直角三角形的性质与判定 (2)

∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2
c a
c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2
c a
c b
∴a2+b2=c2
c a
新知探究
定理：直角三角形两锐角互余. 定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方。
互逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论和条件,那么这 两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为 另一个命题的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它 们的平方相等”的逆命题吗?
它们都是真命题吗?
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题 的真假：
（1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
反过来：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形。
提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？请你 根据条件和结论写出已知和求证.
已知：如图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形.
A
B 图（1）
C
证明：如图（2）作Rt△A′B′C′,
使∠A′=90°， A′B′=AB,A′C′=AC, A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）. A
互逆命题 互逆定理
随堂练习
1.写出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假： (1)如果a2 b2，那么 a b (2)矩形是正方形； (3)如果x2﹥0，那么x﹥0; (4)直角都相等.
2.已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够
组成直角三角形的是（ B ）
A 3∶4∶6
B 5∶12∶13
3.如果一个三角形有两个锐角互余，那么 这个三角形是直角三角形吗？为什么？
（性质）定理：直角三角形的两个锐角互余. （判定）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
这是从角的角度研究直角三角形的性质和 判定，那从边的角度研究都有哪些定理呢？
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯 定理
c a
b
c a
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 也可以表示为 c2 +4•ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 4•ab/2+(b-a)2
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2. ∴BC=B′C′.
B
C
图（1）
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A==∠A′=90°
A′
(全等三角形的对应角相等).
即，△ABC是直角三角形.
B′ 图（2） C′
定理:直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方。
定理: 如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方,那么这个三形是直角三角形。
我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、 “两直线平行，内错角相等与“内错角相等，两直线平行” 等.
请你再举出一些互逆定理的例子.
知识梳理
定理：直角三角形两锐角互余. 定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方. 定理: 如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三形是直角三角形。
C 1∶2∶4
D 1∶3∶5
3.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边
上的中线AD=12cm ，
A
求证：AB=AC
B
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D
C
4.已知：在△ABC中， ∠ C=900， AD是BC边上
的中线，DE⊥AB，垂足为E 求证：AC2=AE2-BE2
B E
D
A
规律总结：
C
证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定 理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三 角形，以便运用勾股定理。
议一议
两个定理的条件和结论有什么样的关系？
观察
如果两个角是对顶角，那么他们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一 定是真命题吗？
互逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,
那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理, 其中一个定理称另一个定理的逆定理.
你还能举出一些例子吗? 想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题.
第一章 三角形的证明 2.1 直角三角形
第一课时 直角三角形的性质和判定
学习目标：
• 1. 探索并了解直角三角形的性质定理（勾股定 理）及判定定理的证明方法。
• 2. 结合具体例子掌握逆命题的概念，会识别两 个互逆命题，并判断真假。
• 3.能应用定理解决与直角三角形相关的问题。
知识回顾 1.如图，在高为２米，坡角为30°的楼梯表 面铺毯，地毯长度约为多米？
２米 30°
2.我们曾经探索过直角三角形的哪些性 质和判定方法？
3.直角三角形的边有哪些性质？ 一般性质：直角三角形的边具有一般三角
形的所有性质. 特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐
角等于30，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
情境引入
1.直角三角形的角有哪些性质？
2.直角三角形的边有哪些性质？
课堂小结
1.直角三角形的性质定理和判定定理。 2.命题与逆命题（互逆命题）。 3.定理与逆定理（互逆定理）。 4.直角三角形中的相关计算。
作业：
P17习题1.5 第1,2,3题.
祝你成功！