高一上 数学模型及其应用

102.4
方案2
90 y=10x
51.2 40
y=40 方案1
10
o 1 45 8 10 x
若投资5天以下, 方案一的每天收益最大; 若投资5~8天,
方案二的每天收益最大; 若投资8天以上, 方案三最好.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一 个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时, 按销 售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加, 但奖金总数不超过 5万元, 同时奖金不 超过利润的 25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求?
不能超过 x 的y 25%.
在 [10, 1000] 内,
3.5三函2数4在 [10y,=100.2050x]上-1Fra Baidu bibliotek是增函数log,7x其≤0最.2大5x值-1分成别立是. :
25.37y1=0.251000=250(万元), ∴模型 y=log7x+1 符合要求.
1.5yy32==1lo.0g07120100000 +≈17.≈347.(5万5(元万)元. ), y=log7x
解: 第 1 轮病毒发作时被感染的台数: 10台, 被第 2 轮病毒感染的台数: 1020台, 被第 3 轮病毒感染的台数: 102020台,
被第 4 轮病毒感染的台数: 10202020台,
1. 四个变量 y1、y2、y3、y4 随变量 x 变化的数据如下表:
x0 5
10 15
20
25
30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 94.478 1758.2 33733 6.37105 1.2107 2.28108
y3 5 30
55
80
105
130
155
(2) 相互比较:
① x 很小时, 对数函数 增速最快, 但是负值.
y
y=2x
8 y=x2 y=2x
② x 很小时, 直线快于
7 6
幂函数和指数函数.
5 4
③ x 较小时, 幂函数快 3
2
于指数函数.
1
y=log2x
④ x 增大到一定数值时, -o1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
指数函数最快,
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一
个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时, 按销
售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位:
万元) 的增加而增加, 但奖金总数不超过 5万元, 同时奖金不
超过利润的 25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1,
方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天回报比前一天翻一番.
请问: 选择哪种投资方案收益最好? 解: 设第 x 天所得回报为 y 元,
方案一: y=40 (xN*),
y 204.8
方案3
y=0.42x-1
方案二: y=10x (xN*),
方案三: y=0.42x-1(xN*). 画图象观察. 三种方案中, 方案一无增长, 增长最快的是方案三,
在[1, 5], 一次函数 y=20x 增长最快,
在[5, 10], 指数型函数 y=0.1ex-100 增长最快.
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
-20 -40 -60 -80 -100
练习: (课本101页)
在同一平面直角坐标系内作
y
200
出下列函数的图象, 并比较它们 180
的增长情况:
160
y=0.1ex-100
(1) y=0.1ex-100, x[1, 10]; 140 y=20lnx+100
(2) y=20lnx+100, x[1, 10]; 120
(3) y=20x, x[1, 10].
100
80
x
1
4
7
10
60
0.1ex-100 -99.7 -94.5 9.7 2102.6 40
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用实例(第一课时) 3.2.2 函数模型的应用实例(第二课时)
返回目录
1. 你所学过的函数中, 哪些是定义在正数 范围内的增函数? 各自的增长变化有什么特点?
2. 几种函数相比较, 在一定的范围内, 什 么函数的增长速度最快?
解: 在奖励模型中, 其定义域为 {x|10≤x≤1000}.
按要求, 三个函数的最大值不能超过 5 万元, 同时, y 又 不能超过 x 的 25%.
三个函数在 [10, 1000]上都是增函数, 其最大值分别是:
y1=0.251000=250(万元), y2=log71000+1 ≈4.55(万元), y3=1.0021000 ≈7.37(万元). 只有第二个函数 y=log7x+1 符合第一条要求.
-100
【课时小结】
几种函数模型的增长特点 (1) 各自特点:
① 指数函数和二次幂 函数先慢后快.
② 一次函数均匀增长. ③ 对数函数先快后慢.
y
y=2x
8 y=x2 y=2x
7
6
5
4
y=log2x
3
2
1
-o1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2 -3 -4
【课时小结】
几种函数模型的增长特点
y=20x
20lnx+100 100 127.7 138.9 146.1 20
20x
20 80 140 200
o
约在 x<7 时, y=20lnx+100最大. -20
约在 7<x<7.8 时, y=20x 最大.
-40 -60
约在 x>7.8 时, y=0.1ex-100 最大. -80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 y2 y4.
分析: y1, y2, y3 都是 增函数, 增长速度最快的 是 y2, 所以 y2 最有可能 是指数型函数.
y4 是减函数, 画出 图象如图: y4 也可能是 指数形函数.
问题1. 我们学习了哪些基本函数? 这些函数的 图象是怎样的? 在解决实际问题时, 你如何选择函 数模型?
一次函数, 图象为直线, 有单增单减两种情况. 二次函数, 图象为抛物线, 有增减两区间. 指数函数, 图象为过定点的曲线, 有单增单减
两种情况. 对数函数, 图象为过定点的曲线, 有单增单减
256 125
32o 1
y=x3
y=log2x
5 8 1011 x
练习: 第101页 只1 题
练习: (课本101页)
在同一平面直角坐标系内作
y
200
出下列函数的图象, 并比较它们 180
的增长情况:
160
y=0.1ex-100
(1) y=0.1ex-100, x[1, 10]; 140 y=20lnx+100
这些函数中增长最快的是指数函数, 增长最慢 的是对数函数, 常函数没有增长.
