT Mmol
氢气分子 氧气分子
vrms 1.93 10 m s vrms 483m s 1
3
1
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
N ( v1 v2 ) v2 S v f ( v)dv 1 N
m 32 ) e 麦氏分布函数 f ( v) 4 π ( 2 πkT
mv 2 2 kT
v
2
dN m 32 4π( ) e N 2 πkT
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分 比的规律 .
8.5 速率分布律：不管分子运动速度的方向如何， 只考虑分子按速度的大小的分布的规律. 研究速率分布的意义：用统计的说明方法，指出 在总数为N 的分子中，在各种速率区间的分子各有多 少，或它们各占分子总数的百分比多大，这种说明方 法就给出分子按速率的分布. N 为速率在 v v v 区间的分子数.
v v v
2）平均速率
v1dN1 v2dN 2 vi dN i vn dN n v N
v
v
N
0
vdN N


0
vNf ( v)dv N
o
f ( v)
v

0
8kT vf ( v)dv πm
v
kT RT v 1.60 1.60 m M mol
3）方均根速率
f ( v)
T1 300K
8kT v πm
f ( v)
O2
3kT v m
2
T2 1200K
H2
o
v p1 v p 2
v
o
vp 0 vpH
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不同 气体的速率分布
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 vrms .
解
M H 0.002kg mol1
mv 2 2 kT
v dv
dN f ( v) Ndv
2
f ( v)
o
v
二 三种统计速率 1）最概然速率
df ( v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
v p f max
o
f ( v)
vp
v
Mmol mN A , R N A k
2kT kT vp 1.41 m m
物理意义
RT vp 1.41 M mol
气体在一定温度下分布在最概然速率 v p
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率
下面哪种表述正确？
vp
的
（A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. p （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 概率最大.
N 表示速率在 v v v 区间的分 N 子数占总数的百分比 . N f ( v)v 与 v 有关，与 v 成正比 N
N f ( v)v N
N f ( v) Nv
一
麦克斯韦气体速率分布定律
分 子 速 率 分Βιβλιοθήκη Baidu布 图
f (v)
N ：分子总数
S
o
N 表示速率在 v v v 区 f (v)v S N 间的分子数占总数的百分比 .