相关变化率曲率
微分几何中的曲面曲率计算方法
微分几何中的曲面曲率计算方法微分几何是研究曲线、曲面等几何对象的性质和变化规律的数学学科。
曲面曲率是微分几何中的一个重要概念，它描述了曲面在某一点上的弯曲程度。
本文将介绍微分几何中常用的曲面曲率计算方法。
一、曲面的法曲线和法向量在微分几何中，曲面的法曲线是指曲面上每一点的切线都包含在该点的曲面上。
曲面的法向量是指与曲面上一点的法曲线相切且与曲面垂直的向量。
曲面的法曲线和法向量在曲面曲率计算中起到了重要的作用。
二、第一曲率和第二曲率曲面的曲率可以通过计算第一曲率和第二曲率来得到。
第一曲率刻画了曲面在某一方向上的曲率变化率，而第二曲率刻画了曲面在法曲线方向上的曲率变化率。
曲面曲率的大小取决于第一曲率和第二曲率的数值。
三、高斯曲率和平均曲率高斯曲率是描述曲面弯曲程度的量，它等于第一曲率和第二曲率的乘积。
高斯曲率为正表示曲面是凸曲面，为负表示曲面是凹曲面。
平均曲率是第一曲率和第二曲率的平均值，它描述了曲面整体的曲率情况。
四、主曲率和主曲率方向曲面的主曲率是指曲面在法曲线方向和垂直于法曲线方向上的最大和最小曲率。
主曲率方向是指与最大和最小主曲率相对应的法曲线方向和垂直于法曲线方向。
五、曲面曲率计算方法1. 曲面曲率计算的一种方法是使用切向量和法向量进行计算。
通过求解曲面的法曲线和法向量，然后运用一些微积分和线性代数的方法，可以得到曲面的第一曲率、第二曲率、高斯曲率、平均曲率、主曲率和主曲率方向等。
2. 另一种常用的曲面曲率计算方法是使用曲面参数方程。
对于给定的曲面参数方程，可以通过求解方程的偏导数和二阶偏导数来计算曲面曲率。
这种方法相对简单直观，适用于特定形式的曲面。
六、应用举例：球面曲率计算以球面为例，球面的参数方程为：x(u,v) = r*sin(u)*cos(v)y(u,v) = r*sin(u)*sin(v)z(u,v) = r*cos(u)计算球面在某一点的曲率时，可以根据球面的参数方程求出切向量和法向量，进而计算出第一曲率、第二曲率、高斯曲率、平均曲率等。
高等数学名词(中英文对照)
高等数学名词(中英文)第一章函数与极限Chapter1 Function and Limit 集合set 元素element子集subset空集empty set并集union交集intersection 差集difference of set基本集basic set 补集complement set直积direct product笛卡儿积Cartesian product开区间open interval 闭区间closed interval 半开区间half open interval 有限区间finite interval区间的长度length of an interval无限区间infinite interval邻域neighborhood邻域的中心centre of a neighborhood 邻域的半径radius of a neighborhood 左邻域left neighborhood右邻域right neighborhood映射mappingX 到Y 的映射mapping of X onto Y 满射surjection单射injection一一映射one-to-one mapping双射bijection算子operator变化transformation函数function逆映射inverse mapping复合映射composite mapping自变量independent variable 因变量dependent variable定义域domain函数值value of function函数关系function relation值域range自然定义域natural domain单值函数single valued function多值函数multiple valued function单值分支one-valued branch函数图形graph of a function绝对值函数absolute value符号函数sigh function整数部分integral part阶梯曲线step curve当且仅当if and only if(iff)分段函数piecewise function上界upper bound下界lower bound有界boundedness无界unbounded函数的单调性monotonicity of a function 单调增加的increasing单调减少的decreasing单调函数monotone function函数的奇偶性parity(odevity) of a function 对称symmetry偶函数even function奇函数odd function函数的周期性periodicity of a function周期period反函数inverse function直接函数direct function复合函数composite function中间变量intermediate variable函数的运算operation of function基本初等函数basic elementary function初等函数elementary function幂函数power function指数函数exponential function对数函数logarithmic function三角函数trigonometric function反三角函数inverse trigonometric function 常数函数constant function双曲函数hyperbolic function双曲正弦hyperbolic sine双曲余弦hyperbolic cosine双曲正切hyperbolic tangent反双曲正弦inverse hyperbolic sine反双曲余弦inverse hyperbolic cosine反双曲正切inverse hyperbolic tangent极限limit数列sequence of number收敛convergence收敛于converge to发散divergent极限的唯一性uniqueness of limits收敛数列的有界性boundedness of a convergent sequence子列subsequence函数的极限limits of functions函数当x 趋于x0 时的极限limit of functions as x approaches x0左极限left limit右极限right limit单侧极限one-sided limits水平渐近线horizontal asymptote无穷小infinitesimal无穷大infinity铅直渐近线vertical asymptote夹逼准则squeeze rule单调数列monotonic sequence高阶无穷小infinitesimal of higher order 低阶无穷小infinitesimal of lower order 同阶无穷小infinitesimal of the same order 等阶无穷小equivalent infinitesimal 函数的连续性continuity of a function增量increment函数在x0 连续the function is continuous at x0左连续left continuous右连续right continuous区间上的连续函数continuous function函数在该区间上连续function is continuous on an interval不连续点discontinuity point第一类间断点discontinuity point of the first kind第二类间断点discontinuity point of the second kind初等函数的连续性continuity of the elementary functions定义区间defined interval最大值global maximum value (absolute maximum)最小值global minimum value (absolute minimum)零点定理the zero-point theorem介值定理intermediate value theorem第二章导数与微分Chapter2 Derivative and Differential速度velocity匀速运动uniform motion平均速度average velocity瞬时速度instantaneous velocity圆的切线tangent line of a circle切线tangent line切线的斜率slope of the tangent line位置函数position function导数derivative可导derivable函数的变化率问题problem of the change rate of a function导函数derived function左导数left-hand derivative右导数right-hand derivative单侧导数one-sided derivatives在闭区间[a, b] 上可导is derivable on the closed interval [a,b]切线方程tangent equation角速度angular velocity成本函数cost function边际成本marginal cost链式法则chain rule隐函数implicit function显函数explicit function二阶函数second derivative三阶导数third derivative高阶导数nth derivative莱布尼茨公式Leibniz formula对数求导法log- derivative参数方程parametric equation相关变化率correlative change rata微分differential可微的differentiable函数的微分differential of function自变量的微分differential of independent variable微商differential quotient间接测量误差indirect measurement error 绝对误差absolute error相对误差relative error第三章微分中值定理与导数的应用Chapter3 Mean Value Theorem ofDifferentials and the Application ofDerivatives罗马定理Rolle’s theorem费马引理Fermat’s lemma拉格朗日中值定理Lagrange’s mean value theorem驻点stationary point稳定点stable point 临界点critical point辅助函数auxiliary function拉格朗日中值公式Lagrange’s mean value formula柯西中值定理Cauchy’s mean value