矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组

一、 问题

化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解

二、 实验目的

1. 学会使用MATLAB 编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵

2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵

3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析

4. 能根据由MATLAB 所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解

三、 预备知识

（一） 线性代数知识

1212n 22212n 111121.[,,,]111n n n n n x x x x n x x x x x x x x x ---=⎛

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由向量作出的阶范德蒙矩阵为

11121121

221112-12122111222221111212111222

111

212221111111122111A A 2.A =,A A B B A =,B B (),,A B A A A A B A A B B B A A B A B A A ------⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭

=-=-=-=- 分块矩阵其中为方的可逆矩阵块，求逆有如下公式：设则 122113. Frobenius A ()n n

ij F i j a ===∑

∑常用的矩阵范数为范数：

（二）相关命令提示：

1. 输入语句：变量名=input （‘提示信息’）

2. for 循环

3. if 结构

4. 矩阵与向量的范数:norm(A)

5. 求矩阵A 的秩:rank(A)

6. 求矩阵A 的标准阶梯形：rref(A)

四、 实验内容与要求

1. 在建立的sy31.m 文件中编程将任意给定的n 阶方阵B1，化为上三角阵B1;调用时输入

B1=A,n=6;

其中A 为实验：矩阵的基本运算 中的矩阵A

2. 在建立的sy32.m 文件中编程用1—6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B2

3. 在建立的sy33.m 文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆：

（1） 调用sy33.m 文件时输入B3=A^2，输入n1=2,求出B3的逆C2；

（2） 调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=4,求出B3的逆C4；

（3） 调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=6,求出B3的逆C6；

（4） 调用norm 函数对上面三种方法所求的逆做误差分析（即做（B3×Ci-E ）的范数）

4. 建立sy34.m 文件，求下列非齐次方程组的通解。

1234561

23456123561246234561234562463242445533625912348

452455536642

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+=⎧⎪+-++-=⎪⎪+++-=-⎪⎨

+++=⎪⎪--+++=-⎪

+-++-=-⎪⎩

五、 思考与练习

1. 求解下列齐次方程组的基础解系

1234561

23456123561

246234561234562463202445503625902340452405536640

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+=⎧⎪+-++-=⎪⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪--+++=⎪

+-++-=⎪⎩ 2. 用任意输入的8维行向量产生一个8解范德蒙矩阵