函数的凹凸性方面的应用

§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用

教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法.

教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的

凸性证明某些有关的命题.

教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言

上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.

什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y x =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？

设函数()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I ∈（12x x <）.

曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())

B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意

12(,)

x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程

211121

()()

()()

f x f x y x x f x x x -=

-+-.

对任意

12(,)

x x x ∈有

211121

()()

()()()

f x f x f x x x f x x x -≤

-+-,整理得

21

122121

()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤

+--.

令

221()x x t x x -=

-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1

21

1x x t

x x -=--,上式可写成

1212[(1)]()(1)()

f tx t x tf x t f x +-≤+-.

一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义

定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有

1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数.

注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.

定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.

必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,

如

y =x ＝0的情形.

(二) 凸函数的特征

引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：

32212132

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3)

()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.

证 ⇒记

32

31x x x x λ-=

-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知 213()()(1)()

f x f x f x λλ≤+-3221133131

()()x x x x

f x f x x x x x --=

+-- (4)

从而有

312321213()()()()()()

x x f x x x f x x x f x -≤-+- 即

322212321213()()()()()()()()

x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-

整理即得(3)式.

⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=

-

由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.

同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即

123,,x x x I ∀∈,123

x x x <<,有

31212131

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤

--

()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.

定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且

在上连续．

证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后,由为开区间,必可

选取中的四点

满足：

．

如图所示,再在

中任取两点

. 应用引理得到