theorem 洛必达法则L’Hospital’s Rule0/0 型不定式indeterminate form of type 0/0 不定式indeterminate form泰勒中值定理Taylor’s mean value theorem 泰勒公式Taylor formula余项remainder term拉格朗日余项Lagrange remainder term麦克劳林公式Maclaurin’s formula佩亚诺公式Peano remainder term凹凸性concavity凹向上的concave upward, concave up凹向下的，向上凸的concave downward’ concave down拐点inflection point函数的极值extremum of function极大值local(relative) maximum最大值global(absolute) maximum极小值local(relative) minimum最小值global(absolute) minimum目标函数objective function曲率curvature弧微分arc differential平均曲率average curvature曲率园circle of curvature曲率中心center of curvature曲率半径radius of curvature渐屈线evolute渐伸线involute根的隔离isolation of root隔离区间isolation interval切线法tangent line method第四章不定积分Chapter4 Indefinite Integrals原函数primitive function(anti-derivative)积分号sign of integration被积函数integrand积分变量integral variable积分曲线integral curve积分表table of integrals换元积分法integration by substitution分部积分法integration by parts分部积分公式formula of integration by parts 有理函数rational function真分式proper fraction假分式improper fraction第五章定积分Chapter5 Definite Integrals曲边梯形trapezoid with曲边curve edge窄矩形narrow rectangle曲边梯形的面积area of trapezoid with curved edge积分下限lower limit of integral积分上限upper limit of integral积分区间integral interval分割partition积分和integral sum可积integrable矩形法rectangle method积分中值定理mean value theorem of integrals函数在区间上的平均值average value of a function on an intervals牛顿－莱布尼茨公式Newton-Leibniz formula微积分基本公式fundamental formula of calculus换元公式formula for integration by substitution递推公式recurrence formula反常积分improper integral 反常积分发散the improper integral is divergent反常积分收敛the improper integral is convergent无穷限的反常积分improper integral on an infinite interval无界函数的反常积分improper integral of unbounded functions绝对收敛absolutely convergent第六章定积分的应用Chapter6 Applications of the Definite Integrals元素法the element method面积元素element of area平面图形的面积area of a plane figure直角坐标又称“笛卡儿坐标(Cartesian coordinates)”极坐标polar coordinates抛物线parabola椭圆ellipse旋转体的面积volume of a solid of rotation 旋转椭球体ellipsoid of revolution, ellipsoid of rotation曲线的弧长arc length of a curve可求长的rectifiable光滑smooth功work水压力water pressure引力gravitation变力variable force第七章空间解析几何与向量代数Chapter7 Space Analytic Geometry and Vector Algebra向量vector自由向量free vector单位向量unit vector零向量zero vector相等equal平行parallel向量的线性运算linear poeration of vector三角法则triangle rule 平行四边形法则parallelogram rule 交换律commutative law结合律associative law负向量negative vector差difference分配律distributive law空间直角坐标系space rectangular coordinates坐标面coordinate plane卦限octant向量的模modulus of vector向量a 与b 的夹角angle between vector a and b方向余弦direction cosine方向角direction angle向量在轴上的投影projection of a vector onto an axis数量积，外积，叉积scalar product,dot product,inner product曲面方程equation for a surface球面sphere旋转曲面surface of revolution母线generating line轴axis 圆锥面cone 顶点vertex旋转单叶双曲面revolution hyperboloids of one sheet旋转双叶双曲面revolution hyperboloids of two sheets柱面cylindrical surface ,cylinder圆柱面cylindrical surface准线directrix抛物柱面parabolic cylinder二次曲面quadric surface 椭圆锥面dlliptic cone椭球面ellipsoid单叶双曲面hyperboloid of one sheet 双叶双曲面hyperboloid of two sheets 旋转椭球面ellipsoid of revolution 椭圆抛物面elliptic paraboloid 旋转抛物面paraboloid of revolution 双曲抛物面hyperbolic paraboloid 马鞍面saddle surface椭圆柱面elliptic cylinder 双曲柱面hyperbolic cylinder 抛物柱面parabolic cylinder 空间曲线spacecurve空间曲线的一般方程general form equations of a space curve空间曲线的参数方程parametric equations of a space curve螺转线spiral 螺矩pitch投影柱面projecting cylinder投影projection平面的点法式方程pointnorm form eqyation of a plane法向量normal vector平面的一般方程general form equation of a plane两平面的夹角angle between two planes点到平面的距离distance from a point to a plane空间直线的一般方程general equation of a line in space方向向量direction vector直线的点向式方程pointdirection form equations of a line方向数direction number直线的参数方程parametric equations of a line两直线的夹角angle between two lines垂直perpendicular直线与平面的夹角angle between a line and a planes平面束pencil of planes平面束的方程equation of a pencil of planes 行列式determinant系数行列式coefficient determinant第八章多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application一元函数function of one variable多元函数function of several variables内点interior point外点exterior point边界点frontier point,boundary point聚点point of accumulation开集openset闭集closed set 连通集connected set 开区域open region 闭区域closed region 有界集bounded set 无界集unbounded setn 维空间n-dimentional space二重极限double limit多元函数的连续性continuity of function of seveal连续函数continuous function不连续点discontinuity point 一致连续uniformly continuous 偏导数partial derivative对自变量x 的偏导数partial derivative with respect to independent variable x高阶偏导数partial derivative of higher order 二阶偏导数second order partial derivative 混合偏导数hybrid partial derivative 全微分total differential偏增量oartial increment偏微分partial differential 全增量total increment 可微分differentiable 必要条件necessary condition 充分条件sufficient condition叠加原理superpostition principle全导数total derivative中间变量intermediate variable 