矩阵的相似变换和特征值_几何与线性代数

从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.
于是(1–2) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
(3I–A)x = 的基础解系: p1 = [5, 3, 1]T, (iI–A)x = 的基础解系: p2 = [0, i, 1]T, (–iI–A)x = 的基础解系: p3 = [0, i, 1]T, 3 0 0 5 0 0 令P = 3 i i , 则P –1AP = 0 i 0 . 0 0 i 1 1 1

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
§5.3 实对称矩阵的相似对角化 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 1. 复矩阵的共轭矩阵 设A = [aij]mn, aijC. 则称A = [aij]mn为
A的共轭矩阵. 可以验证 (1) kA = k A ; (2) AB = AB ; T = ( A ) T ; (4) AB = A B; (3) A
于是P –1AP = diag[1, 2, …, n],

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
推论a. n阶复方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个ni重特征值i有ni个线性 无关的特征向量, 即秩(iIA) = nni. 推论b. 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A 与对角矩阵相似. 三. 方阵的相似对角化 对于n阶方阵A, 求可逆矩阵P, 使P –1AP为 对角矩阵这件事称为矩阵A的相似对角化.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
二. 特征值, 特征向量的性质 定理5.1. 设1, …, n(实数或复数, 可以重复)
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是n阶方阵A=[aij]的n个特征值, 即 |I–A| = (–1) (–2)…(–n).
则 i = trA = aii

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量. 证明: (必要性)设P –1AP = diag[1, 2, …, n],
P 的列向量依次为p1, p2, …, pn. 则AP = Pdiag[1, 2, …, n], 即 A[p1, p2, …, pn] = [1p1, 2p2, …, npn], 可见, p1, p2, …, pn就是A的n个线性无关 的特征向量.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2 1 1 例3. 求 A 0 2 0 的特征值和特征向量. 4 1 3 解: |I–A| = (+1)( –2)2.
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2. (–I–A)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR). (2I–A)x = 的基础解系: p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).
§5.1 方阵的特征值和特征向量 一. 特征值, 特征向量的定义和计算 1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零向量. 若A = , 则称为A的特征值, 称为A 的对应于的特征向量. 2. 由A =得齐次线性方程组(I–A) =, 它有非零解系数行列式|I–A|=0, 这个 关于的一元n次方程, 称为A的特征方程, |I–A|称为A的特征多项式.
(5) 若A可逆, 则A也可逆, 且( A )
1
A
1
.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
2. 实对称矩阵
定理5.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.
事实上, 设复数为对称矩阵A的特征值, 非零复 向量x满足Ax = x, 则 A x A x Ax x x , 从而 x T Ax x T A T x ( A x ) T x ( x ) T x x T x . 另一方面, x T Ax x T ( Ax ) x T ( x ) x T x .
解之得
x1 1 k (0 k R ). x 1 2
A的对应于2=4的特征向量为
k (0 k R ). k
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
1 1 0 例2. 求 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2 解: |I–A| = (–2)(–1)2.
线性代数与空间解析几何电子教案网络版
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量 §5.2 相似矩阵
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
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第五章 矩阵的相似变换和特征值
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
命题: 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B). 证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P 1f(A)P = P 1(anAn+…+a1A+a0I)P = anP 1AnP+…+A1p 1AP+a0 P 1IP = an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0I = anBn+…+a1B+a0I = f(B).
所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2I–A)x = 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1, 求得(I–A)x = 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
求|I–A| = 0的根 有重根吗? 有 无 A可以相似对角化 求n个线性无关的 特征向量p1, …, pn, 令P = [p1, …, pn] P –1AP=diag[1,…,n] Jordan化
例1 2 3
是
秩(iIA) = nni?

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例1.
3 1 求 A 的特征值和特征向量. 1 3
解: | I A|
3
1
1
3
( 4)( 2),
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于1=2, (2I–A)x =
i =1 n n
i =1 n
i =1
i = detA = |A|

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
定理5.2. 设是方阵A的一个特征值, f是一个 多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特 征值. 推论. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O (这时称f为A的一个零化多项式), 则A 的任一特征值 必满足f() = 0.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值.
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4. 为(A) = 2A2 –3A +4I的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A)x = (2A2 –3A +4I)x = 2(A2)x–3Ax +4x = 22x–3x +4x = (22 –3 +4)x = ()x, 所以f()为f(A)的特征值.
注: A的零化多项式的根未必都是A的特征值. 例如f(x) = x21, 1 0 1 0 0 1 A1 = , A2 = , A3 = . 0 1 0 1 1 0

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P称为相似变换矩阵或过渡矩阵. 易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; (2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. 且A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量. (充分性)设A的n个线性无关的特征向量依次为 p1, p2, …, pn, 对应的特征值依次为1, 2, …, n, 则A[p1, p2, …, pn] = [1p1, 2p2, …, npn]. 记P = [p1, p2, …, pn], 则上式可写成 AP = Pdiag[1, 2, …, n],

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
定理5.5. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值. 事实上, 设P –1AP = B, 则 |I–A| = |P –1|· I–A|· |I–B|. | |P|= 注: 特征多项式相同的矩阵未必相似. 1 1 1 0 , 例如 A = 0 1 , B = 0 1 它们的特征多项式都是(1)2. 但是若有P –1AP = B, 则A = PBP –1 = B. 矛盾!
两式相减得 ( ) x T x 0 .
又因为x非零, 故 x x x i x i | x i | 0 .
T 2 i 1 i 1 n n
因此 0 , 可见为实数.

第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
定理5.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交. 事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,
x1 x 2 0 即 x1 x 2 0
x1 1 解之得 k (0 k R ). 1 x2 k A的对应于1=2的特征向量为 (0 k R ). k
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例1.
3 1 求 A 的特征值和特征向量. 1 3
解: | I A|
3
1
1
3
( 4)( 2),
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于2=4, (4I–A)x =
x1 x 2 0 即 x1 x 2 0
否 A不能相似对角化
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
3 0 0 例6. A = 2 0 1 的特征多项式为 0 1 0 –3 0 0 |I–A| = 2 1 = (–3)(2+1), 0 1 特征值 = 3, i中有两个是虚数, 所以A不与实对角矩阵相似. 3 0 0 在复数范围内, A ~ 0 i 0 . 0 0 i