流体力学量纲分析与相似原理

以从单位中推导，也可以根
dim z L
据计算公式，从其他物理量 进行推导。
dim
p
g
ML-1T 2
ML3 1 LT 2 1 L
dim 常数 L
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3. 物理方程的无量纲化
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
1 2
v02
p0
（沿流线）
无量纲化伯努利方程 • 在无粘性圆柱绕流中
1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个
p (,V , d, ,, l)
2．选择基本量：ρ、V、d
3．列П表达式求解П数（П数为无量纲数）
Cp
p p0
1 2
v0 2
可以看出，上部形成负压，而且
速度越快，实际的升力作用越大，
车容易“漂”。同时前端的正压
力与后端的负压力形成较大的压
差阻力。
• 汽车与飞机绕流： 复杂物面的压强分布
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粘性流体动力学的来自百度文库量纲特征参数的意义
粘性流体运动的基本方程是一个复杂的二阶非线性偏微分方 程，除少数特殊情况外，一般很难求得这一方程的解析解。为 了实用，人们往往根据问题在几何方面、动力学方面以及传热 学方面的特征对方程进行简化，目的是略去方程中的次要项， 保留主要项，然后对简化了的方程进行求解。 为了保证判断方程中哪些项可以略去，哪些项必须保留， 有必要把原有的方程无量纲化，这时在方程中出现一系列无量 纲参数，对这些无量纲参数的数量级进行比较，就可以决定方 程中各项的取舍。
一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以 按量纲齐次性原理作分析。
类比：角色分析
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一、П定理 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的
是布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立
基本量
选r个独立
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量 粘度系数 其他量 角速度，角加速度 应变率
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dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim a LT 2 dim m MT 1
dim ML3
dim ML2T 2
dim F MLT 2
选ρ、V 、d等3个
第3步、将其余的物理量作为导出量，即 FD 、μ分别与基本 量的幂次式组成П表达式(参见如下例子)。
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[例] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
经初步分析知道，在不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流 动的压降Δp与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε、管内流体密 度ρ、流体的动力粘度μ，以及断面平均流速v有关。分析压强降低与相关 物理量的关系。 解：
dim L ML2T 2
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
dim v L2T 1
dim T 1 dim xx dim T 1
dim T 2
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惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能
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二、量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究。
量纲分析概念 一个方程中多项量纲必须齐次；
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一、量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的量纲
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
长度
英
制
基本量纲
类别
量纲
导出量纲 量纲幂次式
SI制中的基本量纲： dim m = M , dim l = L , dim t = T
质量
长度
时间
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
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基本量
n-r个导出量
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x n )
П1 = f (П2, П3, ……, Пn-r )
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组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
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二、量纲分析法
1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。
FD ( , V , d , )
阻力 密度 速度 直径 粘度系数 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲
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六、压力场
（二）运动流场中的压强分布
压强系数
Cp
p p0
1 2
v0 2
p0 为参考压强，v0 为参考速度。
1. 惯性力对压强分布的影响
2. 粘性力对压强分布的影响
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（二）运动流场中的压强分布
压强系数的正负是与参考压强（往 往是大气压）相比，绝对值的大 小是与来流的动能相比，从图中
dim s ML2T 2 1 dim i dim e L2T1
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2. 量纲齐次性原理
同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
v2 z p 常数 （沿流线）
2g g
dim
v2 2g
LT 1
2
LT 2
1
L
因此，每一个量的量纲，既可
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线）
C
柱面上： 前后驻点 上下侧点
v 0 , Cp 1 v 2v0 , Cp 3
p0,v0 A
·
a
B
其他点 vθ 2v0 sin , Cp 1 4sin2θ
·
D
柱面外：流场中Cp 还与无量纲半径 r R 有关
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
注： 为温度量纲
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dim I x dim I xy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
dim cp dim cv L2T 2 1 dim k MLT 3 1
★本章重点掌握：
❖ 了解物理量的基本量纲和导出量纲，量纲性质. ❖ 理解相似原理的三个基本定理的内容和意义，理解力学相
似的概念； ❖ 掌握量纲分析方法（瑞利法、π定理）； ❖ 掌握用力学相似定义推导相似准则； ❖ 掌握用π定理简化函数关系，用π定理导出相似律 ❖ 相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计）