群论第2章

群的同构和同态关系表明：由不同元素（对象） 和组合规律所构成的群之间存在着密切甚至等价的 关系，如果分子群G和一个矩阵M同构或同态，那么 称这些矩阵群M是分子群G的一个表示。
√
• 循环群：由一个元素X及其全部h个幂组成的集合， 其中Xh＝E， h阶循环群。 循环群的特点：都是阿贝尔群 G3是3阶循环群
问题：四阶群有几种？其乘法表如何？
①四阶循环群G4
(1)：
(1) G4
E
A
B
C
X=A,X2=B,X3=C,X4=E
其中：B-1=B， A-1=C ②存在G4(2)，
(2) G4
二. 群表（乘法表）
用来表示有限群中任意两个元素乘积关系的表
1. 群表的做法
① h阶群的群表由h行和h列群元素组成，并以相同顺序 的群元素来表明。
1 1 ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ
1 1 ｉ ｉ
② 由于乘法一般不满足交换律，因此规定： 乘法表中元素是按(列元素)×(行元素)的顺序相乘 的结果。 ③ 将所有两两元素的乘积填在对应的位置上，就 完成了群表的建立。
群条件
① 封闭性:
群中任意两个元素的乘积仍然是群中的一个元素。
如果A∈G，B∈G , 则 AB∈G, AA=A2 ∈G, B2 ∈G ② 结合律： 群元素的乘法满足结合律，不一定满足交换律。
ABC=A(BC)=(AB)C
若 AB=BA，
AB≠BA
则群为阿贝尔群（对易群）
③单位元素E: 群中必有单位元素(恒等元素) 存在。 单位元素与其它元素相乘可以交换顺序，且等于 元素本身。 若A∈G ， ④逆元素： 群中每个元素必有自己的逆元素。 若A∈G，必有A-1∈G， 则 EA=AE=A
C3v E C3 C32 v E E C3 C32 v C3 C3 C32 E v” C32 C32 E C3 v’
C3V群表：
• 利用C3V群表将C3V分子群的六个元素进行分类
v v’ v” v v’ v” v’ v” v C32 C32 E C3 v” v v’ X-1EX=X-1XE=E 2 ” ’ E C C3 v v v v 3 => 恒等元素不与其它元素共轭， v’ v’ v v” C3 E C32 在任何群中自成一类，{ E } 。 v” v” v’ v C32 C3 E
1 1 1 1 1
ｉ ｉ ｉ ｉ
1 1 1 ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ ｉ 1 1
2. 群表的说明
①每个有限群都可以给出一 个乘法表， ②乘法表体现了群的四个性 质，可以从中了解群结构
1 1 1 1 1
ｉ ｉ ｉ ｉ
1 1 1 ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ ｉ 1 1
例：C3V分子群的分类
• 分子群：群元素为对称操作，对称操作的乘 法是先右后左。
v v’ v” v v’ v” v’ v” v v” v v’ E C32 C3 v’ v’ v v” C3 E C32 v” v” v’ v C32 C3 E
2
}
v v’ v” v v’ v” v’ v” v v” v v’ 共轭成为一类 => {σ ，σ’， σ’’ } v v v” v’ E C32 C3 v’ v’ v v” C3 E C32 v” v” v’ v C32 C3 E
二阶群：
E A E A A E
E E A B A A B B
三阶群：
• 若AA＝E，
则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
G3 E A B
G3 E A B
E A B E A B A ? B
E E A B A A B E B B E A
x
• 当AA＝B，
满足重排原理，元素符合 群条件，其中 AA＝B, AB=AAA=E
↙左转， ↘右转， 后转 四个操练动作 立正，
形成操练群 G { ， ↙， ↘， }
乘法：两个动作连续作用
↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↙ ↘ ↘ ↘ ↙ ↘ ↙
2.3 子群
1. 若群H的元素包含于另一个群G中，即H G，且H是与G在同样的 组合规律下形成的群，则H群是群G的子群。
C3v ③ 求σ的共轭元素， E …. C3 通过相似变换可得σ σ’和 σ’’彼此 C32 E E C3 C32 C3 C3 C32 E C32 C32 E C3
结论：
① 恒等元素在任何群中自成一类。 ② 在群的各类中不会有相同的元素出现。
③ 类和子群一样，都是群部分元素的集合，但子群是
大群中的小群，满足群的四个条件，而类一般不含恒等 元素，因而类本身不是群。
第二章 群的基本概念
2.1 群的定义
由无限或有限个元素 E, A , B, C …，按某种规 律组成的集合，满足群的四个条件，则形成一 个群。 表示为 G{E,A,B,C… }
ⅰ:元素——矩阵，数，对称操作，… ⅱ:元素的组合规律——乘法 （代数加、减、乘、除，矩阵乘法,对称操作的 乘积（连续操作），…） 有限群 ⅲ:群元素的数目—— 群的阶(h) 无限群
E E C3 C32
C3 C3 C32
C32 C32 E
v v v’ v’ v v” C3 v” v” v’ v C32
E C3 v” v’ E
v v v’ v”
v’ v’ v” v
C32 E C3
v” v” v v’
则：
E A B C
E A B C A B C E B C E A C E A B
设： A-1=A, B-1=B, 则 C-1=C
E A B C
(2) G4
E
A
B
C
E A B C
E A B C A E B E C E
E A B C
E A B C A E C B B C E A C B A E
练习：做出下列有限群的乘法表
并有 AA-1=A-1A=E • 群G的单位元素是唯一的； • 若 A∈G，则G中A的逆元A-1是唯一； • E的逆元是其本身.