隐函数存在定理theorem of the existence of implicit function曲线的切向量tangent vector of a curve法平面normal plane向量方程vector equation 向量值函数vector-valued function 切平面tangent plane法线normal line方向导数directional derivative梯度gradient 数量场scalar field 梯度场gradient field 向量场vector field 势场potential field引力场gravitational field引力势gravitational potential曲面在一点的切平面tangent plane to a surface at a point曲线在一点的法线normal line to a surface at a point无条件极值unconditional extreme values 条件极值conditional extreme values 拉格朗日乘数法Lagrange multiplier method 拉格朗日乘子Lagrange multiplier 经验公式empirical formula最小二乘法method of least squares均方误差mean square error第九章重积分Chapter9 Multiple Integrals二重积分double integral可加性additivity累次积分iterated integral体积元素volume element三重积分triple integral直角坐标系中的体积元素volume element in rectangular coordinate system柱面坐标cylindrical coordinates柱面坐标系中的体积元素volume element in cylindrical coordinate system球面坐标spherical coordinates球面坐标系中的体积元素volume element in spherical coordinate system反常二重积分improper double integral曲面的面积area of a surface质心centre of mass静矩static moment密度density形心centroid转动惯量moment of inertia参变量parametric variable第十章曲线积分与曲面积分Chapter10 Line (Curve) Integrals andSurface Integrals对弧长的曲线积分line integrals with respect to arc hength第一类曲线积分line integrals of the first type对坐标的曲线积分line integrals with respect to x,y,and z第二类曲线积分line integrals of the second type有向曲线弧directed arc单连通区域simple connected region 复连通区域complex connected region 格林公式Green formula第一类曲面积分surface integrals of the first type对面的曲面积分surface integrals with respect to area 有向曲面directed surface对坐标的曲面积分surface integrals with respect to coordinate elements第二类曲面积分surface integrals of the second type有向曲面元element of directed surface高斯公式gauss formula 拉普拉斯算子Laplace operator 格林第一公式Green’s first formula 通量flux散度divergence 斯托克斯公式Stokes formula 环流量circulation旋度rotation,curl第十一章无穷级数Chapter11 Infinite Series一般项general term 部分和partial sum 余项remainder term等比级数geometric series几何级数geometric series公比common ratio 调和级数harmonic series柯西收敛准则Cauchy convergence criteria, Cauchy criteria for convergence 正项级数series of positive terms 达朗贝尔判别法D’Alembert test柯西判别法Cauchy test 交错级数alternating series 绝对收敛absolutely convergent条件收敛conditionally convergent柯西乘积Cauchy product 函数项级数series of functions 发散点point of divergence 收敛点pointof convergence 收敛域convergence domain 和函数sumfunction幂级数power series幂级数的系数coeffcients of power series阿贝尔定理Abel Theorem 收敛半径radius of convergence 收敛区间interval of convergence 泰勒级数Taylor series 麦克劳林级数Maclaurin series 二项展开式binomial expansion 近似计算approximate calculation舍入误差round-off error,rounding error 欧拉公式Euler’s formula 魏尔斯特拉丝判别法Weierstrass test 三角级数trigonometric series振幅amplitude角频率angular frequency初相initial phase矩形波square wave 谐波分析harmonic analysis 直流分量direct component 基波fundamental wave 二次谐波second harmonic三角函数系trigonometric function system 傅立叶系数Fourier coefficient 傅立叶级数Forrier series周期延拓periodic prolongation正弦级数sine series 余弦级数cosine series 奇延拓oddprolongation 偶延拓evenprolongation傅立叶级数的复数形式complex form of Fourier series第十二章微分方程Chapter12 Differential Equation 解微分方程solve a differential equation 常微分方程ordinary differential equation 偏微分方程partial differential equation,PDE 微分方程的阶order of a differential equation 微分方程的解solution of a differential equation 微分方程的通解general solution of a differential equation初始条件initial condition微分方程的特解particular solution of a differential equation初值问题initial value problem微分方程的积分曲线integral curve of a differential equation可分离变量的微分方程variable separable differential equation隐式解implicit solution 隐式通解inplicit general solution 衰变系数decay coefficient衰变decay齐次方程homogeneous equation 一阶线性方程linear differential equation of first order 非齐次non-homogeneous齐次线性方程homogeneous linear equation 非齐次线性方程non-homogeneous linear equation常数变易法method of variation of constant 暂态电流transient state current 稳态电流steady state current 伯努利方程Bernoulli equation 全微分方程total differential equation 积分因子integrating factor高阶微分方程differential equation of higher order悬链线catenary高阶线性微分方程linear differential equation of higher order 自由振动的微分方程differential equation of free vibration强迫振动的微分方程differential equation of forced oscillation串联电路的振荡方程oscillation equation of series circuit二阶线性微分方程second order lineardifferential equation线性相关linearly dependence线性无关linearly independence 二阶常系数齐次线性微分方程second order homogeneous linear differential equation with constant coefficient二阶变系数齐次线性微分方程second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient特征方程characteristic equation无阻尼自由振动的微分方程differential equation of free vibration with zero damping 固有频率natural frequency 简谐振动simple harmonic oscillation,simple harmonic vibration微分算子differential operator待定系数法method of undetermined coefficient共振现象resonance phenomenon欧拉方程Euler equation 幂级数解法power series solution 数值解法numerial solution 勒让德方程Legendre equation微分方程组system of differential equations 常系数线性微分方程组system of linear differential equations with constant coefficie。
