棱柱 棱锥 棱台的定义及特点

C’
E F A
D C B
由定义知(1),(3)显然成立 由于底面互相平行，所以底 面与侧面的交线互相平行 由于侧棱互相平行，所以侧 面是平行四边形
以上为构成棱柱的3个条件，缺一不可
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形 的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)
正三棱锥（正四面体）
正五棱锥
正棱锥的性质
（１）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高
（２）、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 组成 一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在 Ｓ 底面内的射影也组成一个直角三角形。
D E A
顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高
O
B
C
棱锥的表示
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如： 五棱锥S－ABCDE
思考3：下列多面体都是棱锥吗？如何用 符号表示？如何在名称上区分这些棱锥？
S S C E A B B A D C S F
D
C B
A
2.记法：(1)棱椎S-ABCD (2)棱椎S-AC 三棱椎、四棱椎、五棱椎等 3.分类： 三棱椎又叫做四面体
上底面 顶点 侧面
侧棱
下底面
下底面：原棱锥的底面，上底面：截面，侧面： 其余各面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧 面与底面的公共顶点，对角面：过不相邻的两条 侧棱的截面.
4.判断方法： （1）上、下底面互相平行且相似；
（2）各条侧棱的延长线相交于同一点.
棱柱、棱锥、棱台的关系
arctan 15 5

A
B
D
3a
C
源自文库
5a
2a
B1 A1 C1
3、如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 2 AA1，D是AB的中点, 求二面角 D AB1 C的大小. arctan 15
B1
A1
C1
E
A
D
B
A
E
B1 C
5 a 5
D
3a
a
5 DE 5 BB1
2a
B
知识探究（三）： 棱锥的结构特征
思考4：一个棱锥至少有几个面？一个N 棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少 条侧棱？有多少个顶点？
至少有4个面；1个底面，N个侧 面，N条侧棱，1个顶点.
一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
A1 B1
C1
A1
C1 B1
A
C
A
C
B
B
特殊的棱锥－正棱锥
定义：如果棱锥的底面是正多边形，并且底 面中心与顶点的连线垂直于底面，这样的棱 锥叫正棱锥
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
(1)直棱柱的每一个侧面都是 矩形
正棱柱的各个侧面都是 全等的矩形 (2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 矩形
练习
1、判断下列命题是否正确： A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； 错
B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱； 错 错 C.有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱；
（３）、正棱锥侧棱与底面所成的 角 都相等，侧面与底面所成的二面 角都相等
Ｆ Ａ Ｅ
Ｈ
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
练习：判断题
1、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么 他的三个侧面都可能是直角三角形 2、侧棱与底面所成角相等的棱锥是正棱锥 3、相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 4、侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥 是正棱锥 5、三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱 锥
A
B
特殊的四棱柱
平行六面体：底面是平行四边形 的四棱柱 直平行六面体：侧棱与底面 垂直的平行六面体 长方体：底面是矩形的直平 行六面体
正方体：棱长都相等的长方体
平行六面体的性质
定理1、平行六面体的对角线相交于一点，且在交 点处互相平分
定理2、长方体的一条体对角线长的平方等于一个 顶点上三条棱长的平方和
A' B' C'
A' O B'
D'
D'
C'
D A B C
A
D
C
B
1、已知：直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以AC为斜边的等腰Rt , 且 AA1 AB, 求AB1与BC1所成的角. 60
D1
C1
A1
B1
割补法
D
C
A
B
2、在正三棱柱ABC A1B1C1中，各条棱长均相等，求直线CB1与平面AA1B1B 所成角.
2、一个棱柱是正四棱柱的条件是： D A.底面是正方形，有两个侧面是矩形；
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；
D.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
理论迁移
例1 如图，截面BCEF将长方体分割成 两部分，这两部分是否为棱柱？
D1
A1
E B1
C1
F
D
C
棱柱的性质 1．侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2．两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
3．过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
棱柱的分类 1．按底面分： 当底面是三角形，四边形，五边形时，可以把棱柱 分为三棱柱，四棱柱，五棱柱……
2、按侧棱与底面位置关系 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。
其余各面叫做棱柱的侧面．
E1 A1
不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱．
两个底面的距离叫做棱柱的高． 不在同一个面上的两个顶点的连线 叫做棱柱的对角线， 棱柱的表示法 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
A
B1
C1
D1
E H B C D
棱柱的结构特征
E’ F’ A’ B’ D’
（1）底面互相平行。 （2）侧面是平行四边形。 （3）侧棱相互平行。
思考1：我们把下面的多面体取名为棱 锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？
棱锥的概念
定义：如果一个多面体有一个多边形的面，且不 在这个面上的棱都有一个公共顶点，那么这个多 面体叫做棱锥 S 这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面 叫做棱锥的侧面，侧面都是三角形 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱 侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，
棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间的部分叫做棱台。
A1
D1
B1
C1
A1
D1 B1
C1
知识探究（四）：棱台的结构特征
特征：有两个面是互相平 行的相似多边形，其余各 面都是梯形，每相邻两个 梯形的公共腰的延长线共 点.
思考：参照棱柱的说法，棱台的底面、 侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？
多面体概念
由若干个平面多边形围成的封闭体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
食盐
明矾
石膏
多面体分类
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
棱柱的概念 定义：有两个面互相平行且全等，且不在这两 个面上的棱互相平行，这样的多面体叫做棱柱． 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，