2.2 群的例子 群表
一. 群的例子
①全体整数对数的加法构成群。（无限群） G{…-n…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…n…}
群元素？ 乘法（组合规律）？群条件？
封闭性：任意整数相加必然还是整数 结合律：(1+2)+(3+4)=1+(2+3)+4＝10 单位元素： E=0 ， n+0＝0+n＝n 逆元素： n-1＝-n， n+(-n)=(-n)+n=0
推论：在群的各类中不会有相同的元素出现。
三、 群元素的分类方法
运用相似变换（ Z=X-1YX ）寻找共轭元素，从而 将群元素分类。 具体的做法： 先从一个元素开始，做出群中所有元素（包括其 自身）对它的相似变换，找出共轭元素组成一类； 再取其余元素中的一个进行相似变换，找出共轭 元素组成一类； 如此，直到群中所有元素均纳入某一类为止。
C3v ① 先找E共轭元 E 设X∈C3v ，是群中任一元素，则：C 3 E E C3 C3 C3 C32 C32 C32 E
② 在余下元素中找C3的共轭元
(利用乘法表求6个群元素对其进行相似变换的结果) E-1C3E=C3 C3-1C3C3= C32C3C3 =C3 C32(-1)C3C32= C3C3C32 =C3 σ-1C3σ= σC3σ = σσ’’ = C32 Σ’（-1）C3σ’= σ’C3σ’ = σ’σ = C32 σ’’（-1）C3σ’’= σ’’C3σ’’ = σ’’σ’= C32 =>C 和C 2彼此共轭形成一类 {C ，C
二. 群元素之间的共轭关系符合数学上等价关系
① 反身性：每个元素与其自身互为共轭，即A=EAE-1 ② 对称性：Z=X-1YX ＝> Y=XZX-1
③ 传递性：B与A共轭，C与B共轭 ＝> C与A共轭
B=XAX -1 C=(YX)A(YX) -1 C=YBY
-1
共轭元素的传递性说明：若B与A同类，C与B同类，则 A、B和C比同类。
只含恒等元素的子群 任何群至少有两个子群 该群自身
（平凡子群或非真子群）
2. 子群特点 ① 检验群G元素的子集H是否形成G的子群只需复核两个 条件： a. H中任意两个元素的乘积还是H中的元素，(封闭性) b. H中包含它的每个元素的逆元素。(逆元)
② 子群关系具有传递性： 若H是G的子群，既Hale Waihona Puke Baidu G,
它们元素之间以及元素的乘积存在一一对应的系，
则称群G与群G’同构，并记为：G ≌ G’
二.同态
如果一个群G的阶大于G’，它们群元素之间存在几对一 个
对应关系，同时其乘积也具有这样的关系，即：
A1 A2 A' : An
B1 B2 B' : Bn
A1B1 A 2 B2 A'B' : A n Bn
任一整数n总有它的相反数-n存在，也属于整数。
② G { i,-i,-1,+1} 这四个数的乘法构成群。
群元素？ 乘法（组合规律）？群条件？
封闭性： i2＝-1，ix(-i)=1, ix(-1)=-i, ix1=1； 结合律: ix(-i) x(-1)= ix[(-i) x(-1)]=-1 ； 单位元素 ：1 逆元：1-1 = 1，i-1 = （-i），（-1）-1 = -1 → 四阶群，h=4
C3 C32 E
Ci E i
E E i
i i E
① EE = E ------> E，C3和C32中任意两个相乘仍 是E， C3，C32中的一个 ② ii=E ------> σv ，σv’和σv”中任意两相乘得到 E，C3，C32中的一个 ③ Ei=iE=i ------> E，C3，C32中的任一个与σv ， σv’ 和，σv”中任一个相乘得到σv ，σv ‘和σv”中 的一个。
K是H的子群， K H
则 K是G的子群
③母群阶是子群阶的整数倍
KG
h母/h子＝n（正整数）
6阶群的子群一定为2阶群或3阶群
2.4 共轭元素、类
一、定义
类：是群中相互共轭元素的完整集合。 共轭元素：若X和Y是群的两个元素，则X的 逆元素X-1以及乘积X-1YX也是群中的元素， 设Z=X-1YX，则称Z是Y借助于X进行相似变 换的结果，亦称Z和Y共轭。 共轭是相互的，既Z与Y互为共轭。
④ 群的阶也是它所包含类的阶的整数倍。 ⑤ 阿贝尔群的每一个元素都自成一类。 X-1AX=X-1XA=A
⑥ 分子群（对称操作群）中，E , i 和h 三个 操作自成一类，｛Ｅ｝，｛ｉ｝，｛h｝。
2.5 同构和同态
一.同构 如果有两个群 G = { E , A1 , A2 , … An } G’ = { E , B1 , B2 , … Bn }
封闭性：一个操作等效于两个操作连续作用的结果 逆动作：每个操作都存在一个能够准确消除该动作 的逆动作。 ③重排定理：群表的每一列和每一行都是群元素的 重新排列，即在每行/列每个群元素都必须且只能 出现一次。不可能有两个行（或列）是相同的。
用群表来表示低阶抽象群
一阶群：
G1 E E E
G2 E A
G3 E A B
则称G群同态于G’群，计作 G∽G’
例. C3v { E ， C3 ，C32 ，σv ，σv’，σv“ } Ci { E ， i } 之间存在三对一的关系 E ， C3 ， C32 <---------> E
σv ，σv’，σv“ <---------> I
其乘积之间也满足对应关系：
C3v E C3 C32