第九章 数字信号处理的有限字长效应
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把一个离散系统的数据认为事无限精度的系统称作 取样数据系统；若离散系统的数据是有限字长，则此系统 就是数字系统。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
对于一个数字系统，由于本应为无限精度 的数据变为有限字长来进行处理，因此肯定会 对系统的特性产生一定影响，这就是有限字长 效应问题。这个问题本来是数字信号处理中的 一个重要问题，但是，随着计算机和微处理器 技术的飞速发展，运算速度和运算精度都在不 断提高，使得有限字长效应的重要性已逐渐降 低。不过，在数字信号处理的一些实际应用中， 这个问题还是存在的，因此，有必要了解它的 影响以及降低影响的一些方法。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.2 定点制舍入处理的量化特性
由图9.2可知定点制舍入处理的量化误差er的范围为： -q/2<er≤q/2
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.2 A/D变换的字长效应
所谓A/D变换即由模拟到数字的变换，一般可分为两步，即抽样与
量化编码。抽样数据信号x(n)=xa(nTs)的每个抽样值的精度是无限的，
q 1 2 12 12
2 e
2
2 L
1 2 3
2 ( L 1 )
8.10
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
首先来分析一阶IIR滤波器：
y ( n) ay(n 1) x( n),
| a | 1
9.11
其中含有乘积项ay(n-1)。可以将与系数a相乘后乘积的舍入 误差所产生的影响等效为存在噪声源e(n)，如图9.6所示。
1 1 C
8.14
可用留数定理计算，被积函数为：
z 1 H ( z ) H ( z 1 ) z 1
z z 1 1 z a z 1 a ( z a)(1 az)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
选单位园为积分围线C，故被积函数在C内只有一个极点，
e2 2 f
0
H (e ) d
j
2
(9.7)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3
乘积误差的影响
y(n)=a x(n)
在数字网络中，典型的乘法运算可以表示为：
这里x(n)为数据值，a为乘法器系数。一般来说，每次相乘后要对乘 积作舍入或截尾处理。
图 9.5 相乘运算的统计模型
即z=a，于是有：
1 I Re s[ z H ( z ) H ( z ), z a] 1 az
1 1
z a
1 1 a2
代入 (9.13) 式可得
2 2 ( L 1) 2 f 3(1 a 2 )
由于乘积的舍入而产生的误差中，直接型最大，级联型次 之，并联型最小；这是各种结构中所有舍入误差所通过网
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
相乘后的实际结果为：
ˆ y n Q y n y n en axn en
由9.1节，舍入误差范围为：
8.8
Leabharlann Baidu
1 1 2 e(n) 2 2 2
L
L
8.9
e(n)的统计特性可利用9.2节的假设，故其均值为0，方差为：
返回
图 9.3 A/D 变换的模型
为了对此模型进行统计分析，要对量化误差序列e(n)作如下假设： 1) e(n)是一个平稳随机序列； 2) e(n)与信号x(n)不相关； 3) e(n)本身样值间不相关，即为白噪声过程； 4) e(n)具有等概率密度分布（在一定的量化间距上）。 我们将e(n)作为量化噪声，它是白噪声，量化后的信号可以等 效为无限精度信号与一噪声相叠加。量化噪声的均值和方差： 舍入时： 均值
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
定点表示法
所谓定点表示法，是指在计算机中所有数的小数点的位置人为约 定固定不变。这样，小数点的位置就不必用记号“．”表示出来了。 一般地说，小数点可约定固定在任何数位之后，但常用下列两种形式：
显然，定点数表示法使计算机只能处理纯整数或纯小数，限制了计 算机处理数据的范围。为了使得计算机能够处理任意数，我们事先要 将参加运算的数乘上一个"比例因子"，转化成纯小数或纯整数后进行 运算。运算结果比例因子还原成实际数值。比例因子要取得合适，使 参加运算的数、运算的中间结果以及最后结果都在该定点数所能表示 的数值范围之内。
x(n)
ˆ y ( n)
z 1
a
e(n) 图 9.6 一阶IIR 滤波器的统计模型
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
滤波器实际的输出为：
ˆ y n y n f n
2 2 1
8.12
1 2 e
根据9.2.2节，可以求出输出噪声f(n)的方差（功率）为：
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.13 FIR 滤波器的横截型结构以及其中的相乘误差
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
设y(n)是FIR滤波器在无限精度情况下的输出，而y(n)是乘 积为有限精度情况下的输出，f(n)为输出噪声，于是有：
ˆ y n y n f n
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.1.3 量化误差
数的定点表示：设寄存器长L+1位，则除了一位符号位
外，可表示的最小数为q=2-L，这个值称为量化间距。若 要处理的数有M+1位（含符号位），且M>L，则这个数要存 储于寄存器中就必须被量化。有两种量化方法：截尾和舍 入。截尾就是将寄存器容纳不下的低位数截断；舍入是在 数据的L+1位上加1，然后截断为L位。 可见，在定点制中可表示的数的位数由寄存器的长度 决定。 当数x被量化时，就引入误差e，有：
