数学建模实例-城市居民食品分类及零售价格预测一

第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛竞赛组委会

题目：城市居民食品分类及零售价格预测

摘要

城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，本文通过建立数学模型，根据食品价格变化的特点对附表中所列食品进行了科学的分类，并预测了2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势。

第一问中首先考虑到食品价格受季节影响较大，通过定义衡量价格对季节敏感程度的指标，先将附表中食品分为价格对季节敏感和对季节不敏感两大类，然后运用多元统计中的系统聚类分析对这两大类进行进一步的分类，最终将食品分为6小类，分类结果及各类特点详见正文表5-5.

第二问，我们分别建立指数平滑模型、马尔科夫链模型对部分（即第一问中各分类）、整体价格的走势进行预测。在对各分类的预测中，我们根据各分类食品价格走势特点，分别选取不同次数的指数平滑模型对不同类型的食品价格进行预测，预测结果见正文。在对食品整体价格的预测中，考虑到下一时期食品的价格主要受当前供求关系的影响（无后效性），建立了马尔科夫链模型。首先我们仿照CPI的含义，定义了食品零售价格指数（FPI）这个整体性的指标，通过线性加权方法得出各月的FPI，然后通过定义系统各状态与列出状态转移矩阵建立马尔科夫链模型，求解得出2011年4月份食品整体价格将快速增长（FPI涨幅超过5%），5月份食品价格仍将持续上涨，但速度会有所下降（FPI涨幅下降至1%以下）。

第三问中，根据前两问的结论，对食品零售价格的变动进行了分析，得出食品的价格总体呈现上涨的趋势主要受主食食品价格上涨的影响、5月食品价格涨势趋缓是因为大量生产夏季水果蔬菜上市的结论，并有针对性地对有关部分提出了相应的建议。

本文综合运用多种模型及方法，在分类过程中均做了定量分析，客观性较强，第二问中不仅对4、5月份价格整体趋势做了预测，还针对不同种类食品的特点对各类做了更细致的预测。

关键词：食品价格聚类分析预测指数平滑模型马尔科夫链

一、问题重述

消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。

城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，权威机构研究认为粮食生产、流通成本上涨一定会带动农产品价格总体上涨，特别是2011年异常的气候情况，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布3月份的CPI增幅达5.4%，创32个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强。

问题1：根据附录建立数学模型，将所涉及食品适当分类，并分析每类食品的特点；

问题2：根据附录建立数学模型，预测2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势；

问题3：写一篇城市居民食品零售价格情况分析和对有关部门建议的文章。

二、问题分析

消费者物价指数CPI是反映居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的物价变动指标，是一个由食品、住宅、交通通讯等部分组成的综合指标，我国CPI 构成比重中，食品占到了最大的31.29%，可见，研究食品价格的变动情况有着重要的意义。

CPI中的有着核心CPI的概念，具体是指将受气候和季节因素影响较大的产品价格剔除之后的居民消费物价指数，目前，我国对核心CPI尚未明确界定，美国是将燃料和食品价格剔除后的居民消费物价指数为核心CPI。可见，食品的价格变化受气候和季节因素影响较大。通过观察部分食品的价格走势可以看出，西瓜、油菜等水果蔬菜类价格波动对季节敏感，而大豆油、醋等调料的价格对季节变化并不敏感，食用盐由于国家经营，价格更是固定不变，因此，先将食品分为季节敏感型和季节不敏感型是必要的，这个过程可以通过自定义某种衡量价格对季节敏感程度的指标来定量分析。

在完成对季节敏感和不敏感的分类后，可以根据各类中食品价格的走势进行进一步的分类，多元统计中的聚类分析法是一种行之有效的方法。聚类分析又称群分析，是一种建立分类的多元统计方法，它能够将一批样本（或变量）根据其诸多特性，按照在性质上的亲疏程度在没有先验知识的情况下进行自动分类，产生多个分类结果。类内部个体具有相似性，不同类之间个体特征差异性较大。

