第七节：曲率

M2
M1
2
S 2
S1
M3
M
S1
N
M
S 2 N

弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
曲线的弯曲程度与切线的转角和弧段的长度有关。
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
在何处曲率最大?
y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t

2
x 表示对参 数 t 的导数
K
x y x y (x y )
2 2
3
ab
(a sin t b cos t )
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f (t ) 2a 2 sin t cos t 2b cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得

arctan y
d (arctan y) d x
) 2 2

d K ds

x3
1 ( x2 2

1) 2 2 x
3
o 1
2
x
显然 R
x 1
2 为最小值 .
利用 a 2 b 2 2 ab
高数A
第七节 曲率(Curvature)
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
M
第三章
M M

y 一、弧微分(Differential of Arc)
y f ( x)
设函数 f (x) 在区间 ( a , b ) 内具有连续导数．
y
C
o
D( , )
R
T
M ( x, y )
(注意 y 与 y 异号 )
x
当点 M (x , y) 沿曲线
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
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(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
x ( 1 x )
2
3 2
K
y (1 y )
2
3 2
1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
a
b
a x
三、 曲率圆与曲率半径(Curvature Circle and Radius)
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
y
D( , )
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
2 32
当 y 1 时 , 有曲率近似计算公式 K y
说明: x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程
K
x y x y (x y )
2 2
3 2
y y (t ) x 表示对参 数 t 的导数
时, 才不会产生过量磨损 ,
例5. 求摆线
的渐屈线方程 .
sin t y , 解: y x 1 cos t 代入曲率中心公式 , 得
y
d ( y ) dt
x
1 a (1 cos t ) 2
a (t sin t ) a (cos t 1)
思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ;
2. 求双曲线
凹向一致 ;
曲率相同.
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y 2 , y 3 , 则 x x 1
2
3 2
(1 y ) R y
(1
2
1) 2 x4
3
o
a ( sin ) a (1 cos )
( 仍为摆线 )
内容小结
2 2 d s (d x ) (d y ) 1. 弧长微分 ds 1 y dx 或 2
y d 2. 曲率公式 K 3 2 ds (1 y ) 2 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K 2 y (1 y ) x y 曲率中心 2 1 y y y
一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f ( x) B 弧长 s AM s( x) M s M M M M A y M x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x x b MM x x x 设
1 (1 R K y
2 32 y )
C
o
R
M ( x, y)
T
x
, 满足方程组
( x ) ( y ) R y x y
2
2
2
( M ( x , y ) 在曲率圆上 )
( DM MT )
由此可得曲率中心公式
2 y (1 y ) x y 1 y2 y y
基点 : A( x0 , y0 ),
A
M
o a x0 M ( x, y)为任意一点, 规定： （ 1 ）有向弧段 AM 的值s(简称弧s),
x
b
x
(2) 曲线的正向与 x 增大的方向一致 ;
当 AM 的方向与曲线正向一致时,
s取正号,
相反时, s取负号.
则
s s( x), 单调增函数
问题：如何求 s = s(x) 的导数或微分？
则弧长微分公式为 几何意义:
ds x 2 y 2 dt
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
M
T dy
二、曲率及其计算公式 (Curvature and Formula)
1、曲率的定义
曲率是描述曲线弯曲程度的量．
1
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
R
T
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
且
求曲线上点M 源自文库的 的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为
y
D( , )
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y) 2 x0 x
MM lim 1 x0 M M
2 2 或 ds (dx) (d y ) ds 1 ( y) dx 表示对参 x x(t ) x 若曲线由参数方程表示: y y (t ) 数 t 的导数 2
计算驻点处的函数值:
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2
t
0
2

b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
2 2
3 2
y
即曲率半径最小, 且为
o
x
(a sin t b cos t ) R ab
显然, 砂轮半径不超过 或有的地方磨不到的问题.
2
2
t 0