§4.4 变化率与相关变化率
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
20-相关变化率、曲率解读
O
y d dx 2 1 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
此外, V 4 t , 故有
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
曲率及其计算公式
从而，有
a a a a a ．
K da ． ds
| y | K 2 3 2 ( 1 y )
| y | K 2 3 2 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． ( 1 y )
1 由 y ， 得 x 1 2 y ， y ． 2 3 x x 因此，y|x11，y|x12．
解
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
| y | 2 2 1 2 K ． 2 3 2 3 2 2 ( 1 y ) ( 1 ( 1 ) ) 2
| y | K 2 2 3 2 例2 抛物线yax bxc 上哪一点处的曲率最大？ ( 1 y )
(
(
D y | MM | | MM | y ， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | D x
ds 2 ． 1 y 因此 dx
ds 由于ss(x)是单调增加函数，从而 > 0 , dx
于是 ds 1 2 d 这就是弧微分公式． x ． y
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得
| y | |2 a| K 32 2 3 2 [ 1 (2 ax b )2] ( 1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x ． 而 x 对应的点为 2 a 2 a
(
ds 2 ． 1 y dx
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ，切线的转角为 D a ．
4-3 曲率 4-4 相关变化率
B A
x
二、曲率的计算公式
y
d lim 曲线在 A 点的曲率 k S0 S dS
B S A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弧微分
dy
y = f (x)
o
x
dS dx
dS
x
(dx )2 (dy )2
1 y 2 | dx |
x x
而 arctan y ，故 d
故雨滴半径的减小速率为 k. 半径
4 将水倒入，当液面高度为 h = 10 cm 时，求液面上升的速率．
dV 2 0 cm 3 / sec 【解】已知 dt dh 要求 d t h 10 1 1 V h2 h h3 3 3 dV dh 2 h dt dt dh dt
d dx 当 x = 5 (m) 时， 10( m / sec) dt dt 即 以 1 弧度 / 秒的速度递减．
x5
1( rad / sec)
【例2】球状雨滴在下落过程中，由于水分的不断蒸发而缩小． 已知水分蒸发速率正比于表面积，试求雨滴半径的变化率． 【解】设V 表示雨滴的体积，r 表示雨滴的半径，
由于R(x)可导，驻点唯一，且问题的最小值存在，
3 故R(x)在(0,+∞)上有最小值 R(1) 6. 5
第四节
相关变化率：
相关变化率
利用变量间的相互关系，从一个变量的变化率去推知 另一个与之相关变量的变化率．
dx 已知 y f ( x ), dt dy 已知 y f ( x ), dt
h 10
【例3】半顶角为
的圆锥形容器，以 20cm 3 / sec 的速率
曲率连续讲解
上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面上图是从侧面看G0—G4的区别，，绿色的线是过度面的轮廓线，最里侧是G0(一条直线)，最外侧是G4注意看平面和过度面的连接处G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续用这些术语描述曲面的连续性。
曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。
连续性类型：G0-位置连续图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。
图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。
这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。
因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。
如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。
图中的两组曲线属于曲率线续。
顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。
这通常是制作光滑表面的最低要求。
也是制作A级面的最低标准。
G3-曲率变化率连续图中的两组曲线的连续性属于曲率变化率连续。
这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
《高等学校工科基础课程教学基本要求》
《高等学校工科基础课程教学基本要求》一、前言数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学. 随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延. 现代数学内容更加丰富, 方法更加综合, 应用更加广泛. 数学不仅是一种工具, 而且是一种思维模式; 不仅是一种知识, 而且是一种素养; 不仅是一种科学, 而且是一种文化, 能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志. 数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用.高等学校工科类专业本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析、概率论与数理统计, 它们都是必修的重要基础理论课. 通过这些课程的学习, 应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能, 为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础. 在传授知识的同时, 要努力培养学生进行抽象思想和逻辑推理的理性思维能力, 综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力, 逐步培养学生的创新精神和创新能力.课程的教学基本要求, 是工科院校本科生学习本课程都应当达到的合格要求, 其中带*号的条目是为某些相关专业选用的, 也是对选用专业学生的基本要求. 各校根据本校的实际情况, 在达到基本要求的基础上, 还可以提出一些较高的或特殊的要求.各门课程的内容按教学要求的不同, 都分为两个层次. 文中用黑体字排印的内容, 应使学生深入领会和掌握, 并能熟练运用. 其中, 概念、理论用“理解”一词表述, 方法、运算用“掌握”一词表述. 非黑体字排印的内容, 也是必不可少的, 只是在教学要求上低于前者. 其中, 概念、理论用“了解”一词表述, 方法、运算用“会”或“了解”表述.基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据, 但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序.二、微积分课程教学基本要求(一) 函数、极限、连续1. 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解.2. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念.3. 会建立简单实际问题中的函数关系式.4. 理解极限的概念，了解极限ε-N，ε-δ定义(不要求学生做给出ε求N或δ)的习题.5. 掌握极限的有理运算法则, 会用变量代换求某些简单复合函数的极限.6. 了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性) 和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则) , 会用两个重要极限与求极限.7. 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念, 会用等价无穷小求极限.8. 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念.9. 了解函数间断点的概念, 会判别间断点的类型.10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理.(二) 一元函数微分学及其应用1. 理解导数的概念及其几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题) , 了解函数的可导性与连续性之间的关系.2. 了解导数作为函数变化率的实际意义, 会用导数表达科学技术中一些量的变化率.3. 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法, 掌握基本初等函数的导数公式.4. 理解解微分的概念, 了解微分概念中所包含的局部线性化思想, 了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性.5. 了解高阶导数的概念, 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式).6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数, 会解一些简单实际问题中的相关变化率问题.7. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理, 了解柯西(Cauchy)定理(对三个定理的分析证明不作要求, 并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧), 会用洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限.8. 