第三讲交错级数与任意项级数
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2
1 1 ( 2) ∑ sin ln n n
∞ n=2
5. Stirling（斯特林）公式的极限形式及其应用
lim
n →∞
n! n e
n
=1
2nπ
n
n n!~ e
2nπ
e 例9. 判别级数 ∑ n! 敛散性 n
∞ n =1
n
解:
e e n u = n! ~ 2nπ n n e
注意到 1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；
2 2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。 常用比值法 根值法 比值法与根值法 比值法 根值法判断 u → 0 速度。
n
3. 达朗贝尔比值法与柯西根值法 定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ <1 时, 级数收敛 ; (2) 当ρ >1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . (3) 当 ρ =1 时, 级数可能收敛也可能发散 。
用几何级数作尺子不行，还可选用p级数作尺 子。。。
(2) 此法适用于通项中含以ｎ为指数幂因子． 当通项中既有 用比值法。 (3) 常用 lim un n →∞
n
n!
又有以n为指数幂因子，
n
(1) M > 0, lim M = 1
n →∞
(2) α ∈ R, lim nα = 1
n n →∞
(4) 能用比值法判别，则一定能用根值法，反之 不然．
u lim = r ⇒lim n = r u
n+1 n n→ ∞ n→∞ n
例4. 判别下列级数敛散性
(1) ∑ 2
n =1
∞
∞
− n − ( −1 ) n
3n (2) ∑ 3n + 1
n =1
n
(3) ∑ nα β
n =1
∞
n
例5. 判别级数敛散性
n ∑ (ln n)
∞ n =2
n→∞
为正项级
(3) 当 ρ =1 时, 级数可能收敛也可能发散 。
证法： 证法：类似比值法用比较法与几何级数相比
说明: 说明 (1)当
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 →1 (n →∞) un = n n
p
但
p >1, 级数收敛 ;
p ≤1, 级数发散 .
证法： 证法：用比较法与几何级数相比
ρ , 证: (1) 当 <1时
un+1 知 在N ∈Z , 当 > N时 存 < ρ + ε <1 n , un
+
收敛 , 由比较审敛法可知
∑un 收敛.
n , 存 (2) 当ρ >1或ρ = ∞时必 在N ∈Z+ , uN ≠ 0,当 ≥ N
时 从而
un+1 > un > un−1 >L> uN
∞
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理8. 定理
( P203 定理9 )
*定理 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 定理9. 定理 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S,σ, 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 Sσ . (P205 定理10) 说明: 说明 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
n
n
n
n
n e
n
e 2nπ = 2nπ → ∞( n → ∞) n
n
故 un → ∞( n → ∞)
原级数发散 .
二 、交错级数及其审敛法
设un > 0 , n =1, 2,L 则各项符号正负相间的级数 ,
称为交错级数 . 交错级数 定理6 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
∞ n−1 1
例如 ：∑(−1)
n=1
n
为条件收敛 .
n=1
∑(−1)
∞
n−1
n 均为绝对收敛. n 10
定理7. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn = 1 (un + un ) ( n =1, 2 , L ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ un , 根据比较审敛法 ∑vn 收敛,
= lim un = 0
n→∞
2 由比较判敛法可知 ∑un 收敛 . n=1
∞
注意: 注意 反之不成立. 例如,
1 ∑n2 收敛 , n=1
∞
1 ∑n 发散 . n=1
∞
备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
(2)
∞
∞
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
2− 2+v 2−v u ∴ lim = lim = lim u 2−v 2−v
n +1 n +1 n →∞ n →∞ n→∞ n n n
n
= lim
n →∞
2− 2+v ⋅ 2+ 2+v
n
n
2−v ⋅ 2+ 2+v
n
n
1 = lim = 2 2+ 2+v
n →∞ n
1
<1
故原级数收敛。
定理5. 定理 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 数, 且 lim n un = ρ , 则
ln n
n
例6. 判别级数敛散性
n ( 2 + (−1) ) ∑ 3
∞ 3 n n =1 n
n
4. 积分审敛法
－－－－广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系
适用：通项单调减少！ 定理６ 定理６. 积分审敛法 设通项 un 满足 u1 ≥ u2 ≥ L ≥ un ≥ L ≥ 0 若存在单调减函数 f ( x) ( x ≥ 1) ，使 f (n) = u 则级数 与广义积分 ∫ f ( x) dx
因此 lim un ≥ uN ≠ 0 , 所以级数发散.
n→∞
un+1 说明: 说明 (1)当 lim =1 时,级数可能收敛也可能发散. n→∞ un
1 un+1 (n+1) p lim = lim 1 n→∞ un n→∞ np
例如, 例如, p – 级数
=1
但
p >1, 级数收敛 ; p ≤1, 级数发散 .
un = 2vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
sin nα 收敛 ∴∑ 4 n n=1
1) un ≥ un+1 ( n =1, 2, L);
2)
∞
n→ ∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
rn ≤ un+1 .
