环的同态与同构

证明 任取a1, a2 A.定义:
a1 a2 xy，a1 ma2 x y, 其中 x a1, y a2 所以 x y a1 ma2 x m y
xy a1 a2 x y
又已知 是双射，由a1, a2的任意性，得 R A.. 因R为环,所以 A也是环 .故 为同构映射.
到 的映射.
(2) 任给
,
(3) 任给 所以, 为
,
,则
到
的满同态.
,令 ,
(4) 设 知, 存在 使
，由多项式的带余除法
及
,
如果 于是
,则
, 所以
.
.
如果 ( f (x)) f (i) ，所以
, 则有
,而
.由此得
从而由同态基本定理, 有同构
.
四、环的扩张定理（挖补定理）
定理 3.3.6 (环的扩张定理)
则 ab a b ab ba b a ba
因此 ab ba ，故R 是交换环.
说明
（1） 设 为环R到R '的同态, 则 (an ) ((a))n.
证明 由群同态的定义知,
(an) (aL a) (a)L (a) ((a))n.
（2） 设 为环R到R '的同态, 称集合 ker() {a R (a) 0}
中: n n.
在例 3 中，显然Z 是整环. 所以Z 中没有零
因子,但在 Z6中,2 和 3、4 都是零因子.即 2 显然不是Z 中的零因子,但 2 2却是Z6 中的零
因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
例 5 设R (a,b) a,b Z .在R中定义运算
a1,b1 a2,b2 a1 a2,b1 b2 . a1,b1 a2,b2 a1a2,b1b2 .
作成一个环且与原来的环R同构. 6．求 Klein 四元群的自同态环的所有元素。
习题十九解答
1.试证明整数环Z不能与偶数环同构. 证明 整数环中有乘法单位元1，而偶数环中无乘法单位元，所以不能同构. 2.试证明体的加法群与其非零元素乘法群不能同构.
证明 设F;;•是体.假设
: F; F• ;• .
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上课啦！
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第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，
环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。
OR a OR a ORa OR 因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1R a 1R a a a,
同理,
a
1R
a
1R
1. R
③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
a
a
O R
,
所以 a a .
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
S
S
S
这表明在S 中，加法“m”与“+”是一致的.
同理可证在S 中“”与“·”也是一致的. 所以S 是R的子环，②成立.
三、环同态基本定理
定理 3.3.5 (环同态基本定理)
设:
为环的满同态, 则有环同构
且
. 其中, 为自然同态:
.
证明 令: :
,
.
(1) 将 看成加法群的同态, 则它是满同态. 因此由群的同态基本定理, 这样定义的 是一 个映射. 且由于 也是加群同态的核, 所以 这样定义的 是单映射, 且由于 是满射, 故
他们同态吗？
一 环 同 态 定 义
定义 1 设 是环 R,,• 到环 R ,,• 的映射.如果 a,b R. 满足:
a b a m b, a b a b
则称 是一个环同态映射.
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同
态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时,则称R 与 R 同态,记
利用上面的引理,我们来讨论环论中的“挖 补定理”.
定理 3.4.4( 挖补定理) 设S 是环R 的一个 子环,设BRS .又设S 也是环且S S ,而 B I S .那么必存在另一个环R ,满足
① R R, ② S 是 R的子环.
证明 为了方便,令S aS ,bS ,cS L ， 为 S 与S
定理 3.4.3 若R和 R 都是环,且R R,那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域)当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣 的事实.
引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
x , y S 于是 x y Z S ，所以 S S.则
SS
S
S
S
有 xS , yS 和 ZS 使 xS
x S
，
yS
y， S
zS
z S
于是，
x S
my S
xS m yS
f
xS m f
yS
f xS yS
f
zS zS
z S
所以 x y z .
间的同构映射.而 S a ,b ,c L .因 S S ,则设 SSS
xS
x S
.又令
B a,b,cL R aS ,bS ,cS ,L a,b,cL
现作一个新集合 然 R R.
R a ,b ,c L a,b,cL ,显 SSS
作
f : R R,其中
xS
x S
,
x x
显然, f 是满射.另一方面,x, y R ,可分为三 种情形逐一考虑(其中, x y).
则(0) 1 . 设(a) 1.当a=0,则1=-1,2 • 1=0; 当 a 0 , 则
(2a) (a)(a) (1)(1) 1,于是2a=0.这两种情况都说明F的特征数为2.因此
((1))2 (2 •1) (0) 1,
2 • 1=0,1=-1.
