无穷级数

n1 x p
o
y
1 xp
(
p
1)
1 234
x
29
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即{Sn }有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
30
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
n1
n1
n1
反证法可得结论.
（2)若
un发散，
v
发散，则
n
[un vn ]敛散不确定.
n1
n1
n1
15
性质8.3
k为任意正整数，则级数 un与 n k 1
级数 un同敛散. n1
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
Snk Sk ,
则
lim
n
n
lim
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
r (实数或 )
n1
则 r 1时级数收敛; r 1时级数发散; r 1时失效.
证明 当r为实数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 r ,
un
即 r un1 r (n N )
un
35
(1)当r 1时, 取0 1 r, 使q r 1,
S un 则 un Sn Sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
S
n1
S S 0.
19
注4
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
n,
1
2n ,
aqn(a 0, q 1) 发散
n1 n 1 n1
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
1 ), 2n 1
lim
n
S
n
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 .
2
10
例 3 讨论调和级数
1
11
1
n1 n
1
2
3
n
的敛散性.
解 法1
在区间[n, n 1]上对函数ln x使用Lagrange中值
定理，有ln(n 1) ln n
利用不等式可得
1
n
1 (n n
S
n
S.
17
注3
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
18
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
性质8.5
级数
n1
un收敛
lim
n
un
0.
证明
23
n
有
lim
n
un
0,
但发散.
20
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若 Sn S ,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
21
思考题
1.
设
bn
的前
n
项和
Sn
1 2
(1
1 3n
)
，求
n1
bn ，判断级数的收敛性.
2.
设 (1)n1 bn n1
二、敛散判别法
1.正项级数收敛的充要条件
S1 S2 Sn
部分和数列{Sn }是单调增加数列.
定理8.1（正项级数收敛原理）
正项级数 un收敛 部分和所成的数列{ Sn }有上界
证明 n1
"
"
若
n1
un
收敛，则lim n
S
n
S,则数列{Sn }有界，则必有上界.
""
{Sn
}单增且有上界，由定理2.2知，lim n
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
11
1
Sn
1 3
35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 2
2, b2n1 5, 求 bn .
n1
n1
22
思考题解答
1.
bn
Sn
Sn1
1 3n
,
lim
n
Sn
1 2
.
2.
(1)n1 bn b2n1 b2n 2,
n1
n1
n1
b2n b2n1 2 3.
n1
n1
bn b2n1 b2n 8.
n1
n1
n1
23
§8.2 正项级数
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
A lnim(a1 a2 an )
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆合体而无所失矣。”
3
2. 1 3 3 3 3
3 10 100 1000
10 n
n1
比较判别法的不便: 须有参考级数.
28
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
设
p
1,
1 np
1, n
则P 级数发散. 设 p 1,
y
由图可知
1 np
n dx x n1 p
(n 2)
Sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1 2 dx n dx
1 xp
注1： 对 级 数 ， 在 未 知 其 是否 收 敛 时 ， 用 有 限 个 数 相 加 的 性 质 处 理 ， 或比 较 大 小 ， 会 出 错. 故 须 先 讨 论 它 的 收 敛 性问 题.
13
三、基本性质
性质8.1 设c为非零常数，则级数 cunБайду номын сангаас un
n1
n1
同敛散，且收敛时有 cun c un .
n1
n1
无
穷
小
量un、v
阶
n
的
大
小. 特
别
地
，un
~
vn ,
un与
v
同
n
敛
散.
n1
n1
例 3
证明级数
n1
s
in
1 n
是发散的.
解
sin 1 ~ 1
nn
而级数 1 发散 n1 n
sin 1 发散. n1 n
34
4.定理 8.4(达朗贝尔 D’Alembert 比值判别法)：
设
un
n
n 1)
1
1
Sn 1 2 n
(ln2 ln1) (ln3 ln 2) [ln(n 1) ln n] ln(n 1)
lim
n
Sn
故调和级数发散.
11
法2
S2n
Sn
1 n 1
1 n2
1 2n
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为S.
于是lim( S2n Sn ) S S 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
12
例4 对级数 2n作如下推导：设S 2n ,
n0
n0
S 1 2 4 8 1 2(1 2 4 8 ) 1 2S
解得S 1.