根据以上分析，第一问解题思路可图示如下：

图2-1 问题一思路图

基于第一问的分析，通过各类食品数据考虑到其影响因数，比如：供求关系失衡，自然灾害（旱灾），污染等；又考虑到附件中给出了食品随时间的变化的价格数据，我们建立了指数预测模型，它的基本思想是:预测一个现象的未来变化时，用该现象的过去行为来预测未来。而且它的公式简单明了，输入数据简单；加上遵循“厚近薄远”的规则加权、修匀数据。使得数据模型具有抵御和减弱异常数据影响的功能，并使时间序列包含的历史规律显著的体现出来。

通过第一问的分类情况，分别在相应类别中取典型代表，然后用指数预测模型来预测它接下来4、5月的价格趋势，再推广至这类食品的价格趋势。当数据单纯围绕某一水平作随机跳动时，应采用一次平滑预测模型；当数据具有持续的线性增长或下降趋势时，应采用二次平滑预测模型；当数据具有持续的曲线增长或下降趋势(季节性或周期性)时，应采用三次平滑预测模型。

在对食品整体价格的预测中，考虑到下一时期食品的价格主要受当前供求关系的影响，即具有无后效性，本文建立了马尔科夫链模型。首先我们仿照CPI 的含义，定义了食品零售价格指数（FPI）这个整体性的指标，通过层次分析法确定出各类食品在此指标中所占的权重，线性加权得出各月的FPI，然后通过定义系统各状态与列出状态转移矩阵建立马尔科夫链模型进行求解。

第三问中，根据前两问的结论，对食品零售价格的变动进行了分析，得出食品的价格总体呈现上涨的趋势主要受主食食品价格上涨的影响、5月食品价格涨势趋缓是因为大量生产夏季水果蔬菜上市的结论，并有针对性地对有关部分提出了相应的建议。

三、基本假设

1.假设模型所使用的食品价格数据没有受到较大的自然灾害、非正常供需等因素的影响。

2.假设模型假设预测过程中经济按照原有模式发展，没有较大的波动。

3.假设统计数据在较大程度上反应总体的各项指标。

4.假设统计数据不受明显的经济政策变化的影响。

四、符号说明

i : 衡量食品价格对季节敏感程度大小的指标；

ij p : 为第i 种食品在第j 个季度零售价格的平均值；

i p ： 第i 种食品四个季度的均值 i z ： 标准化后的数据；

FPI ：自定义的食品价格指数； i E ： 系统的第i 个状态；

t y ： 第t 个月食品零售价格指数原始值 j P ： 表示状态是j E 时的概率

ij M ： 样本由j 状态只经过一步转移到i 状态的个数

五、模型的建立和求解

5.1 问题一的模型建立和求解

根据问题分析中对本问的分析，本问按如下步骤进行： 1. 机理分析，简要分析食品价格影响因素； 2. 定义某种衡量价格对季节敏感程度的指标，

3. 根据此指标先将食品分为价格对季节敏感和对季节不敏感两大类；

4. 运用聚类分析对已分出的两大类进一步分类，并分析特点

5.1.1 机理分析：

食品价格不仅受供求关系影响，又受季节、气候变化的影响，同时又受国内外社会经济条件的影响，不同的影响因素会导致各食品价格变化趋势迥异，

图5-2 四种食品价格随时间变化情况

上图给出了四种不同的食品价格的变化趋势，可以很明显的看出，西瓜作为夏季上市的水果，七、八月份的价格很低而冬季价格上涨很快，油菜价格也随季节有明显的变化趋势，而菜籽油价格在2010年10月以前基本不变，从10月份开始由于某种因素影响，其价格开始缓慢上升，豆腐价格除了在8月份有一次涨

价，其他时间为固定价格。

从上例可以看出，水果蔬菜类的食品由于其在特定的季节收获，其价格变化对季节敏感，而其他食品价格并没有这种特点。因此我们首先针对季节变化的影响对食品进行分类：

5.1.2 定义衡量食品价格对季节敏感程度的指标

观察可知，季节敏感型食品在不同季节价格差异较大，我们定义用来衡量食

品价格对季节敏感程度大小的指标：

i i

p ε=

（5-1）

其中：ij p 为第i 种食品在第j 个季度零售价格的平均值； i p ：第i 种食品四个季度的均值

式5-1中，分子为四个季度价格的标准差，分母为平均值（为消除量纲影响），即我们用第i 种食品四个季度价格均值的标准差的相对大小来衡量该食品价格随季节影响的大小。

5.1.3 季节敏感型和季节不敏感型的分类

先根据附表计算各食品的季节敏感性指标i ε，利用Excel 计算，步骤如下： 1) 按照中国气候，将12个月分为四个季度：春季（3月、4月、5月），

夏季（6月、7月、8月），秋季（9月、10月、11月），冬季（12月、1月、2月）；

2) 根据附表，算出每种食品每个季度的平均值ij p ； 3) 根据式5-1算出各食品的季节性指标i ω； 4) 根据i ω对各食品排序； 计算结果如下（降序排列）：

表5-1 各食品价格对季节的敏感程度

由上表可知，大白菜和西瓜价格随季节性变化最强，而食用盐由于国家经营，价格一直保持不变，人为取定0.15i ε>者为季节敏感型，0.15i α<者为季节不敏感型，即

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⎩⎨

⎧

:酱油、食用盐

、鲜牛奶、、豆腐、胡萝卜、牛肉草鱼、醋、香蕉、鲤鱼

花生油、活鸡籽油、绵白糖、鸡肉、红糖、大豆调和油、菜

、大豆油、尖椒白砂糖、鲜羊肉、苹果鲜猪肉、青椒、带鱼、季节不敏感型红柿、土豆、萝卜韭菜、蒜苔、鸡蛋、西

白菜、芦柑、豆角芹菜、茄子、黄瓜、圆大白菜、西瓜、油菜、季节敏感型

5.1.4对以分出的两类分别进行聚类分析 5.1.4.1数据处理

为了更明显地看出价格的走势情况，首先将每个月采集的三次价格求平均得到每种食品每个月的均价。为了消除量纲的影响，接着对数据进行标准化处理：

i i i

x x

z S -=

（5-2） 其中：i x 为原始数据，x 为平均值，i S 为标准差，i z 为标准化数据。可见，标准化数据反映的是变量值与变量均值的差是几个标准差单位。若i z 等于零，则表示该变量等于变量均值，若i z 小于零，则表示该变量小于变量均值，若i z 大于零，则表示该变量大于变量均值。i z 的大小表征了原始数据i x 的大小，同时消除了i x 量纲的影响。

5.1.4.2 聚类分析

聚类分析又称群分析，是一种建立分类的多元统计方法，它能够将一批样本（或变量）根据其诸多特性，按照在性质上的亲疏程度在没有先验知识的情况下进行自动分类，产生多个分类结果。类内部个体具有相似性，不同类之间个体特征差异性较大。

聚类分析内容非常丰富，有系统聚类法、有序聚类法、模糊聚类法等方法，本文采用常用系统聚类中的凝聚方式聚类。凝聚方式的过程是：首先，每个个体自成一类；然后，按照某种方法度量所有个体间的亲疏程度，并将其中最“亲密”

n-类；接下来，在此度量剩余个体和小类间的亲疏程的个体聚成一小类，形成1

度，并将当前最亲密的个体或小类再聚成一类；重复上述过程，不断地将所有个体和小类聚集成越来越大的类，直至所有个体聚到最大的一个类，类之间的亲密

n-步可以凝聚成一大类。

程度在逐渐降低，对n个个体通过1

Step 1: 利用SPSS对季节敏感型食品进行聚类

聚类分析中，个体间的“亲密”程度是极为重要的，由于在上一步已经对数据进行了标准化处理，消除了量纲的影响，也没有数量级上的差别，而且对于不同食品而言，其价格之间的并没有较强的相关性，故本文使用常用的欧式距离来衡量个体间的“亲密”程度。两个体(,)

x y间的欧氏距离定义为两个体k个变量之差的平方根：

(,)

EUCLID x y=

利用SPSS分别对S类和NS类进行系统聚类，选择SPSS菜单中【Analyze】→【Classify】→【Hierarchical Cluster】，在Cluster Method选项中选择欧氏距离，输出的凝聚状态表见附录1（树形图较杂乱，省略）。

Step 2: 确定聚类数目

SPSS系统聚类其实是将所有可能的聚类解全部输出了，如何确定聚类数目是一个关键。我们利用碎石图这个辅助工具来确定，碎石图横轴为各类之间的距离，纵轴为聚类数目，根据状态凝聚表，容易画出碎石图：

图5-3聚类碎石图

由上图（图5-1）可以看出，随着类的不断凝聚，类数目在减小，类间的距离在逐渐增大，在形成3类前，类间距离增大的幅度较小，形成较为“陡峭的山峰”，但到3类以后，形成极为“平坦的碎石路”。根据类间距离小形成类的相似性大，类间距离大形成类的相似性小的原则，找到“山脚”下“拐点”处的碎石，以它作为确定分类数目的参考。上图中，拐点处为3类，故可将季节敏感型的食物再细分为三类：

表5-2 价格对季节敏感型食物的聚类结果

为分析各类的特点，从以上三类中各选一种代表性食品做出价格走势图，可以清晰地看出，以西瓜为代表的第一类食品，在仲夏上市，因此价格在7、8月最低，1、2月最高；以芹菜为代表的第二类食品，在晚春上市，因此价格在5、6月最低；以油菜为代表的第三类食品，在初春上市，因此2、3月价格最低。

图5-4 三种典型食物的价格走势图

同理，根据聚类分析的输出结果，将对价格对季节不敏感食物分为四类以及各类的特点汇总如下表：

表5-3 价格对季节不敏感食品初步聚类结果及其特点

上表中第二类和第三类均为价格波动型（只是波动规律不同），综合理论计算与实际特点，将第二类和第三类合为一类（即价格波动型），最后将对季节不敏感食物分为三类，结果如表5-4所示：

表5-4 价格对季节不敏感食品最终分类结果

综合以上各步骤，得到最终的分类结果以及各类特点如表5-5所示：

表5-5 所有食品最终分类结果及特点

季节性敏感型

第一类（仲夏上市型）西瓜、西红柿、茄子、黄瓜、豆角

第二类（晚春季上市型）芹菜、土豆、芦柑、圆白菜、韭菜、蒜苔第三类（冬春上市型）大白菜、萝卜、油菜

季节不敏感型第一类（上升型）

鲜猪肉（肋条）、鲜猪肉（精肉）、鲜羊肉

（去骨）、鲜羊肉（带骨）、鲜牛肉、大豆

油、花生油、菜籽油、大豆调和油、草鱼、

鲤鱼、苹果、红糖、绵白糖、豆腐、白砂糖第二类（波动型）

青椒、尖椒、香蕉、胡萝卜、酱油、醋、鸡

肉、带鱼

第三类（不变型）食用盐

5.2 问题二的模型建立和求解

5.2.1对各分类食品价格进行预测

基于第一问的分析，通过各类食品数据考虑到其影响因数，比如：供求关系失衡，自然灾害（旱灾），污染等；又考虑到附件中给出了食品随时间的变化的价格数据，我们建立了指数预测模型，用指数平滑模型对各分类进行预测。在对各分类的预测中，我们根据各分类食品价格走势特点，选取一次指数平滑模型对数据变化不大的一类食品（如酱油）进行预测；选取二次指数平滑模型对时间序列有波动、数据具有持续增长趋势的一类食品（如花生油）进行预测；选取三次指数平滑模型对季节性波动较大的一类食品（如西瓜）进行预测。

一、单指数预测模型

（1）模型的建立

单指数平滑具有一个平滑参数，适合对具有平稳特性的时间序列数据进行拟合和预测，其中数据的平稳特性是指数据的变化波动不大，只是单纯围绕某一水平作随机跳动。

单指数平滑预测模型的基本公式：

其中各参数意义如下：

：时间t的指数平滑值；

：时间t-1 的实际数据值；

：时间t-1的指数平滑值；

：平滑常数，又叫加权系数，,的取值直接反应了预测平滑程度；

（2）模型解法及预测

因该模型限制数据的平稳特性是指数据的变化波动不大，只是单纯围绕某一水平作随机跳动，所以我们现取季节不敏感型第二类（波动型）中的典型代表：酱油和第三类（不变型）代表食用盐。

平滑公式：用表示时间t 的实际数据值,表示时间t的指数平滑值,

对于序列中任一时刻点t，平滑值的平滑计算公式:

初始化：模型平滑的起始平滑点是，一般有两种方法进行初始化，一种方法是，另一种方法是取实际点的前四个或者前五个的平均值。本次选取前一种方法进行初始化，即。

现对如上公式进行拓展，见下：

然后接着代替，，如此递归知道，得到如下递推公式：

对上式用matlab计算得知：当值为0.6时，其在13个数据点的M最小，下图表示不同值与其对应的M的关系。已知定义M为预测值（指数平滑值）与真实值（实际数据值）的差值的绝对值之和。程序见附录1。

图5-5 不同值与M的对应关系图

当取平滑参数时，2010-3～2011-3酱油预测价格和实际价格走势如下图，其相对应平滑值见下表。特别地，食用盐不随时间变化，所以它的零售价格不变。

图5-6 2010-3～2011-3酱油预测价格和实际价格走势

从上图和上表中可以看出：这类食品零售价格在4、5月份时波动不大，趋于平稳，和前几月零售价格相近。特别地，食用盐零售价格则基本不变，与以前持平。见下表。

表5-6 2011年4、5月酱油和食用盐预测平均价格(标准化) 时间2011年4月2011年5月

序号 1 2

预测值酱油 5.22993 5.23293 食用盐 1.3 1.3

二、双指数预测模型：

（1）模型的建立：

在单指数平滑预测公式中，无论是一步预测还是多步预测都使用同一公式，这对没有趋势的稳定序列是可行的。但是，若是用在上升或下降趋势明显的需求序列上就不够理想。二次指数平滑就是为弥补这种缺陷而设计的一种方法，但它不是直接用于序列预测的方法，而是为计算有线性趋势的线性预测方程的系数服务的。

双指数平滑预测模型的基本公式：

接着我们建立预测的函数：

其中:

T: 预期超前期数

（2）模型的解法：

由于双指数模型对数据的要求是：有明显的上升或下降趋势。所以它比较适合季节不敏感型的第一类（上升型），现取典型代表花生油来说明和预测。

我们先分析不同值时，其对应的预测值与实际值的拟合程度，然后找到最适合的值，使得预测值与实际值最接近。由matlab计算得到下图，可知

时最符合要求。已知定义M为预测值（指数平滑值）与真实值（实际数据值）的差值的绝对值之和。程序见附录2。

图5-7 不同值与M的对应关系图

当取平滑参数时，花生油预测价格和实际价格走势如下图。

图5-8 2010-3～2011-3花生油预测价格和实际价格走势

下表是利用双指数平滑预测模型对花生油零售价格的一次和二次平滑值(取)。

表5-7 利用指数平滑模型对花生油零售价格得出的平滑值

序号时间价格(标

准化)

1 2010-3 95.633 95.63333---

2 2010-4 95.606 95.6033395.60633

3 2010-5 95.641 95.6453395.64143

4 2010-6 98.103 98.3765398.10302

5 2010-7 99.458 99.6096599.45899

6 2010-8 100.13

7 100.21297100.13757

7 2010-9 101.798 101.98330101.79872

8 2010-10 102.791 102.90133102.79107

9 2010-11 106.920 107.37913106.92033

10 2010-12 112.963 113.63491112.96345

11 2011-1 114.811 115.01649114.81119

12 2011-2 116.481 116.66665116.48110

13 2011-3 116.796 116.83166116.79661

（3）价格的预测：

根据以上计算结果，选2011年3月为基年，可得到花生油的二次指数平滑的各参数为：

；

通过上述各参数值得到预测函数：

用该模型拟合 2010-3～2011-3 的数据，取 2011年3月为T＝0，则2011年2月T＝-1， 2011年1月T＝-2，依此类推，该模型对实际值有较好的拟合效果。见下图。

图5-9 2010-3～2011-3期间花生油的预测值和实际值的拟合图

所以，根据该模型我们可以预测 2011年4、5月份的花生油零售平均价格。见下表。

表5-8 2011年4、5月花生油预测平均价格（标准化）时间2011年4月2011年5月

序号 1 2

预测值117.18223 117.49774

从上表以及上图中可以类推出相同类型的食品价格的趋势。食用油将持续上升，但上升速度趋势相对缓慢；肉类食品也将持续上升至渐趋于稳定。

三、三次指数平滑预测模型

（1）模型的建立

双指数平滑模型虽然适合于具有趋势的时间序列数据拟合和预测，但不适合具有季节周期特性的时间序列数据的拟合和预测，为了对具有季节周期特性的数据进行拟合和预测，需要引入新的参数，这就是三次指数平滑预测模型。其模型的基本公式：

接着我们建立预测的函数：

设n 个原始数据组成一时间序列为：,三次指数平滑模型的预测函数为：

其中：

T: 预期超前期数

（2）模型的解法：

三指数预测具有三个参数，适合于具有趋势和季节性或周期性特性时间序列的预测，也称为季节性预测。由第一问解法中可知：选季节性敏感型中的典型代表西瓜可以说明问题和得到准确预测。

同样，我们先对进行分析。已知对于季节性变化的，宜选择较大值，如可在0.6～0.8 间选值，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化。

现用matlab计算得到下图，可知时最符合要求。已知定义M为预测值（指数平滑值）与真实值（实际数据值）的差值的绝对值之和。程序见附录3。

图5-10 不同值与M的对应关系图

当取平滑参数时，西瓜价格走势与实际走势见下图。

图5-11 2010-3～2011-3西瓜预测价格和实际价格走势下表是利用三指数平滑预测模型对西瓜零售价格得出的三次平滑值(取)。

表5-9 利用指数平滑模型对西瓜零售价格作出的平滑值

序号年份价格(标准化)

1 2010-3 5.75 5.75000 -- --

2 2010-4 4.62267

3 3.44933 4.13953 4.62267

3 2010-5 3.617226 2.77780 3.18632 3.61723

4 2010-6 2.785748 2.10501 2.42940 2.78575

5 2010-7 2.172121 1.68617 1.90914 2.17212

6 2010-8 1.454772 0.82085 1.14734 1.45477

7 2010-9 1.262231 1.19359 1.17971 1.26223

8 2010-10 1.358671 1.49441 1.40000 1.35867

9 2010-11 3.733879 3.18832 3.75183 3.73388

10 2010-12 3.783474 3.39883 3.80473 3.78347

11 2011-1 3.213417 2.61098 2.96911 3.21342

12 2011-2 3.837998 2.55196 2.67710 2.83800

13 2011-3 4.121132 3.52559 3.47104 3.42113

（3）价格的预测：

根据以上计算结果，选2011年3月为基年，可得到西瓜的三次指数平滑的各参数为：

通过各参数得到预测函数：

用该模型拟合 2010-3～2011-3 的数据，取 2011年3月为T ＝0，则2011 年2月T ＝-1， 2011年1月T ＝-2，依此类推，该模型对实际值有较好的拟合效果。

所以，根据该模型我们可以预测 2011年4、5月份的花生油零售平均价格。见下表。

表5-10 2011年4、5月西瓜预测平均价格（标准化）

时间 2011年4月

2011年5月

序号 1 2 预测值

3.75898

3.95844

从上表中可以类推出季节敏感型食品的零售价格趋势：在盛产期，相应的食品价格下降，下降至一定值后持续稳定，然后由于供不应求（淡季）时，相应食品将持续上涨，一直到最后稳定，这样周而复始。

5.2.2 对整体的价格趋势进行预测

以上运用指数平滑预测法对不同种类的食品进行了预测，接下来我们对附录中所有食品价格的整体趋势作出预测。 一、整体价格指数的确定

为了对整体进行分析预测，仿照消费物价指数CPI 的定义，我们定义食品零售价格指数FPI （Food Price Index ）:

%100按基期价格计基期价格

一组组固按当期价格计当期价一组FPI ⨯=

食品值

固定食品

对于CPI ，包含了食品、娱乐教育文化、居住、交通通讯等内容，各内容所占比重根据其对整个居民消费影响力大小不同而不同，具体比例由国家统计局公布；同样，对于本文中定义的FPI ，也包含了第一问所分各类，下面本文利用层次分析法确定各类的权重。各层次结构如下图所示：