证: QS2n = (u1 −u2 ) + (u3 −u4 ) +L+ (u2n−1 −u2n )
S2n = u1 − (u2 −u3) − (u4 −u5) −L− (u2n−2 −u2n−1)
1 +∞
n
有相同敛散性．
例7. 讨论级数 解: 设
的敛散性 .
当 x ≥ 2 时， f (x) 是正值递减函数， 是正值递减函数， 且 记
1 Y = ∫ f ( x) d x = ∫ dx α x(ln x)
n n n 2 2
1 Y = ∫ f ( x) d x = ∫ dx α x(ln x) 1 当 α = 1 时， limY = ∫ dx = ln ln x | = ∞ x(ln x) 发散； 发散； 1 dx 当 α ≠ 1 时， limY = ∫ α x(lnα ) 1 时，收敛 当 x>
n n n 2 2 +∞
∞ 2
n→∞
n
2
+∞
n→∞
n
2
原级数
=
1 ， α ≤1 α = lim 当 x) 时|，发散 (ln 1−α 1 收敛； (ln 2) , α > 1 收敛；
1− n 2 n →∞
1−α
α −1
∞, α < 1
发散． 发散．
பைடு நூலகம்
例8. 判别级数敛散性
(1) ∑
n =1 ∞
1 (n + 1) ln (n + 1)
2. C (A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; 分析: 分析 又 (B) 绝对收敛;
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
−u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 −un+2 +L )
∴ rn = un+1 −un+2 +L ≤ un+1
用Leibnitz 判别法 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n =10⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10 n! 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L收敛 10 102 103 104 10n
当 >1时 级数发散 ; x ,
当 =1时 x ,
例２. 判断下列级数敛散性
n! (1)∑ 10
∞ n =1 ∞ n
n
n ( 2) ∑ (n + 1)(n + 2)L(2n)
∞ n =1
n n →∞
a ⋅ n! 2 ⋅ n! (3)∑ (a > 0), 并求 lim n n nπ nsin 4 ( 4) ∑ 3
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
3. 任意项级数审敛法 概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法:
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(−1)nun收敛
n=1
∞
思考与练习
n=1 2 un 提示: 提示 Q lim n→∞ un 2 能否推出 ∑un 收敛 ? 设正项级数 ∑un 收敛, n=1 ∞ ∞
n =1 n n
2
∞
n =1
n
例３. 讨论 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + L 的敛散性 .
解：
u = 2 − 2 + 2 +L+ 2
n
= 2−v
n
n −1
则
v = 2 + 2 +L+ 2
n
n −1
有
v = 2+v
n +1
n
又前极限知 lim vn = 2 n→∞
∞
1 ∑n4 收敛 , n=1
∞
sin nα 因此 ∑ 4 绝对收敛 . n=1 n
∞
(2) 令
(n +1) un+1 en+1 Q lim = lim 2 n→ un ∞ n→∞ n en 2 1 n +1 1 = lim = <1 n→∞ e n e
2
∞ n2 n n2 ∴ ∑ (−1) n 收敛, 因此 ∑(−1)n 绝对收敛. n e e n=1 n=1
(2) 不能由
u < 1 ，从而推出 u
n +1 n
敛散。
(3) 此法适用于通项中含
n!
或有关n的若干因子连乘积的形式。
例１. 讨论级数
的敛散性 .
n un+1 (n +1) x Qlim = lim =x 解: n−1 n→∞ un n→∞ n x
根据定理4可知:
当 < x <1时 级数收敛 ; 0 ,
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n=1 n
发散
∞
1 2) ∑ ; n=1 n!
