几何概型的经典题型与答案

几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.

3．计算公式：.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：

（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos

x π的值介于0到2

1之间的概率为( ). A.31 B.π

2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值围的区

间长度有关，符合几何概型的条件.

解：在区间]1,1

[-上随机取一个数x,即[1,1]

x∈-时,要使cos

2

x

π

的值介于

0到

2

1

之间,需使

223

x

πππ

-≤≤-或

322

x

πππ

≤≤

∴

2

1

3

x

-≤≤-或

2

1

3

x

≤≤，区间长度为

3

2

，

由几何概型知使cos

2

x

π

的值介于0到

2

1

之间的概率为

3

1

2

3

2

=

=

=

度

所有结果构成的区间长

符合条件的区间长度

P. 故选A.

例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间

再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的

概率是多少？

思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限

多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．

解记 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三

等分，由于中间长度为30×

3

1

=10米，

∴

3

1

30

10

)

(=

=

E

P.

方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域随机地取

一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则

理解为恰好取到上述区域的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可

以用几何概型来求解．

例3、在半径为R的圆画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点

在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。

思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，

题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能

地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。

也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空

间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对

应的区域G

A

是长度不小于R的平行弦的中点K

所在的区间。

[解法1].设EF与E

1

F

1

是长度等于R的两条弦，

K K

K1

图1-2

图1-1

O O

E F E F

E1F1

直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。依题设条

件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有

1()2K L G KK OK ====

以几何概率公式得()()22

A L G P L G R ===。 [解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R

设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是

R ≥,

解不等式，得 x 2R ≤ 所以 ()22

A L G R ==

于是 ()22P A R =

= [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率． 解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于

“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=14 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习：

2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )