数学建模课程考试

人员疏散疏散模型

摘要：

在意外事件发生的时候，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的大问题。对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部疏散完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及疏散方案。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。但多次反复的演习实际上是不可能的。理想的办法是通过理论上的分析得到。本文通过对学校一座教学楼的人群疏散时间进行建模。

关键词：

教室 疏散 人流模型

问题：

考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室（如图）.学生们可以沿教室外的走道一直走到尽头的出口。用数学模型来分析这四个教室的师生疏散所用的时间。

在图中，1i n +为第i 个教室中的人数；i L 为第i 个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；D 为教室门的宽度。

注：考虑几种情况（1）人员单队疏散；（2）人员两队疏散。并给出疏散时间的数学模型，并做简单的分析。

一. 人员单队疏散模型 （DD ）

1.人员单队疏散问题分析：首先，可以从简单的物理公式t=s/v 看出，人群疏散的时间与人群需要走的路程和人群撤离的速度有关。由上图可以看出，当每个教室的人数确定时，人群需要走的路程受到个体的占地面积的影响；人群撤离的速度受到个体的步幅和行走频率的影响。]

图 教学楼的平面图

2.人员单队疏散模型假设：

1）有一排四间教室，每个教室的门口同一时刻只能走出一个人，走道只有一个出口。

2）人群撤离时，有序，单行，（间隔）均匀，匀速（但不是定值）。

3）教室内人员排成一队的时间不计，每个教室第一个人从教室门口走出门口到站到走道上的时间忽略不计。（站到走道上时，人员

的面与门口的右端对齐）

4）人流限制在单向定宽的走道内前进，且相对饱满，即速度不大于某极限速度Vmax。

5）行走速度只受到人与人前后之间的间距和行走频率的影响，在拥挤的状态下步幅等于相邻个体的间距，步幅不超过0.75m。

3.人员单队疏散符号说明：

Li 如图中，从第i个教室门的右侧到第i-1个教室门的左侧（或门口）的距离

n i+1 第i个教室的人数

D 教室门的宽度

dis 人员在队伍中的间隔

w 个体的平均厚度

h 个体的平均步幅

f 个体的平均行走频率

Ti 第i个教室的人全部安全出来需要的时间

ti 任意一个教室第i个人安全出来需要的时间

Si 第i-1个教室的最后一个人安全离开时，第i个教室的第一个人安全离开还需要走的距离

v 人员疏散队伍的平均速度

4.人员单队疏散模型建立：

首先需要拟订人员疏散方案即听到警报时每个教室的人同时开始往外走，并且在前一个教室的门口等待，当前一个教室的最后一人走出时后一个教室的人开始接着往前走。要计算第i个教室人员疏散的时间，先要知道第i-1个教室人员疏散的时间。模型的构成可以分为以下几步：

1．队伍速度v的计算

根据假设可知：当人员间的距离 dis<0.75m 时步幅h=dis

距离 dis>=0.75m 时步幅h=0.75m（1）速度

v=hf （2）2．距离Si的计算

当i=1时 S1即是从门口到出口的距离

S1=L1+w （3）

当i=2时 S2应分两种情况考虑

a)第2间教室的第一个人走到第1间教室门口时需要等待，直

到第1间教室的人全部走进走道，即当L2+D-n1(dis+w)<=0

时

S2=dis+w （4）

b)第2间教室的第一个人走到第1间教室门口时不需要等待

（第一间教室里已经没有人），，即当L2+D-n1 (dis+w)>0

时

S2=L2+D-n1 (dis+w) （5）

当i=k时由上可推导

（6）

3．疏散时间Ti的计算

第1间教室第i个人安全离开所需的时间ti

当i=1时,

（7）当i=2时,

（8）

当i=n1+1时,可推理得

（9）第2间教室第i个人安全离开所需的时间ti

当i=1时,

（10）当i=2时,

（11）当i=n1+1时,推理可得

（12）第k间教室推理可得

（13）

5.人员单队疏散模型求解：

这个模型归结为选择间距dis，使疏散总时间Tk最小。根据（2）式可知速度v随步幅h的增大而增大，根据（6）式可知Si受到间距dis的的影响，而总时间T由v和Si共同决定。根据(1)式得到dis与h的关系，分析可知T是dis的函数。

注：Li,n i+1,D,w,f为确定的值，根据资料在本文中取w=0.25m,f=2.3

总时间T可由以下程序计算得到：（vc++程序原代码）

#include

double S[5];

int n[5];

double L[5];

double D,dis,w,f;

double lxzhT(int);

double v(double);

int main(){

int i;

double temp;

S[0]=L[0]=0.00;

n[0]=0;

cout<<"input L[i]"<

for(i=1;i<=4;i++)

cin>>L[i];

cout<<"input n[i]"<

for(i=1;i<=4;i++)

cin>>n[i];

cout<<"input D"<

cin>>D;

cout<<"input dis"<

cin>>temp;

cout<<"input w"<

cin>>w;

cout<<"input f"<

cin>>f;

S[1]=L[1]+w;

for(i=2;i<=4;i++)

if((L[i]+D-n[i-1]*(dis+w))<=0) //计算Si的值

S[i] = dis+w;

else S[i] = (L[i]+D-n[i-1]*(dis+w));

for(dis=temp;dis<=temp+1;) //通过重复调用lxzhT（）函数

//计算并输出dis的增量为0.01 { //时所对应的总时间T的值

cout<

dis=dis+0.01;}

return 0;

}

double lxzhT(int i) //该函数计算dis对应T的值{

if(i==0) return 0.00;

else return lxzhT(i-1)+(S[i]+n[i]*(w+dis))/v(dis);

}

double v(double dis) //该函数计算dis对应v的值{

if(dis<0.75) return dis*f;

else return 0.75*f;

}

6.人员单队疏散模型的仿真分析及检验：

二. 人员两队疏散模型

1.人员两队疏散问题分析：在教学楼的走道足够宽允许两个队伍同时撤

离的的情况下，由常识可知撤离的时间将会大为缩短。在人员单队疏

散模型的基础上，我们加入“两队”这个条件建立人员两队疏散模型。

2.人员两队疏散模型假设(SD)

SD模型的假设条件1）-- 5）与DD模型相同，增加的条件为

6）

参考书目：