了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求).9. 理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法. 会求解较简单的最大值与最小值的应用问题.10. 会用导数判断函数图形的凹凸性, 会求拐点, 会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线).11. 了解曲率和曲率半径的概念, 会计算曲率和曲率半径.12. 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想.(三) 一元函数积分法及其应用1. 理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求) , 了解定积分的性质和积分中值定理.2. 理解原函数与不定积分的概念, 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理, 掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式.3. 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练, 对于求有理函数积分的一般方法不作要求, 对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练).4. 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法), 会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式.5. 了解两类反常积分及其收敛性的概念.6. 了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法) 的思想.(四) 多元函数微分学及其应用1. 理解二元函数的概念, 了解多元函数的概念.2. 了解二元函数的极限与连续性的概念, 了解有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解二元函数偏导数与全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件与充分条件.4. 了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法.5. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法.6. 掌握复合函数一阶偏导数的求法, 会求复合函数的二阶偏导数(对于求抽象复合函数的二阶导数, 只要求作简单训练).7. 会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数) 的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求).8. 了解曲线的切线和法平面以及曲面的线平面与法线, 并会求出它们的方程.9. 理解二元函数极值与条件极限的概念, 会求二元函数的极值, 了解求条件极值的拉格朗日乘数法, 会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题.(五) 多元函数微积分学的应用1. 理解二重积分的概念, 了解三重积分的概念, 了解重积分的性质.2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) , 会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标、*球面坐标).3. 理解两类曲线积分的概念, 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系, 会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只作简单训练).4. 掌握格林(Green) 公式, 会使用平面线积分与路径无关的条件, 了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义.5. 了解两类曲面积分的概念及其计算方法.6. 了解高斯(Gauss) 公式, 斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求).*7. 了解场的基本概念, 了解散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场和调和场) , 会计算散度与旋度.8. 了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法) , 会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式.(六) 无穷级数1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念, 了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性, 掌握正项级数批值审敛法.3. 了解交错级数的莱布尼兹定理, 会估计交错级数的截断误差. 了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念, 掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求). 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单训练).5. 会利用，sin x, cos x, ln(1+x)与的马克劳林(Maclaurin) 展开式将一些简单的函数展开成幂级数.6. 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想.7. 了解用三角函数逼近周期函数的思想, 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirich let)条件, 会将定义在(-π,π) 和(-l, l)上的函数展开为傅里叶级数, 会将定义在(0, l)上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数.（七）常微分方程1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念.2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法.3. 会解齐次方程, 并从中领会用变量代换求解微分方程的思想.4. 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程: ，，.5. 理解二阶线性微分方程解的结构.6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法, 了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法.7. 会求自由项形如，的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解, 其中为实系数n次多项式, α,β,A，B为实数.8. 会会通过建立微分方程模型, 解决一些简单的实际问题.三、线性代数与空间解析几何课程教学基本要求说明：在此次修订中, 考虑到线性代数与空间解析几何的内在联系, 我们将线性代数与空间解析几何作为一门课程, 但基本要求的具体内容还是相对独立的, 并且不要求所有学校都遵循这一模式. 将空间解析几何与线性代数分开授课的学校可根据基本要求中的空间解析几何部分的要求(即几何向量和空间曲线与曲面两章) 进行教学.(一) 行列式1. 了解行列式的定义.2. 掌握行列式的性质和行列式按行(列)展开的方法.3. 会计算简单的n阶行列式.(二) 矩阵1. 理解矩阵的概念.2. 了解单位矩阵, 数量矩阵、对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质.3. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则.4. 理解逆矩阵的概念. 掌握矩阵可逆的充要条件, 掌握可逆矩阵的性质.5. 掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法.6. 了解矩阵等价的概念.7. 理解矩阵秩的概念并掌握其求法.(三) 几何向量1. 理解空间直角坐标系, 理解向量的概念及其表示.2. 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积), 了解两个向量垂直、平行的条件3. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法.4. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法, 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题.(四) n维向量与向量空间1. 理解n维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 了解n维向量空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念.*6. 了解基变换公式和坐标变换公式, 会求过渡矩阵.7. 了解内积的概念, 会用施密特(Schmidt)方法将线性无关的向量组标准正交化.8. 了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质.9. 了解线性变换的概念及其矩阵表示.(五) 线性方程组1. 了解克莱姆(Cramer)法则.2. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件.3. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.5. 掌握用行初等变换求线性方程组的通解的方法.(六) 矩阵的特征值与特征向量1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念, 会求矩阵的特征值与特征向量.2. 了解相似矩阵的概念和性质.3. 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法.4. 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵(七) 实二次型1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型的秩的概念.2. 