无穷级数总结

无穷级数总结

一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,

,n

u u u ，1

n n u ∞

=∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和

数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞

=，称级数收敛，否则称为发散.

2. 性质

①设常数0≠c ，则∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n cu 有相同的敛散性；

②设有两个级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1

n n v ，若∑∞==1

n n s u ，σ=∑∞=1

n n v ，则∑∞

=±=±1

)(n n n s v u σ；

若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1

n n v 发散，则∑∞

=±1

)(n n n v u 发散；

若∑∞

=1

n n u ，∑∞=1

n n v 均发散，则∑∞

=±1

)(n n n v u 敛散性不确定；

③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；

④设级数∑∞

=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．

注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；

②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞

=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞

→n n u ；

注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；

②若0lim =∞

→n n u ，则∑∞

=1n n u 未必收敛；

③若∑∞

=1

n n u 发散，则0lim =∞

→n n u 未必成立．

二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法

① 定义：若0n u ≥，则∑∞

=1n n u 称为正项级数.

② 审敛法： （i ）

充要条件：正项级数∑∞

=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.

（ii ）

比较审敛法：设∑∞=1

n n u ①与∑∞

=1

n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，

则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.

A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散；

B. 设∑∞

=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1

(1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞

=1

n n u 收敛；若

1

(1,2,)n u n n ≥=，则∑∞

=1

n n u 发散.

C. 极限形式：设∑∞

=1

n n u ①与∑∞

=1

n n v ②都是正项级数，若lim

(0)n

n n

u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞

=1

n n

u

与∑∞

=1

n n v 有相同的敛散性.

注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞

=-⎪⎩

⎪⎨⎧≥<-=11

1

11n n r r r a

ar 发散；

②-p 级数：∑

∞

=⎩⎨⎧≤>1

111n p p p n 时

发散

时收敛；

③ 调和级数：∑∞

=++++

=1

1

2111n n

n 发散． （iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞

=1

n n a 是正项级数，若

①1lim

1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1

>=++∞→r a a n n n ，则∑

+∞

=1

n n a 发散． 注：若1lim

1

=++∞→n

n n a a

，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑

+∞

=1

1n n

与∑+∞

=1

2

1

n n

，虽然

1lim 1=++∞→n

n n a a

，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，而∑+∞

=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞

=1

n n a

是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，

级数收敛，若1>ρ则级数发散．

（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞

=，则①0lim >=∞

→l u n n p n 且1≤p ，则级

数∑+∞

=1

n n u 发散；②如果1>p ，而)0(lim +∞<<=∞

→l l u n n p n ,则其收

敛．（书上P317-2-（1））

注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正

项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．

2.交错级数及其审敛法

①定义：设0(1,2,)n u n ≥=，则11(1)n n n u ∞

-=-∑称为交错级数.

②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞

→n n u ，

则11

(1)n n n u ∞

-=-∑收敛.

注：比较n u 与1+n u 的大小的方法有三种： ①比值法，即考察

n

n u u 1

+是否小于1； ②差值法，即考察1+-n n u u 是否大于0；

③由n u 找出一个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),( ==n n f u n 考察)(x f '是否小于0． 3.一般项级数的判别法： ①若∑∞

=1

n n u 绝对收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛.

②若用比值法或根值法判定||1

∑∞=n n u 发散，则∑∞

=1

n n u 必发散.

三、幂级数

1. 定义：n n n x a ∑∞

=0称为幂级数.

2. 收敛性

① 阿贝尔定理：设幂级数∑+∞

=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满足0x x <的所