振动理论基础PPT课件
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谈谈本专业内有关振动问题！？
2021/3/7
CHENLI
2
§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作 用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ， 物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形 为δst（称静变形），有
26
由
3 4 m (Rr)22n 21 2m(R gr)2
得
2021/3/7
CHENLI
27
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨 论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。
2021/3/7
CHENLI
15
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩
由平衡方程 有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程
得系统自由振动微分方程
202固1/3/有7 频率
★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 系统C的HEN运LI 动微分方程具有标准形式1。6
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守 恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
2021/3/7
CHENLI
17
系统动能 由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率
表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长
度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的
周期
2021/3/7
CHENLI
5
频率和周期只与系统本身所固有的惯 性和弹性有关，而与运动的初始条件 无关，是描述振动系统基本性质的重 要物理量。
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6
例16-1
质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。 当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分 离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β＝300，求系统振动的固 有频率和振幅，并写出物块的运动方程。
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CHENLI
9
例16-2
如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
2021/3/7
CHENLI
10
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
第十六章 振动理论基础
§16-1 单自由度系统的自由振动
§16-2 计算系统固有频率的能量法
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
§16-4 单自由度系统的受迫振动
§16-5 隔振的概念
2021/3/7
CHENLI
1
机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振 动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅 研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。
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解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由 2得021固/3/7有频率
1 2J2n 21 2(k1l2k2d2)2
CHENLI
23
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微 小振动的固有频率。
式中圆频率
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11
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则
振幅
mm
初位相
系统的振动规律
mm
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12
等效弹簧 并联和串联弹簧
★ 并联弹簧 下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
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CHENLI
3
以平衡位置为原点，建立图示坐标。 物块在一般位置的受力如图示，则其 振动微分方程为
令Байду номын сангаас
，代入上式，
得单自由度系统自由振动微分方程
的标准形式
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CHENLI
4
其通解
积分常数A 和θ分别为振幅和初位相。 它们由运动的初始条件决定。
频率
圆频率（或固有圆频率、固有频率）
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解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为
则 塔轮角速度 系统动能
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取平衡位置为势能零点，系统的势能为 由
得系统的固有频率
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例16-5
在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在 A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
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7
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
化简后得 系统的固有频率
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8
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移
初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
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解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为
圆柱体中心O1的速度
由运动学知，当圆柱体作纯滚动时， 角速度 系统动能
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整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
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由平衡方程得
式中
为并联弹簧的等效弹簧刚度。
n2个021并/3/7联弹簧的等效刚度 CHENLI
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★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度
n个弹簧串联，则有
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例16-3
图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动 惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求 系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，
而2不021必/3/7列写系统的微分方程。CHENLI
18
例16-4
图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上 绕有细绳，轮Ⅰ上连一铅直弹簧，轮Ⅱ上挂一重物。塔轮对 轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统 振动的固有频率。
谈谈本专业内有关振动问题！？
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§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作 用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ， 物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形 为δst（称静变形），有
26
由
3 4 m (Rr)22n 21 2m(R gr)2
得
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§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨 论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。
2021/3/7
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15
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩
由平衡方程 有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程
得系统自由振动微分方程
202固1/3/有7 频率
★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 系统C的HEN运LI 动微分方程具有标准形式1。6
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守 恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
2021/3/7
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系统动能 由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率
表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长
度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的
周期
2021/3/7
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5
频率和周期只与系统本身所固有的惯 性和弹性有关，而与运动的初始条件 无关，是描述振动系统基本性质的重 要物理量。
2021/3/7
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6
例16-1
质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。 当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分 离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β＝300，求系统振动的固 有频率和振幅，并写出物块的运动方程。
2021/3/7
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9
例16-2
如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
2021/3/7
CHENLI
10
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
第十六章 振动理论基础
§16-1 单自由度系统的自由振动
§16-2 计算系统固有频率的能量法
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
§16-4 单自由度系统的受迫振动
§16-5 隔振的概念
2021/3/7
CHENLI
1
机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振 动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅 研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。
2021/3/7
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22
解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由 2得021固/3/7有频率
1 2J2n 21 2(k1l2k2d2)2
CHENLI
23
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微 小振动的固有频率。
式中圆频率
2021/3/7
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11
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则
振幅
mm
初位相
系统的振动规律
mm
2021/3/7
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12
等效弹簧 并联和串联弹簧
★ 并联弹簧 下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
2021/3/7
CHENLI
3
以平衡位置为原点，建立图示坐标。 物块在一般位置的受力如图示，则其 振动微分方程为
令Байду номын сангаас
，代入上式，
得单自由度系统自由振动微分方程
的标准形式
2021/3/7
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4
其通解
积分常数A 和θ分别为振幅和初位相。 它们由运动的初始条件决定。
频率
圆频率（或固有圆频率、固有频率）
2021/3/7
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19
解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为
则 塔轮角速度 系统动能
2021/3/7
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20
取平衡位置为势能零点，系统的势能为 由
得系统的固有频率
2021/3/7
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21
例16-5
在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在 A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
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CHENLI
7
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
化简后得 系统的固有频率
2021/3/7
CHENLI
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当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移
初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
2021/3/7
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24
解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为
圆柱体中心O1的速度
由运动学知，当圆柱体作纯滚动时， 角速度 系统动能
2021/3/7
CHENLI
25
整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
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CHENLI
由平衡方程得
式中
为并联弹簧的等效弹簧刚度。
n2个021并/3/7联弹簧的等效刚度 CHENLI
13
★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度
n个弹簧串联，则有
2021/3/7
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例16-3
图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动 惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求 系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，
而2不021必/3/7列写系统的微分方程。CHENLI
18
例16-4
图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上 绕有细绳，轮Ⅰ上连一铅直弹簧，轮Ⅱ上挂一重物。塔轮对 轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统 振动的固有频率。