了解合同变换和合同矩阵的概念.3. 了解实二次型的标准形式及其求法.4. 了解惯性定理(对定理的证明不作要求) 和实二次型的规范形.5. 了解正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法.(八) 空间曲线与曲面1. 理解二次曲面方程的概念, 了解空间曲线方程的概念.2. 了解常用二次曲面的方程及其图形, 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.3. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.4. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影.*5. 了解二次曲面的分类.四、概率论与数理统计课程教学基本要求(一) 随机事件与概率1. 了解随机现象, 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件之间的关系与运算.2. 了解事件频率的概念, 理解概率的统计定义. 了解概率的古典定义, 会计算简单的古典概率3. 理解概率的公理化定义和概率的基本性质, 了解概率加法定理.4. 了解条件概率的概念、概率的乘法定理. 了解全概率公式, 会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题.5. 理解事件的独立性概念.6. 了解贝努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法.(二) 随机变量及其分布1. 理解随机变量的概念, 了解分布函数的概念和性质, 会计算与随机变量相联系的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其分布律的概念, 掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布.3. 理解解连续型随机变量及其密度函数的概念, 掌握正态分布, 了解均匀分布和指数分布.4. 会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布.(三) 多维随机变量及其分布1. 了解多维随机变量的概念, 了解二维随机变量的联合分布函数.2. 了解二维离散型随机变量的联合分布律的概念, 理解二维连续型随机变量的联合密度函数的概念.3. 理解二维随机变量的边缘分布.4. 理解随机变量的独立性概念.5. 会求两个独立随机变量简单函数的分布(和、差、商、极大、极小).(四) 随机变量的数字特征1. 理解随机变量数学期望与方差的概念, 掌握它们的性质与计算方法.2. 了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望与方差.3. 了解矩、协方差、相关系数的概念及其性质, 并会计算.(五) 大数定律和中心极限定理1. 了解切比雪夫(Чебышёв) 不等式、切比雪夫大数定律和贝努利大数定律, 了解贝努利大数定律与概率的统计定义、参数估计之间的关系.*2. 了解独立同分布的中心极限定理和棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理.*3. 了解棣莫弗(De moiver)-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理在实际问题中的应用.(六) 数理统计的基本概念1. 理解总体、个体、样本和统计量的概念.2. 了解直方图的作法.3. 理解样本均值、样本方差的概念, 掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法.4. 了解χ2分布，t分布，F分布的定义, 并会查表计算分位数.5. 了解正态总体的某些常用抽样分布, 如正态总体样本产生的标准正态分布χ2分布，t分布，F分布等.(七) 参数估计1. 理解点估计的概念, 了解矩估计法与极大似然估计法.2. 了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准.3. 理解区间估计的概念, 会求单个正态总体均值与方差的置信区间, 会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间.(八) 假设检验1. 理解假设检验的基本思想, 掌握假设检验的基本步骤, 了解假设检验可能产生的两类错误.2. 了解单个和两个正态总体均值与方差的假设检验.3. 了解总体分布假设的χ2检验法, 会应用该方法进行分布拟合优度检验.五、建议1. 在课程的教学过程中, 应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革, 认真总结经验, 并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来, 不断提高教学质量。
轨检车、动检车检测名词解释
轨检车、动检车检测名词解释轨检车、动检车检测名词解释第⼀部分京⼴线轨检车概述我讲的第⼆部分内容为轨检车检测基本知识。
我根据检测数据的不同，分别以轨道⼏何尺⼨检测和动⼒学指标检测分类进⾏讲解。
⼀、动⼒学检测标准在动检综合车检测提供的7个报告中，第⼀个报告为综合检测车轨道⼏何状态检测报表、第⼆个报告为综合检测车动⼒学检测报表。
这两个报表是考核我们的主要技术指标。
我针对动⼒学检测报表中的⼀些专业术语进⾏⼀下分解。
列车脱轨是影响⾏车安全的重要因素。
在分析脱轨事故时往往会遇到下述情况：列车经过很长线路的运⾏均未脱轨，⽽恰在某处线路脱轨，说明该线路可能有问题。
但时该处线路通过了许多列车均未发⽣脱轨事故，唯独该趟列车脱轨，⼜可能说明该趟列车有问题。
上述事实说明，列车脱轨事故的产⽣是影响脱轨的各种不利因素综合作⽤的结果。
同时也表明，某⼀⾏业设备的完善与⼯作的改进，会补偿其它⾏业设备的不⾜和⼯作的缺陷，避免脱轨事故的发⽣。
绝⼤多数列车脱轨事故抣由车辆脱轨引起，因此，在进⾏列车脱轨分析时，将集中研究车辆的受⼒情况、脱轨原因和机理，以及应采取的预防措施。
动检综合车所进⾏的动⼒学检测指标，主要是围绕此⼯作⽽开展的⼯作。
(⼀）脱轨系数（Q/P）轨道随着垂直、横向和纵向三个⽅⾯的荷载。
纵向荷载主要由温度⼒、列车牵引⼒与制动⼒组成。
1、垂向轮轨作⽤⼒主要由下述两个部分组成。
⑴垂直动⼒荷载。
在进⾏脱轨分析时，轨道上承受的垂直动⼒荷载应只考虑速度的影响，通常按下式计算垂向动荷载P d =Pj(1+α)Pd-动轮载Pj－静轮载α－速度系数。
各国速度系数者根据⼤量试验资料与运营经验确定的。
⑵偏载。
列车在运⾏时各种因素引起的偏载。
曲线上未被平衡的过超⾼、⽋超⾼，货物装载偏⼼引起的轨道偏载。
2、轨道承受的横向作⽤⼒Q纳达奥（Nadal）于1908提出的“单个车轮的最⼤横向⼒Q与垂直⼒P的⽐值Q/P作为衡量车轮轮缘爬轨引起脱轨的程度”论点，纳达奥（Nadal）⽅程是由轮轨接触点上⼒平衡关系推导出来的。
导数与函数的曲率关系解析与归纳
导数与函数的曲率关系解析与归纳在微积分中，导数和曲率是两个重要的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，而曲率则度量了函数轨迹的弯曲程度。
本文将深入探讨导数与函数曲率之间的关系，并进行详细的解析和归纳。
一、导数的定义与计算方法导数在微积分中有多种定义方式，常用的是函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在该点的导数记为f'(a)，计算公式为：f'(a) = lim[(f(x) - f(a))/(x - a)] (x->a)根据导数的定义，我们可以使用极限的方法来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用幂函数的导数公式以及极限的性质来计算导数。
二、导数与函数的曲率关系在函数曲线上的每一点，曲线都有一个特定的曲率。
而导数描述了函数在某一点的变化率。
这两者之间其实存在一定的联系。
1. 导数与曲线的斜率导数f'(x)可以被看作函数f(x)在该点的斜率。
斜率表示的是函数曲线上某一点处的切线的斜率，也是函数在该点的变化率。
切线的斜率可以用导数来求解，通过求导函数在某一点的值得到。
2. 曲率与二阶导数曲率描述了曲线弯曲的程度，可以通过函数的二阶导数来计算。
二阶导数f''(x)表示函数f(x)的导数f'(x)的导数，即函数f(x)的变化率的变化率。
对于曲线上的每一点，曲率都可以通过计算二阶导数来获得。
三、函数曲率的计算方法曲率的计算方式与导数有关，我们可以利用导数来计算曲率。
设函数f(x)在点x=a处具有二阶导数f''(a)，则函数曲率k在该点的计算公式为：k = |f''(a)| / (1 + (f'(a))^2)^(3/2)曲率的计算公式涉及到函数的一阶导数和二阶导数，可以通过求导数和二阶导数来计算曲率。
四、常见函数的曲率特性不同类型的函数具有不同的曲率特性。
曲率及其曲率半径的计算课件
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
20-相关变化率、曲率
证
设曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的
曲率半径为 R , 曲率中心为 D( , ) , 则
曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的曲率圆方程为
(x ) ( y ) R
2 2
2
其中 , 点 ( x, y) 是曲率圆上的点 . 2 3 ) 1 ( 1 y 2 由于 R 2 k y2
x 2 y 2 52 . (1)
注意到速度的方向性 , 我们的问题是
求 x, y 的值 , 使
y
dy dt
5m
dy 3 (m/ 秒) . (2) dt
2 2 2
y
O
dx dt
x
对 x y 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y
7 2 125 ( x 4) ( y ) 2 4
2
库存问题 假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀 进货且不允许缺货的进货模型. 设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进 货的批量为q= R n ,进货周期为t= T n ,再设每件物品 贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2, 在计划期(T天)内总费用 E由两部分组成
如果用 y 2 x , 会出现导数的分母
2 2
解
y 的图形 为零的情形 , 但 y 4 x 与 x 4 2 2 y x 与 y 的 图形形状 相同 , 而 x 4 4 2 x 相同 , 故原问题可以转为求曲线 y 在 4 点 (0, 0) 处的曲率 .