((1))2 1 0 ((1) 1)((1) 1) 0.
例1
设
R1
a 0
b c
a,b,c Z
,
R2
a 0
0 c
a,
c
Z
,
则 R1, R2关于矩阵的加法和乘法都构成环.令
a b a 0
R1 R2
:同态，从而R1 ~ R2.
例2 若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
为 R～R.
说明： • 环同态是环之间保持运算的映射. • 如果 为单映射, 则称 为单同态.
• 如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作, : R : R ', 并称R与 R '同态.
• 如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同
构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
由于在 中,
,
所以
且 中的运算为: 任给
,
,
,
习题十九
1. 试证明整数环Z不能与偶数环同构. 2. 试证明体的加法群与其非零元素乘法群不能同构. 3. 证明有理数域Q的自同构只有恒等自同构. 4. 证明：每个无单位元的环R都可嵌入（即在同构意义 下包含在）一个有单位元的环中.
5. 设R是一个环， u R .证明：R对以下二元运算 ab abu a b ab au ub u 2 u
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R,,• 和 R,m, • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a m b, a • b a • b，
则当 R,,• 是环时, R,m, • 也必是环.
（1） 环同态与群同态的区别所在。
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。
（3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。
（4） 环同构的应用——挖补定理。
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“S 视为R的子环”的不同意义。
(1)作为集合, 是在 中将 然后再将 补上而得到的.
挖去,
(2) 中的运算按下法进行:
(i) 如果
,则
的运算进行;
就按 中
(ii) 如果 有一个, 或两个都不属于 , 则将 换成 中的对应元素, 在 中做加发与 乘法, 然后再把结果换成 中相应的元素.
例8 设 是一个没有单位元的环. 则存在一个有单 位元的环 , 使 为 的子环.
同态.
定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
④ 若R可交换，则R 也可交换.
证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
总之,当x y时,有 f x f y, 所以 f 是单射.
综上知， f 为R到R的双射.由引理,因为R 为环,
f
则必可为R定义加法和乘法,使R 为环且R R.所以 ①成立.
下面证②也成立(即S 是R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ m”和“ ”,又 S 设与S 中的加法和乘法分别记为“+”和“·”.以下 将证明若局限在S 内,“m”与“+”,与·是一致的.
设: 的子环, 且
为环的单同态, 且 . 则存在环 , 使得 为环 .
证明 (1) 构作集合
.
(2)作映射: :
,
，则 为一一对应.
(3) 定义 的运算: 任给
, 规定 ,
(4) 则 为环, 且 为 的子环, 并且 : .
环的扩张定理使我们将一个较小的环扩 张为一个较大的环.
定理 3.3. 6 告诉我们, 的扩张环 是按 下述方式构造的:
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
也是满映射. (2) 所以, 要证 是环同构, 只要证明 保
持乘法运算.
所以, 为
到 的同构.
(3) 任给
. 例6 设 :
态, 且
,
, .
. 所以, , 则 是满同
从而由同态基本定理得:
又因为 为自然同态, 所以此同构实际
上是恒等同构, 即
.
例 7 设: 证明:
,
.
证明 (1) 如果 的系数都是有理数, 则 中的 都是有理数. 所以 是
(ⅰ) 若x, y B，那么 f x x y f y； (ⅱ) 若x, y S, 则 f x x, f y y。因为 是同构映射，所以当 x y时必有 x y . (ⅲ) 若 x B，而 y S 时，f x x.但 f y y, 而 B I S , x B, y S ，故 x y ，故 f x f y.
证明 令
.
(1) 规定: 任给
,
,
,
则 关于所给的运算构成环, 且 (1,0)为 的单位元.
(2) 令 :
,
单同态. 于是由定理 3.3.6 的
, 则 为环的
证明, 环
为
的扩环, 且
.
(3)如果
, 则易知, :
,
, 也是环单同态,
于是知, 环
所以, 也是有单位元的环, 且 的单位元为 . 显然 是 的子环.
则
(1) 1 0 或 ((1) 1) 0.
因1=-1,故(1) 1 .这(0) 1 与矛盾，说明不存在同构映射 .
3.证明有理数域Q的自同构只有恒等自同构.
证明 设 是有理数域Q的一个自同构.由于在同构映射下，单位元与单位元对应，