线性定常连续系统的解(一)

A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
本章需解决的问题: 线性定常连续系统状态方程的解理论 基本概念: 状态转移矩阵 状态转移矩阵和矩阵指数函数eAt的性质和计算
重点与 难点
2.2 线性定常连续系统状态方程的解
求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础， 是进行定量分析的主要方法。 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空 间上，以矩阵代数运算来描述的定系数常微分 方程解理论。 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中， 引入了状态转移矩阵这一基本概念。 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态 的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的，对该 概念必须准确掌握和深入理解。
x2
x ( 0)
x ( t1 ) x ( t2 )
t
t2
0
x1
t1
( t1 0)
( t2 t1 )
当初始状态给定以后，系统的状态转移特性就 完全由状态转移矩阵所决定。
所以，状态转移矩阵包含了系统自由运动的 全部信息。
可见，状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求 解的关键。
2.2.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵
重点 本节需解决的主要问题 状态转移矩阵? 矩阵指数函数？ 状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质 齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程解的各部分的意义？ 输出方程的解？
重点与 难点
在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前， 先讨论线性定常齐次状态方程的解，以引入矩阵指 数函数和状态转移矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输 入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在 无外力作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项 的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外 力作用下的强迫运动。
1
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A) 1 ] 1 1 1 2 s 1 s 2 1 s 1 s 2 L 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 2e t e 2t e t e 2 t t 2t t 2t e 2e 2e 2e
对上式取拉氏反变换，即得齐次状态方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换 平行推广至矩阵函数中。 对标量函数，我们有
1 a a2 a k 1 ( s a)1 2 3 ... k ... s s s s a 2t 2 ak t k e at 1 at ... ... L1[( s a)1 ] 2! k!
• 该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式， 所以称为矩阵指数函数，且记为
A2 2 Ak k e At I At t ... t ... 2! k!

利用矩阵指数函数符号，齐次状态方程的解可写为： x(t)=eAtx0
2．拉氏变换法 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和 矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换 为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应 的拉氏变换，那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的 方法求解齐次状态方程的解。 对该齐次状态方程x’=Ax，设初始时刻t0=0且初始状 态x(t)=x0，对方程两边取拉氏变换，可得 sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为 X(s)=(sI-A)-1x0
x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解， 系统状态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A)-1]
齐次状态方程的解描述了线性 x 定常连续系统的自由运动。
x0
x(t)=(t)x0
由解的表达式可以看出， 系统自由运动的轨线是由 1 (t) 从初始时刻的初始状态到t t 0 时刻的状态的转移刻划的， 图2-1 状态转移特 如图2-1所示。 性
a2 2 ak k x(t ) 1 at t ... t ... x(0) e at x(0) 2! k!
• 上述求解标量微分方程的级数展开法，可推广至求 解向量状态方程的解。 为此，设其解为t的向量幂级数，即 x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+… 式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得 q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2 +…+qktk+…) 如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式 均成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可 求得
• 将上述关系式推广到矩阵函数则有
I A A2 Ak 1 ( sI A) 1 2 3 ... k ... s s s s A2t 2 Ak t k e At I At ... ... 2! k!
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
I A A2 Ak 1 1 1 1 L [( sI A) ] L 2 3 ... k ... s s s s A2t 2 Ak t k I At ... ... 2! k! e At
这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。 引入上述状态转移矩阵新定义，主要是为了使状态 转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等， 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一 描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。
当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦 为n×n维方阵,且其元素为时间t的函数。 – 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移 矩阵
1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: A=diag{1 2 … n} 则状态转移矩阵为 Φ(t ) e At diag e1t e2t ... ent 式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。
A q1 q0 , 1! A A2 q2 q1 q0 , 2 2! A Ak , qk qk 1 q0 k k!
• 若初始时刻t0=0，初始状态x(0)=x0，则可确定 q0=x(0)=x0 • 因此，状态x(t)的解可写为
A2 2 Ak k x (t ) I At t ... t ... x0 2! k!
建立了系统的数学描述之后，接着而来的是对系统 作定量和定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的 响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输 出方程的求解问题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质，如 能控性、 能观性、 稳定性等。
本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量 分析问题，即状态空间模型--状态方程和输出方程 的求解问题。 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微 分方程组，通常是很容易的。 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组 却非易事。（选学） 状态转移矩阵的引入，从而使得定常系统和时 变系统的求解公式具有一个统一的形式。 为此，本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、 性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程 的求解公式。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
下面，将依次分别讨论: 齐次状态方程的解 线性定常连续系统的状态转移矩阵 线性定常连续系统非齐次状态方程的解
2.2.1 线性定常齐次状态方程的解
齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方 程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方 程 x’=Ax 齐次状态方程满足初始状态
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
第二章 线性控制系统的动态分析
2.1 概述 2.2 线性定常系统状态方程的求解
2.3 线性时变连续系统状态方程的求解（介绍） 2.4 线性离散时间系统状态方程的求解（提高）
小 结
本章简介
本章讨论线性系统的运动分析。 主要介绍 时不变连续系统的状态空间模型的求解、 状态转移矩阵的性质和计算
2.1 概述
因此，基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换，该齐次方程 的解为 x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法 求解结果一致。 若初始时刻t00，对上述齐次状态方程的解作坐 标变换，则可得解的另一种表述形式:
x(t ) e x(t0 ) 状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质 上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状 态的转移，其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指 数函数 e A(t t0 )和初始状态x(t0)所决定。
(3) 状态方程的解为
4et 3e2t x (t ) e At x0 t 2 t 4e 6e
为讨论方便，引入能描述系统状态转移特性的线性 定常连续系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式
(t-t0 ) e
A ( t t 0 )
如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均 成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即 可求得
a q1 q0 , 1! a a2 q2 q1 q0 , 2 2! a ak , qk qk 1 q0 k k!
令x(t)的解表达式中t=0，可确定 q0=x(0) 因此， x(t)的解表达式可写为
x (t ) t t x (t0 )
0
对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有 级数展开法和 拉氏变换法 2种。
1. 级数展开法
• 在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常微分 方程 x(Leabharlann Baidu ) ax(t ) • 在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量，a为常数。 • 由常微分方程理论知，该方程的解连续可微。 因此，该解经泰勒展开可表征为无穷级数，即有