曲率及其计算公式
§ 3． 9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | |y K 0 . 2 32 ) ( 1 y x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
解
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
| y | 2 2 1 2 K ． 2 3 2 3 2 2 ( 1 y ) ( 1 ( 1 ) ) 2
| y | K 2 2 3 2 例2 抛物线yax bxc 上哪一点处的曲率最大？ ( 1 y )
曲率的概念及计算公式
曲率的概念及计算公式
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曲率的概念及计算公式
概念
来源：为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。
其中
表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。
计算公式的推导：
由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分。
因为，所以。
令，同时用代替得
所以或
具体表示；
1、时，
2、时，
3、时，<令）
再推导，因为，所以，两边对x求导，得
，推出。
下面将与ds代入公式中：
，即为曲率的计算公式。
曲率半径：
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义为在该点做曲线的法线<在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。
曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
b5E2RGbCAP
申明：
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相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用1. 引言相关变化率问题是数学中一个重要而复杂的概念，涉及到微积分和函数的导数。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的相关变化率问题，比如物体的速度、加速度、成本的边际变化等等。
掌握相关变化率问题的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将从基础概念入手，逐步展开相关变化率问题的求解方法及应用。
2. 相关变化率问题的基本概念相关变化率问题涉及到两个变量之间的关系，通常表现为一个变量随着另一个变量的变化而变化。
一个物体的位移随着时间的变化而变化，这就涉及到了速度的概念。
相关变化率的求解方法是通过求取两个变量的导数来得到它们之间的关系。
在数学中，相关变化率通常通过函数的导数来呈现，这需要我们熟练掌握导数的求解方法。
3. 相关变化率问题的求解方法相关变化率问题的求解方法主要涉及到求取函数的导数。
对于给定的函数，我们首先需要求取它关于自变量的导数，然后根据具体问题中的变量关系，进一步求取相关变化率。
常见的求导方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等，我们需要根据具体的函数形式和问题需求，灵活运用这些求导法则。
另外，对于一些复杂的函数，我们还需要运用链式法则、乘积法则、商法则等高阶导数的求法则来求取相关变化率。
4. 相关变化率问题的应用相关变化率问题的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生物、工程等各个领域。
在物理学中，我们可以用相关变化率来求取物体的速度、加速度、力的功率等等，进而解决各种运动问题。
在经济学中，相关变化率可以被用来求取成本的边际变化率、收益的边际变化率，帮助企业制定最优的生产和经营策略。
在生物学和工程学中，相关变化率可以帮助我们理解各种生物体的生长规律，以及设计各种工程结构和装置。
5. 个人观点和总结相关变化率问题是微积分中一个非常有意义和应用价值的内容，掌握相关变化率的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
通过学习和熟练运用相关变化率的求解方法，我们可以更好地理解和应用微积分知识，解决我们在生活和工作中遇到的各种问题。
高等数学专业英语名词
高等数学术语英语翻译V、X、Z:Value of function：函数值Vector：函数值Volume：体积X-axis：x轴x-coordinate：x坐标x-intercept：x截距Zero vector：函数的零点T:Tangent function：正切函数Tangent line：切线Total differential：全微分Trigonometric function：三角函数Tripe integrals：三重积分S:Second derivative：二阶导数Second partial derivative：二阶偏导数Sequence：数列Set：集合Slope：斜率Smooth curve：平滑曲线Smooth surface：平滑曲面Solid of revolution：旋转体Space：空间Speed：速率Spherical coordinates：球面坐标Sum：和Surface：曲面Surface integral：面积分Surface of revolution：旋转曲面Symmetry：对称Sine function：正弦函数Slant asymptote：斜渐近线R:Range of a function：函数的值域Rate of change：变化率Rational function：有理函数Rational number：有理数Real number：实数Rectangular coordinates：直角坐标Revolution,solid of：旋转体Revolution,surface of：旋转曲面Root：根P、Q:Parabola：拋物线Parabolic cylinder：抛物柱面Paraboloid：抛物面Parallelepiped：平行六面体Parallel lines：并行线Parameter：参数Partial derivative：偏导数Partial differential equation：偏微分方程Partial fractions：部分分式Partial integration：部分积分Partiton：分割Period：周期Periodic function：周期函数Perpendicular lines：垂直线Plane：平面Polar coordinate：极坐标Pole：极点Polynomial：多项式Positive angle：正角Power function：幂函数Product：积M、N、O:Maximum and minimum values：极大与极小值Multiple integrals：重积分Natural num ber：自然数Normal line：法线Number：数Odd function：奇函数One-sided li mit：单边极限Open interval：开区间Ordinary differential equation：常微分方程Orthogonal：正交的Origin：原点L:Law of Cosines：余弦定理Left-hand derivative：左导数Left-hand limit：左极限Length：长度Limit：极限Linear approximation：线性近似Linear equation：线性方程式Linear function：线性函数Linearity：线性Logarithm：对数Logarithmic function：对数函数I:Implicit function：隐函数Increment：增量Indefinite integral：不定积分Independent variable：自变数Indeterminate from：不定型Inequality：不等式Infinite point：无穷极限Infinite series：无穷级数Integer：整数Integral：积分Integrand：被积分式Integration：积分Intercepts：截距Interval：区间Inverse function：反函数Inverse trigonometric function：反三角函数Iterated integral：逐次积分Intermediate value of Theorem：中间值定理H:Higher mathematics高等数学/高数E、F、G、H:Ellipse：椭圆Ellipsoid：椭圆体Equation：方程式Even function：偶函数Expected Valued：期望值Exponential Function：指数函数Extreme value：极值Focus：焦点Fractions：分式Function：函数Gradient：梯度Graph：图形Higher Derivative：高阶导数Horizontal asymptote：水平渐近线Horizontal line：水平线Hyperbola：双曲线Hyper boloid：双曲面D:Decreasing function：递减函数Decreasing sequence：递减数列Definite integral：定积分Density：密度Derivative：导数higher：高阶导数partial：偏导数Determinant：行列式Differentiable function：可导函数Differential：微分Differential equation：微分方程partial：偏微分方程Differentiation：求导法implicit：隐求导法partial：偏微分法Discontinuity：不连续性Distance：距离Divergence：发散Domain：定义域Double integral：二重积分C:Calculus：微积分differential：微分学integral：积分学Circle：圆Circular cylinder：圆柱Closed interval：封闭区间Coefficient：系数Cone：圆锥Constant function：常数函数Constant of integration：积分常数Continuity：连续性Continuous function：连续函数Convergence：收敛Convergent sequence：收敛数列Coordinate：s：坐标polar：极坐标rectangular：直角坐标spherical：球面坐标Coordinate axes：坐标轴Cosine function：余弦函数Critical point：临界点Cubic function：三次函数Curve：曲线Cylinder：圆柱A、B:Absolute convergence：绝对收敛Absolute extreme values：绝对极值Absolute maximum and minimum：绝对极大与极小Absolute value：绝对值Absolute value function：绝对值函数Acceleration：加速度Antiderivative：反导Arbitrary constant：任意常数Arc length：弧长Area：面积Asymptote：渐近线horizontal：水平渐近线slant：斜渐近线vertical：垂直渐近线Average speed：平均速率Average velocity：平均速度微积分词汇第一章函数与极限Chapter1Function and Limit集合set元素element子集subset空集empty set并集union交集intersection 差集difference of set基本集basic set补集complement set直积direct product开区间open interval闭区间closed interval映射mapping一一映射one-to-one mapping变化transformation函数function自变量independent variable因变量dependent variable函数关系function relation值域range函数图形graph of a function绝对值函数absolute value符号函数sigh function整数部分integral part分段函数piecewise function函数的单调性monotonicity of a function单调增加的increasing单调减少的decreasing单调函数monotone function对称symmetry偶函数even function奇函数odd function周期period反函数inverse function直接函数direct function复合函数composite function中间变量intermediate variable函数的运算operation of function基本初等函数basic elementary function初等函数elementary function幂函数power function指数函数exponential function对数函数logarithmic function三角函数trigonometric