该 做 法 错 误.该 级 数 为 几 何 级 数 ， 且q 2,发散，并不存在和数S.
n
0 un 1 vn 2
0
对于 1
2
即
0
un
1 2
v
n
0, N ,
(n N )
当n
N时,
由比较判别法的推论, 得证.
(3) 由lim un v n
n
un cvn
对c 0, N , 当n
由比较判别法的推论, 得证.
N时,
33
注1:
要
判
别
un的
敛
散
性
，
可
找
参
考
级数
v
，
n
通
过
比
较
Sn u1 u2 un ,
6
2. 级数的收敛与发散:
定义8.1: 当n无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列 {Sn} 有极限 S , 即
lim
n
S
n
S
则称无穷级数
un 收敛,这时极限 S 叫做级数 un 的和.并写成
n1
n1
S u1 u2 u3
如果{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
n1
例：
1 发散.
n1 3n
性质8.2 设两收敛级数s un与 vn
n1
n1
则 级 数 (un vn )收 敛,其 和 为s .
n1
14
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
[ 1 1 ] 收敛.
2n
n1
( 3) n
[ 1 1 ] 发散.
2n
n1
10 n
注2：(1)若 un收敛， vn发散，则 [un vn ]发散.
3 33
33
5
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般地，对给定的数列 u1 , u2 , , un , , 称
un u1 u2 u3 un
n1
一般项(或通项)
为(常数项)无穷级数，简称级数.
n
级数的部分和 Sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , ,
1 3
un
1 ( 2)n1 Q, 33
n 1,2, .
4
前n周累计排污量为：
Qn u1 u2 un
1 Q 1 ( 2 )Q
1 ( 2 )n1Q
1
1
(
2 3
)n
Q
3 33
33
3 1 2
3
lnim Qn Q
总排污量Q可以表为无穷个数量之和，即
Q 1 Q 1 ( 2)Q 1 ( 2)n1Q
n1
且 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n
即部分和数列有界 un收敛.
n1
27
(2) 设 Sn (n ) 且 un vn ,
则 n Sn
不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n
S
nk
lim
n
S
k
S Sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性.
16
性质 8.4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收 敛于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 S2, 2 S5, 3 S9 ,
, m Sn ,
则
lim
m
m
lim
n
3.为消除湖泊受到的有害物质的污染，通常可采用从上游
引入清水不断将有害物质稀释，逐渐从下游排出的办法.若
设某湖泊现有有害污染物总量为 Q ，在没有新的污染物产生
的情况下，一周内可排除污染物残留量的1/3。则第 n 周
的排污量为
u1
1Q 3
u2
2Q 3
1 3
u3
(1
1 3
2 )Q 9
1 3
(2)2Q 3
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
31
3.定理8.3（比较判别法的极限形式）:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
第八章 无穷级数
§8.1 常数项级数的概念和性质 §8.2 正项级数 §8.3 任意项级数 §8.4 幂级数 习题课
1
§8.1 常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件 小结 思考题
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积（割圆术，
刘徽）
R
正六边形的面积 a1
uN 2 quN 1 , uN 3 quN 2 q 2 uN 1 , ,
uN m q m1uN 1 ,
而级数 q m1uN 1收敛,
m 1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
(2)当r 1时, 取0 r 1, 使q r 1,
当n N时,
Sn存在，故
n1
un收敛.
26
2.定理8.2（比较判别法）
设 un和 vn均为正项级数，且 un vn (n 1,2, ),
n1
n1
若 vn 收敛,则 un 收敛；反之，若 un 发散，
n1
n1
n1
则 vn 发散. （大收则小收，小散则大散）
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
lim qn 0
n
lim
n
S
n
a 1 q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
S
n
发散
当q 1时
当q 1时, Sn na 发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
S
n
不
存
在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
9
例 2 判别无穷级数
1 1
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
32
证明 (1)由lim un l 对于 l 0, N ,
v n n
2
当n N时, l l un l l
2 vn
2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
由比较判别法的推论, 得证.
(2) 由lim un v n
n1
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
S
n
存在(不存在)
7
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 当q 1时
Sn a aq aq 2 aq n1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
8
当q 1时,
一、定义 二、敛散判别法 三、小结 思考题
24
一、定义
1. 若级数 un中各项均有un 0， n1 这种级数称为正项级数.
2. 若级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为负项级数.
3. 正项级数和负项级数统称为保号级数.
un与 (un )同敛散，故讨论正项级数的敛散性.
n1
n1
25