问题2. 我们学过的几种基本函数, 当它们同时 是增函数时, 它们的增长快慢如何? 如 y=2x, y=x2, y=2x, y=log2x, 当 x>0 时, 随着 x 的增大, 各函数 y 的增长速度如何?
增长速度最慢的是: 对数函数. 增长速度最快的是: 指数函数. 幂函数 y=x2 与一次函数 y=2x 比较:
对数函数最慢.
-2 -3
“直线上升, 指数爆炸, 对数增长.-”4
练习: 第98页
第 1、2 题
练习: (课本98页)
1. 四个变量 y1、y2、y3、y4 随变量 x 变化的数据如下表:
x0 5
10 15
20
25
30
y1 5 130 505 1130 2005
y2 5 94.478 1758.2 33733 6.37105
∴ y=log7x+1 符合条件8.
y = 0.25∙x
y=log7x+1 y = 1.002x
15
20
25
上述例子中, 我们接触到了常数函数 y=40, 一次函数 y=10x, y=0.25x-1, 指数函数 y=0.410x, y=1.002x, 对数函数 y=log7x.
应用函数的图象, 通过分析函数的增长速度, 函数的值域等来选择函数模型.
y=1.00再2x看, 函其数中哪y=个log模7x型+1能是符否合满公足司第的二要个求条?: y≤25%x,
解即: lo在g7奖x+励1≤模25型%中x, 其定lo义g7域x≤为0.2{x5|x1-01≤,x≤1000}.
按lo要g7x求和, 0三.2函5x数-1的都最是大增值函不数能, 超如过图5: 万元, 同时, y 又
1只.1有第二o1个0 函2数00
8
10
y=4l0o0g7x6+010符合800第一10条00要x求.
另解: 利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.
在 [10, 1000] 内,
16
最大值不能超过 5 万元, ① 14
y 不能超过 x 的 25%, 12
即 y≤0.25 x, ② 10
例2 的图象
y3 5 30
55
80
105
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .
3130 1.2107
130 1.0151
4505 2.28108
155 1.005
2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如果某台 计算机感染上这种病毒, 那么它就会在下一轮病毒发作时传播 一次病毒, 并感染其他20台未感染病毒的计算机. 现有10台计 算机被第 1 轮病毒感染, 问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少 台?
同样地, 对于对数函数 y=logax (a>1) 和幂函数 y=xn (n>0), 在区间 (0, +∞)上, 随着 x 的增大, logax 增长越来越慢. 尽管在 x 的一定范围内, logax 可能会 大于 xn , 但总存在一个 x0, 当 x>x0 时, 就会有 logax<xn.
特例如图: 指数函数 y = 2x
很明显, y=0.25x 不满足8 ①.
指数函数随着 x 的增大6 增长速度很快,
用计算器算得
4
y=1.0021000 ≈7.37>5, 2
y=1.002x 不满足①. y=log7x+1是增函数, 2
5
1010
用计算器算得 y=log710400+1≈4.55<5,
且在 [10, 1000] 内 log76x+1<0.25x.
y 5
2.3 1.4
1
o 5 10 15 20 25 30 x
2. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如果某台 计算机感染上这种病毒, 那么它就会在下一轮病毒发作时传播 一次病毒, 并感染其他20台未感染病毒的计算机. 现有10台计 算机被第 1 轮病毒感染, 问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少 台?
两种情况. 幂函数, 图象为直线或曲线, 正指数幂在
[0, +∞)上是增函数. 如何选择函数模型来刻画实际问题, 我们举例说明.
例1. 某人有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供选择,
这三种投资方案的回报如下:
方案一: 每天回报40元;
方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元;
尽管开始时, y=x2 的增长 不如 y=2x, 但到某个数以后, y=x2 的增长速度比 y=2x 快得多.
指数函数 y=2x 与幂函数 y=x2
y
y=2x
8 7 6
y=x2
y=2x
5
4 3
y=log2x
2
1
-o1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-2 -3 -4
也是如此.
一般地, 对于指数函数 y=ax (a>1) 和幂函数 y=xn (n>0), 在区间 (0, +∞) 上, 无论 n 比 a 大多少, 尽 管在 x 的一定范围内, ax 会小于 xn, 但 ax 增长快于 xn, 总存在一个 x0, 当 x>x0 时, 就会有 ax>xn.
(2) y=20lnx+100, x[1, 10]; 120
(3) y=20x, x[1, 10].
100
80
x
1
4
7
10
60
0.1ex-100 -99.7 -94.5 9.7 2102.6 40
y=20x
20lnx+100 100 127.7 138.9 146.1 20
20x
20 80 140 200
y
2048
y=2x
幂函数 y = x3
对数函数 y = log2x
x
5
8 10 11 1231
2x 32 256 1024 2048 1024
1000
x3 125 512 1000 1231
log2x 2.32 3 3.32 3.46 512
随着 x 的增大, 2x 的图象 几乎垂直向上, 增速很大.