连续函数离散化

连续函数离散化

1.1替换法

传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。

替换法的基本思想：

对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。

G(S) G(Z) 差分方程

根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：

Ts e Z =或Z T

s ln 1

=

其中Ｔ是采样周期

若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。 1.1.1 简单替换法

由幂级数展开式： +++++=!

!212n x x x e n

x

+++++==!)(!2)(12n Ts Ts Ts e Z n

Ts

取近似式：Ts e Z Ts +≈=1 或：T

Z s 1-=

用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。

例：二阶连续系统s

s s U s Y s G 50400

)()()(2

+==

，001.0=T 解：简单替换法T

Z s 1

-=

代入G(s) )

()

(501)250(400)1(50)1(400

)(2

222

z U z Y T z T z T T z T z z G =-+-+=-+-=

)(400)()501()()250()(22z U T z Y T z zY T z Y z =-+-+⇒ )(400)()501()()250()(2221z U z T z Y z T z Y z T z Y ---=-+-+⇒ )2(400)2()501()1()250()(2-+------=⇒k u T k y T k y T k y

001.0=T 代入

)2(104.0)2(95.0)1(95.1)(3--⋅+---=k u k y k y k y 1.1.2 双线性替换法

+-++-+-+++++===---!)2/(!2)2/(21!)2/(!2)2/(212

22/2

/)2(2k Ts Ts Ts k Ts Ts Ts e

e e e k k

Ts Ts Ts Ts Ts 取近似式：2

121Ts Ts e Z Ts -+

=

=或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。 例：二阶连续系统s

s s U s Y s G 50400

)()()(2+==

，001.0=T

用双线性替换法建立差分方程。

解：双线性替换：)

1()

1(2+-=

z T z s 代入G(s)

)

1)(1(100)1(4)1(400)

1()1(250

)1()1(2400

)(22

22222+-+-+=

+-++-=z z T z z T z T z z T z z G

)

()(10048)4100()12(400222z U z Y T z z T z z T =-+-+++=

[]

)()(2)(400)()1004()(8)()4100(222z U z zU z U z T z Y T z zY z Y z T ++=-+-+⇒

[]

)()(2)(4

100400)(41001004)(41008)(21221z U z z U z z U T T z Y z T T z Y z T z Y ----+++++--+=⇒

001.0=T 代入

)

1(10951.1)(109756.0)2(9512.0)1(9512.1)(44-⋅+⋅+---=--k u k u k y k y k y

)2(109756.04-⋅+-k u

1.2 Z 域离散相似法

离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。

连续系统模型

离散化模型

)

(*t y

)(t u 经采样后是离散信号)(t u *，加保持器)(s Gh 后，将离散信号)(t u *转化

成连续信号)(~t u

，并作用于连续系统G(S)上输出)(~t y 。 离散模型：[])()()

()

()(S G S Gh Z U Z Y Z G Z ==

例：二阶连续系统s

s s U s Y s G 50400

)()()(2

+==

，001.0=T 以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程

解：零阶保持器S

e s G TS

h --=1)(

[])

50(400

)1(504001)()()(2

12+⋅-=+⋅-=Z =--s s z s s s e S G S G z G Ts h

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+----=++--=

-T e z z z z z Tz z z s s s z z 502216.0116.0)1(81)5016.016.08(1

))(1()1(16.0))(1(16.0)(85025050T T T e z z z e z z e z T ------+----=

001.0=T 代入

)

9512.0)(1()1(16.0))(1(16.0)(008.0)(2

05.005.0---+----=

--z z z e z z e z z G []

2

12

1205.005

.09512.09512.110001935.00001967.0)9512.0)(1(16.0)1(168.0)1(16.0------+-+=--+--+=

z

z z z z z e z e

)

()

(9512.09512.110001935.00001967.02

121z U z Y z z z z =+-+=---- )()9512.09512.11()()0001935.00001967.0(2121z Y z z z U z z ----+-=+⇒

)2(9512.0)1(9512.1)()2(0001935.0)1(0001967.0-+--=-+-⇒k y k y k y k u k u

)2(10935.1)1(10967.1)2(9512.0)1(9512.1)(44-⋅+-⋅+---=⇒--k u k u k y k y k y

)()(0

11

10111m n a s a s a s b s b s b s b s G n n n m m m m >++++++++=---- 经过z 变换后可以写成