九年级数学旋转几何综合易错题(Word版 含答案)
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九年级数学旋转几何综合易错题(Word版含答案)
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.如图,四边形ABCD为正方形,△AEF为等腰直角三角形,∠AEF=90°,连接FC,G 为FC的中点,连接GD,ED.
(1)如图①,E在AB上,直接写出ED,GD的数量关系.
(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转,其它条件不变,如图②,(1)中的结论是否成立?说明理由.
(3)若AB=5,AE=1,将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周,当E,F,C三点共线时,直接写出ED的长.
【答案】(1)DE=2DG;(2)成立,理由见解析;(3)DE的长为42或32.【解析】
【分析】
(1)根据题意结论:DE=2DG,如图1中,连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接DM,证明△CMG≌△FEG(AAS),推出EF=CM,GM=GE,再证明△DCM≌△DAE (SAS)即可解决问题;
(2)如图2中,结论成立.连接EG,延长EG到M,使得GM=GE,连接CM,DM,延长EF交CD于R,其证明方法类似;
(3)由题意分两种情形:①如图3-1中,当E,F,C共线时.②如图3-3中,当E,F,C 共线时,分别求解即可.
【详解】
解:(1)结论:DE=2DG.
理由:如图1中,连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接DM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠B=∠ADC=∠DAE=∠DCB=∠DCM=90°,
∵∠AEF=∠B=90°,
∴EF∥CM,
∴∠CMG=∠FEG,
∵∠CGM=∠EGF,GC=GF,
∴△CMG≌△FEG(AAS),
∴EF=CM,GM=GE,
∵AE=EF,
∴AE=CM,
∴△DCM≌△DAE(SAS),
∴DE=DM,∠ADE=∠CDM,
∴∠EDM=∠ADC=90°,
∴DG⊥EM,DG=GE=GM,
∴△EGD是等腰直角三角形,
∴DE=2DG.
(2)如图2中,结论成立.
理由:连接EG,延长EG到M,使得GM=GE,连接CM,DM,延长EF交CD于R.
∵EG=GM,FG=GC,∠EGF=∠CGM,
∴△CGM≌△FGE(SAS),
∴CM=EF,∠CMG=∠GEF,
∴CM∥ER,
∴∠DCM=∠ERC,
∵∠AER+∠ADR=180°,
∴∠EAD+∠ERD=180°,
∵∠ERD+∠ERC=180°,
∴∠DCM=∠EAD,
∵AE=EF,
∴AE=CM,
∴△DAE≌△DCM(SAS),
∴DE=DM,∠ADE=∠CDM,
∴∠EDM=∠ADC=90°,
∵EG=GM,
∴DG=EG=GM,
∴△EDG是等腰直角三角形,
∴DE =2DG .
(3)①如图3﹣1中,当E ,F ,C 共线时,
在Rt △ADC 中,AC =22AD CD +=2255+=52,
在Rt △AEC 中,EC =22A AE C -=22(52)1-=7,
∴CF =CE ﹣EF =6,
∴CG =
12
CF =3, ∵∠DGC =90°, ∴DG =22CD CG -=2253-=4,
∴DE =2DG =42.
②如图3﹣3中,当E ,F ,C 共线时,同法可得DE =32.
综上所述,DE 的长为2或2.
【点睛】
本题属于四边形综合题,考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.在Rt △ACB 和Rt △AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE .
(1) 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,求证:PC=PE;
(2) 如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,探索PC与PE的数量关系,并说明理由.
(3) 如图3,把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转,点F落在边AB上.其他条件不变,问题(2)中的结论是否发生变化?如果不变,请加以证明;如果变化,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)PC=PE,理由见解析;(3)成立,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可;
(2)先判断△CBP≌△HPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半;
(3)先判断△DAF≌△EAF,再判断△DAP≌△EAP,然后用比例式即可;
【详解】
解:(1)证明:如图:
∵∠ACB=∠AEF=90°,
∴△FCB和△BEF都为直角三角形.
∵点P是BF的中点,
∴CP=1
2BF,EP=
1
2
BF,
∴PC=PE.
(2)PC=PE理由如下:
如图2,延长CP,EF交于点H,
∵∠ACB=∠AEF=90°,
∴EH//CB,
∴∠CBP=∠PFH,∠H=∠BCP,
∵点P是BF的中点,
∴PF=PB,
∴△CBP≌△HFP(AAS),
∴PC=PH,
∵∠AEF=90°,
∴在Rt△CEH中,EP=1
2
CH,
∴PC=PE.
(3)(2)中的结论,仍然成立,即PC=PE,理由如下:
如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,
∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,
在△DAF和△EAF中,
DAF,
,
,
EAF
FDA FEA
AF AF
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DAF≌△EAF(AAS),
∴AD=AE,
在△DAP≌△EAP中,
,
,
,
AD AE
DAP EAP
AP AP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DAP≌△EAP (SAS),
∴PD=PF,
∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,
∴FD//BC//PM,
∴DM FP
MC PB
=,
∵点P是BF的中点,
∴DM=MC,
又∵PM⊥AC,
∴PC=PD,
又∵PD=PE,
∴PC=PE.
【点睛】
此题是几何变换综合题,主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半,全等三角形的