收敛
∞
n 3) ∑ n . n=110
收敛
∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义 对任意项级数 数 绝对收敛 ； 若 收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
n→∞
不满足
发 散
满足
un+1 比值审敛法 lim u = ρ n→∞ n
根值审敛法 lim n un = ρ
n→ ∞
比较审敛法 ρ =1 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法
1 1 ( 2) ∑ sin ln n n
∞ n=2
5. Stirling（斯特林）公式的极限形式及其应用
lim
n →∞
n! n e
n
=1
2nπ
n
n n!~ e
2nπ
e 例9. 判别级数 ∑ n! 敛散性 n
∞ n =1
n
解:
e e n u = n! ~ 2nπ n n e
注意到 1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；
2 2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。 常用比值法 根值法 比值法与根值法 比值法 根值法判断 u → 0 速度。
n
3. 达朗贝尔比值法与柯西根值法 定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ <1 时, 级数收敛 ; (2) 当ρ >1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . (3) 当 ρ =1 时, 级数可能收敛也可能发散 。
用几何级数作尺子不行，还可选用p级数作尺 子。。。
(2) 此法适用于通项中含以ｎ为指数幂因子． 当通项中既有 用比值法。 (3) 常用 lim un n →∞
n
n!
又有以n为指数幂因子，
n
(1) M > 0, lim M = 1
n →∞
(2) α ∈ R, lim nα = 1
n n →∞
(4) 能用比值法判别，则一定能用根值法，反之 不然．
u lim = r ⇒lim n = r u
n+1 n n→ ∞ n→∞ n
例4. 判别下列级数敛散性
(1) ∑ 2
n =1
∞
∞
− n − ( −1 ) n
3n (2) ∑ 3n + 1
n =1
n
(3) ∑ nα β
n =1
∞
n
例5. 判别级数敛散性
n ∑ (ln n)
∞ n =2
n→∞
为正项级
(3) 当 ρ =1 时, 级数可能收敛也可能发散 。
证法： 证法：类似比值法用比较法与几何级数相比
说明: 说明 (1)当
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 →1 (n →∞) un = n n
p
但
p >1, 级数收敛 ;
p ≤1, 级数发散 .
证法： 证法：用比较法与几何级数相比
ρ , 证: (1) 当 <1时
un+1 知 在N ∈Z , 当 > N时 存 < ρ + ε <1 n , un
+
收敛 , 由比较审敛法可知
∑un 收敛.
n , 存 (2) 当ρ >1或ρ = ∞时必 在N ∈Z+ , uN ≠ 0,当 ≥ N
时 从而
un+1 > un > un−1 >L> uN
∞
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理8. 定理
( P203 定理9 )
*定理 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 定理9. 定理 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S,σ, 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 Sσ . (P205 定理10) 说明: 说明 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
n
n
n
n
n e
n
e 2nπ = 2nπ → ∞( n → ∞) n
n
故 un → ∞( n → ∞)
原级数发散 .
二 、交错级数及其审敛法
设un > 0 , n =1, 2,L 则各项符号正负相间的级数 ,
称为交错级数 . 交错级数 定理6 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
∞ n−1 1
例如 ：∑(−1)
n=1
n
为条件收敛 .
n=1
∑(−1)
∞
n−1
n 均为绝对收敛. n 10
定理7. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn = 1 (un + un ) ( n =1, 2 , L ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ un , 根据比较审敛法 ∑vn 收敛,
= lim un = 0
n→∞
2 由比较判敛法可知 ∑un 收敛 . n=1
∞
注意: 注意 反之不成立. 例如,
1 ∑n2 收敛 , n=1
∞
1 ∑n 发散 . n=1
∞
备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
(2)
∞
∞
1 ∑n 发散 , 故原级数发散 . n=1
2− 2+v 2−v u ∴ lim = lim = lim u 2−v 2−v
n +1 n +1 n →∞ n →∞ n→∞ n n n
n
= lim
n →∞
2− 2+v ⋅ 2+ 2+v
n
n
2−v ⋅ 2+ 2+v
n
n
1 = lim = 2 2+ 2+v
n →∞ n
1
<1
故原级数收敛。
定理5. 定理 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 数, 且 lim n un = ρ , 则
ln n
n
例6. 判别级数敛散性
n ( 2 + (−1) ) ∑ 3
∞ 3 n n =1 n
n
4. 积分审敛法
－－－－广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系
适用：通项单调减少！ 定理６ 定理６. 积分审敛法 设通项 un 满足 u1 ≥ u2 ≥ L ≥ un ≥ L ≥ 0 若存在单调减函数 f ( x) ( x ≥ 1) ，使 f (n) = u 则级数 与广义积分 ∫ f ( x) dx
因此 lim un ≥ uN ≠ 0 , 所以级数发散.
n→∞
un+1 说明: 说明 (1)当 lim =1 时,级数可能收敛也可能发散. n→∞ un
1 un+1 (n+1) p lim = lim 1 n→∞ un n→∞ np
例如, 例如, p – 级数
=1
但
p >1, 级数收敛 ; p ≤1, 级数发散 .
un = 2vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
sin nα 收敛 ∴∑ 4 n n=1
1) un ≥ un+1 ( n =1, 2, L);
2)
∞
n→ ∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
rn ≤ un+1 .