function反三角函数inversetrigonometric function常数函数constant function极限limit数列sequence of number 收敛convergence发散divergent子列subsequence函数的极限limits of functions左极限left limit右极限right limit单侧极限one-sided limits无穷小infinitesimal无穷大infinity单调数列monotonic sequence高阶无穷小infinitesimal of higher order 低阶无穷小infinitesimal of lower order同阶无穷小infinitesimal of the same order2高等数学-翻译等阶无穷小equivalent infinitesimal函数的连续性continuity of a function增量increment不连续点discontinuity point第一类间断点discontinuity point of the first kind第二类间断点discontinuity point of the second kind定义区间defined interval最大值global maximum value(absolute maximum)最小值global minimum value (absolute minimum)零点定理the zero point theorem介值定理intermediate value theorem 第二章导数与微分Chapter2Derivative and Differential匀速运动uniform motion平均速度average velocity瞬时速度instantaneous velocity圆的切线tangent line of a circle切线tangent line切线的斜率slope of the tangent line 位置函数position function导数derivative可导derivable导函数derived function切线方程tangent equation隐函数implicit function显函数explicit function高阶导数nth derivative相关变化率correlative change rata微分differential可微的differentiable函数的微分differential of function自变量的微分differential of independent variable绝对误差absolute error相对误差relative error第三章微分中值定理与导数的应用Chapter3MeanValue Theorem of Differentials and the Application of Derivatives临界点critical point辅助函数auxiliary function不定式indeterminate form泰勒公式Taylor formula余项remainder term拐点inflection point函数的极值extremum of function极大值local(relative)maximum极小值local(relative)minimum曲率curvature平均曲率average curvature曲率中心center of curvature第四章不定积分Chapter4Indefinite Integrals原函数primitive function(antiderivative)积分号sign of integration被积函数integrand积分变量integral variable积分曲线integral curve积分表table of integrals换元积分法integration by substitution分部积分法integration by parts分部积分公式formula of integration by parts有理函数rational function第五章定积分Chapter5Definite Integrals曲边梯形trapezoid with曲边curve edge积分下限lower limit of integral积分上限upper limit of integral积分区间integral interval分割partition积分和integral sum可积integrable反常积分improper integral第六章定积分的应用面积元素element of area极坐标polar coordinates抛物线parabola椭圆ellipse旋转体的面积volume of a solid of rotation曲线的弧长arc length of acurve光滑smooth功work水压力water pressure引力gravitation变力variable force第七章空间解析几何与向量代数Chapter7Space Analytic Geometry and Vector Algebra相等equal平行parallel三角法则triangle rule平行四边形法则parallelogram rule交换律commutative law结合律associative law差difference分配律distributive law球面sphere轴axis顶点vertex抛物柱面parabolic cylinder二次曲面quadric surface椭圆锥面dlliptic cone椭球面ellipsoid椭圆柱面elliptic cylinder双曲柱面hyperbolic cylinder抛物柱面parabolic cylinder空间曲线space curve投影projection垂直perpendicular第八章多元函数微分法及其应用Chapter8Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application一元函数function of one variable多元函数function of several variables边界点frontier point,boundary point开集openset闭集closed set有界集bounded set 无界集unbounded set二重极限double limit连续函数continuous function不连续点discontinuity point偏导数partial derivative高阶偏导数partial derivative of higher order二阶偏导数second order partial derivative全微分total differential偏增量oartial increment偏微分partial differential全增量total increment可微分differentiable必要条件necessary condition充分条件sufficient condition全导数total derivative法线normal line梯度gradient 无条件极值unconditional extreme values条件极值conditional extreme values最小二乘法method of least squares第九章重积分Chapter9Multiple Integrals二重积分double integral可加性additivity三重积分triple integral反常二重积分improper double integral曲面的面积area of a surface质心centre of mass密度density第十二章微分方程Chapter12Differential Equation常微分方程ordinary differential equation偏微分方程partial differential equation,PDE初始条件initial condition衰变decay齐次方程homogeneous equation一阶线性方程linear differential equation of first order非齐次non-homogeneous齐次线性方程homogeneous linear equation非齐次线性方程non-homogeneous linear equation全微分方程total differential equation高阶微分方程differential equation of higher order二阶线性微分方程second order linera differential equation线性相关linearly dependence 线性无关linearly independce variable coefficient微分方程组system of differential equations。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim Dx0 Dx Dx 0 | MM | M M | MM | ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
C M Ds Da a+Da x
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解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
参数方程下曲率的计算公式
x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )
d y y( ) , d x x( )
d 2 y y( ) x( ) y( ) x( ) 2 3 dx ( x ( ))
dy d y 和 : 利用参数方程求导法求出 2 dx dx dy dx b cos , a sin , d d
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
O
长度为 5 米的梯子的下端以 3 m/秒 的速度离开墙脚滑动 . 问何时梯子上下两端滑 动的 速度大小相同？
dy dt
5m
dx dt
x
x
解 引入坐标系如图所示 .
设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) . 显然, x, y 均为 t 的函数 , 且有
dx 3 (m/秒) , dt
解
M
曲率的计算公式
设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
y k 2 3 (1 y ) 2
证
y
y f ( x)
如图所示 , 曲线在
M
M
ห้องสมุดไป่ตู้
点 M 处切线的斜率为 y tan
故
arctan y
O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
x 2 y 2 52 . (1)
注意到速度的方向性 , 我们的问题是
求 x, y 的值 , 使
y
dy dt
5m
dy 3 (m/ 秒) . (2) dt
2 2 2
y
O
dx dt
x
对 x y 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学 （一 ）
—— 一元微积分学
第二十讲 一元微积分的应用
—— 相关变化率、曲率、经济应用
一、 相关变化率 .
在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量
之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的
函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.
曲率的概念
y
设 y f ( x) C 1.
y f ( x)
M
点 M 沿曲线运动到点
M 时 , 相应地切线转
过角度 (称为转角),
M
O
弧的改变量为s . 称
k s
x
单位弧长上的转角
为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .
︵
d k lim k lim s 0 s 0 s ds
称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .
又是平均值 极限的方法 .
例4
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
将它们代入曲率计算公式中即可得：
| y( ) x( ) y( ) x( ) | k 2 2 3 [( x( )) ( y( ) )]2
椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,
例6 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
而 x 2 y 2 52 , 故 x y 5 5 2 . 2 2
x
5 2 即当 x y 时, 梯子上下端滑动速度大 小相同. 2
二、曲率
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
此外, V 4 t , 故有
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y