奖金发放问题的数学建模

A题：奖金发放问题

摘要

在本文中，我们通过对所给数据，即五十名员工的职称、工龄、学历、教学情况进行统计，建立了数学模型，并且根据不同要求通过模型对奖金发放情况制定政策。

模型1、层次分析模型。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体上可以按照一下三个步骤进行：①建立递阶层次结构模型；

②构造出各层次中的所有判断矩阵；③层次单排序及一致性检验。

模型2、模糊综合评价模型。利用模糊数学的基本原理，以定量分析为主，定性分析为辅，够早了综合评价的指标体系，建立的简便实用的数学模型，该模型中的主要指标即为题目中已给定的4项指标。

模型3、对奖金分配的最终结果：

⑴若需要对所有教师都奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。

⑵若30人获得奖金，根据主导因素法则，限制因子法以及逆向考虑法。

首先考虑职称，职称考虑完毕，再考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学

历。

⑶对不同职称分配一定获得奖金人数时，舍弃职称权重，按不同职称分别

对其他3项指标进行加权排序。方法与⑵相同。

[关键字]：数据规范化层次分析法模糊综合评价法定权比例分配

一、问题重述

某学院接受了一企业的赞助，经过校教代会决定，拿出一部分资金奖励教师，奖励政策只考虑下列因素：教师职称，工龄，学历，教学情况。学院职工的职称，工龄，学历，教学情况见下表。现聘请你们作顾问，制定以下奖励政策：（1）给出一个对所有教师都奖励的合理政策；若只奖励30人，如何确定人选？（2）如何制订奖励政策，恰好使高级、中级、初级教师的获奖人数是给定的数。（3）能否制订一个奖励政策，按照此政策高级、中级、初级获奖人数分别为2，

说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级；

2、学历中的1，2，3分别表示研究生、本科、专科；

3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。

二、模型分析、建立与求解

我们的目标就是给这50为教师进行一个客观的排名，也就是根据现有的有关他们的数据给他们打分，然后根据分数进行排名，并且将工龄以5年为单位分成6个等级，然后把职称、学历和教学的1、2、3看成是3个等级，而不是纯粹的数据，再用隶属函数的升岭型分布将它们进行规范化处理，然后对四个指标进行标准化处理。考虑到职称、工龄、学历、教学等因素在实际应用中可能占有不同的比重，因此需求出个指标的权重。我们利用层次分析法和模糊综合评价两种方法求解权重，然后将两种方法的权数整合到一起。

2.1 工龄的标准化处理

首先将工龄以5年为单位分成6各等级，工龄中的1，2，3，4，5，6则是根据他们的工龄由大到小进行的分类。也就是说在5年的单位内，他么的工龄性质上面是一致的，这样方便对于数值有一个宏观的把握。

2.2 指标的规范化处理

由于职称、学历和教学的1，2，3只是3个等级的代名词，并不是纯粹的数据数值，因此我们不能直接用于计算应。因而，我们利用隶属函数的升岭型分布将它们（包括工龄的指标）进行现行规范化处理。

由于职称、学历和教学三个指标是一样的，在利用上述公式时，我们选取

C 1=2，C

2

-C

3

=0.8，在计算工龄的时候，我们选取C

1

=3.5，C

2

-C

3

=0.5。

2.3 数据的标准化处理

在此基础上，我们利用模糊综合评价对相应的四个指标进行量化，为了尽

可能保持各评价指标值的变化信息，我们选取越小越优型指标的标准化处理公式。

2.4 指标的权重处理

在得到最新数值的情况下，我们分别利用层次分析法和模糊综合评价方法

对以上数据进行整合，分别求出4项指标的权重。其中设a表示职称，b表示工龄，c表示学历，d表示教学。

2.4.1层次分析法（递阶层次结构模型）

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体

上可以按照一下三个步骤进行：①建立递阶层次结构模型；②构造出各层次中的所有判断矩阵；③层次单排序及一致性检验【1】。由于题目中已经给出奖金评定

的四个因素即：职称、学历、工龄、教学，则以下求解过程中只对这四个因素建立判断矩阵。

在建立该矩阵时，我们对数据进行了相关性分析，即相对重要程度。以便于确定相对重要性时参考。

为了更精确的确定这项指标的权重，采用9标度层次分析法对其进行权重的设立相应的比较矩阵如下：

11253111322111335

132

13

⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎭

通过公式1

1

1

/(1,2,3....)n

n

n

i ij ij i i j W a a i =====∑∑∑计算比较矩阵的权重。

得到a 的权重为：125/363=0.3443526。同理可得b ，c ，d 的权重，见下表：

表1 层次分析权重

为了保证以上判断的客观性，必须对比较矩阵进行一致性检验,即运用公式

计算一致性指标C.R 。过程如下：

max 1

1

1/(*/)

n n

j i i j n aij W W λ===∑∑经过计算机编程计算，（程序见附录）

max =4.12λ

为了度量判断矩阵是否具有满意的一致性，这里引入判断矩阵的平均随机

【1】表2 模糊综合评价RIC(n)

有max

.()/(1)0.04C I n n λ

=--=

../.0.04/0.4870.082C R C I R I ===

可见，C.R<0.1，所以以上对职称a 、工龄b 、学历c 、教学d 的权重设立的过程是客观、一致、合理的。

2.4.2 模糊综合评价法（模糊综合评价模型）