证: QS2n = (u1 −u2 ) + (u3 −u4 ) +L+ (u2n−1 −u2n )
S2n = u1 − (u2 −u3) − (u4 −u5) −L− (u2n−2 −u2n−1)
1 +∞
n
有相同敛散性．
例7. 讨论级数 解: 设
的敛散性 .
当 x ≥ 2 时， f (x) 是正值递减函数， 是正值递减函数， 且 记
1 Y = ∫ f ( x) d x = ∫ dx α x(ln x)
n n n 2 2
1 Y = ∫ f ( x) d x = ∫ dx α x(ln x) 1 当 α = 1 时， limY = ∫ dx = ln ln x | = ∞ x(ln x) 发散； 发散； 1 dx 当 α ≠ 1 时， limY = ∫ α x(lnα ) 1 时，收敛 当 x>
n n n 2 2 +∞
∞ 2
n→∞
n
2
+∞
n→∞
n
2
原级数
=
1 ， α ≤1 α = lim 当 x) 时|，发散 (ln 1−α 1 收敛； (ln 2) , α > 1 收敛；
1− n 2 n →∞
1−α
α −1
∞, α < 1
发散． 发散．
பைடு நூலகம்
例8. 判别级数敛散性
(1) ∑
n =1 ∞
1 (n + 1) ln (n + 1)
2. C (A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; 分析: 分析 又 (B) 绝对收敛;
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
−u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 −un+2 +L )
∴ rn = un+1 −un+2 +L ≤ un+1
用Leibnitz 判别法 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n =10⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10 n! 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L收敛 10 102 103 104 10n
当 >1时 级数发散 ; x ,
当 =1时 x ,
例２. 判断下列级数敛散性
n! (1)∑ 10
∞ n =1 ∞ n
n
n ( 2) ∑ (n + 1)(n + 2)L(2n)
∞ n =1
n n →∞
a ⋅ n! 2 ⋅ n! (3)∑ (a > 0), 并求 lim n n nπ nsin 4 ( 4) ∑ 3
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
3. 任意项级数审敛法 概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法:
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(−1)nun收敛
n=1
∞
思考与练习
n=1 2 un 提示: 提示 Q lim n→∞ un 2 能否推出 ∑un 收敛 ? 设正项级数 ∑un 收敛, n=1 ∞ ∞
n =1 n n
2
∞
n =1
n
例３. 讨论 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + L 的敛散性 .
解：
u = 2 − 2 + 2 +L+ 2
n
= 2−v
n
n −1
则
v = 2 + 2 +L+ 2
n
n −1
有
v = 2+v
n +1
n
又前极限知 lim vn = 2 n→∞
∞
1 ∑n4 收敛 , n=1
∞
sin nα 因此 ∑ 4 绝对收敛 . n=1 n
∞
(2) 令
(n +1) un+1 en+1 Q lim = lim 2 n→ un ∞ n→∞ n en 2 1 n +1 1 = lim = <1 n→∞ e n e
2
∞ n2 n n2 ∴ ∑ (−1) n 收敛, 因此 ∑(−1)n 绝对收敛. n e e n=1 n=1
(2) 不能由
u < 1 ，从而推出 u
n +1 n
敛散。
(3) 此法适用于通项中含
n!
或有关n的若干因子连乘积的形式。
例１. 讨论级数
的敛散性 .
n un+1 (n +1) x Qlim = lim =x 解: n−1 n→∞ un n→∞ n x
根据定理4可知:
当 < x <1时 级数收敛 ; 0 ,
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n=1 n
发散
∞
1 2) ∑ ; n=1 n!
收敛
∞
n 3) ∑ n . n=110
收敛
∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义 对任意项级数 数 绝对收敛 ； 若 收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
n→∞
不满足
发 散
满足
un+1 比值审敛法 lim u = ρ n→∞ n
根值审敛法 lim n un = ρ
n→ ∞
比较审敛法 ρ =1 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法