第九章 数字信号处理中 的有限字长效应
理工学院
9.1 引言
9.1.1 数字系统与有限字长效应
前面的内容，都只是涉及信号在时间上是离散的这一 特征，并没有涉及数值上离散的特征。而对于真正的数字 信号的处理，只需要在前面所讨论的离散时间信号处理的 原理和方法的基础上，加入字长效应的影响。实际实现一 个离散系统时，无论是软件还是硬件方式，都是以数字形 式实现的，都要对数据进行量化处理（即用有限字长来表 示），量化后的数据是有限精度的。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.1.2 关于数的表示
进行数字信号处理时，数的表示有定点制和浮点 制两种。 浮点制运算比定点制运算的动态范围大，处理精 度高，但实现较复杂而且运算速度较慢，因而常 用于计算机上的软件实现，进行非实时处理。 在实时处理中定点制运算得到广泛应用，因为它 运算速度较快而且硬件实现较经济，但是由于定 点运算的动态范围和处理精度受限制较大，因而 有限字长效应问题比较突出。本章主要讨论定点 制算法的有限字长效应。
定义:白噪声是指 功率谱密度在整个 频域内均匀分布的 噪声
me 0,
补码截尾时： 均值
me q 2 ,
方差 e q 2 12
2
方差 e q 2 12
2
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.4 量化噪声的概率密度函数
而信号功率与噪声功率之比即信噪比为：
12 2 2 12
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
（2）浮点表示法 在浮点表示法中，小数点的位置是浮动的。为了使小数点可以自 由浮动，浮点数由两部分组成，即尾数部分与阶数部分。
其中，尾数部分表示该浮点数的全部有效数字，它是一个有符号位 的纯小数；阶数部分指明了浮点数实际小数点的位置与尾数（定点纯 小数）约定的小数点位置之间的位移量P。该位移量P（阶数）是一 个有符号位的纯小数。 当阶数当为+P时，则表示小数点向右移动P位；当阶数为－P时， 则表示小数点和左移动P位。因此，浮点数的小数点随着P的符号和 大小而自由浮动。 从上述可知，一个浮点数是由两个定点数组合而成的。而一个定 点也可以看成是浮点数的一个特例。即当浮点数的阶数部分为零时 （表示访数实际小数点的位置与定点小数约定位置一致），这样，浮 点数只剩下尾数部分了。同理，定点数表示法是浮点数表示法的基础， 而浮点数表示法是定点数表示法的应用
e Q[ x] x
其中Q[x]为x的量化值，即经截尾或者舍入后的值。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
(9.1)
图 9.1 定点制截尾处理的量化特性
由图9.1可知，定点制截尾处理的量化误差et的范围为： 补码： -q<et≤0 原码、反码： 当 x>0时， -q<et ≤0 当 x<0时， 0≤et<q
1 z H ( z ) H ( z )dz I 2j
f e C
8.13
这里σ e2 如式 (9.10) 所示。H(z)为系统的传递函数，有：
1 z H ( z) 1 1 az za
(9.13)式中的
1 I z H ( z ) H ( z )dz 2j
e2 2 z 1 H ( z ) H ( z 1 )dz f 2j C
(9.6)
这个积分可以用留数定理来计算，其中积分围线C是在H(z)与H(z-1) 的公共收敛域内的一条围绕原点的闭合曲线。如果H(z)是稳定系统， 则可选单位园为围线C，将z=ejω 代入(9.6)式，可以得到：
9.2.2
线性时不变系统对量化噪声的响应
当已量化的信号通过一LTI系统H(z)时，由于实际的输入信号如 (9.2)式所示，故输出信号为：
ˆ y n y n f n
(9.5)
其中y(n)是此线性系统对无限精度信号x(n)的响应，f(n)是系统对量 化噪声e(n)的响应，故f(n)为输出噪声。输出噪声的功率为：
1 2 q N 12
(9.32)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.4 系数的量化效应
在实现数字滤波器时，系数的精度都要受到存储器字长 的限制，系数的量化误差必然使系统函数的零极点位置发 生偏差，也必然使频率响应发生偏差；在IIR滤波器的情 况下，还可能使某些极点从单位圆内移出，从而导致系统 不稳定。本节主要讨论系数的量化误差对IIR滤波器极点 位置的影响。
2 2 x x 2L 2 2 L
2 x
用对数表示：
e
x2 2 SNR 10 log10 2 6.02 L 10 .79 10 log10 x e
(9.4)
因此，寄存器长度每增加一位（L加上1），信噪比约提高6db。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
络的反馈环节的积累不同的结果。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3.2 FIR滤波器的有限字长效应
一个N阶FIR滤波器的系统函数为：
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
其差分方程为：
y (n) h(i ) x(n i )
i 0
N 1
FIR滤波器的横截型结构是对其差分方程和系统函数的直接实现， 图9.13中的em(n)(m=0,1,…,N-1)是每次相乘后所产生的舍入噪声， 所有这些噪声都直接加在输出端，因而总的输出噪声就是这些噪声 的简单求和。
（9.29）
每一次相乘后产生一个舍入噪声，故实际的输出为
ˆ y ( n) Q[ h(i ) x ( n i )] h(i ) x ( n i ) e ( n)
m 0 m 0 m 0 m
N 1
N 1
N 1
y ( n) e ( n)
m 0 m
N 1
8.30
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
比较(9.29)式和(9.30)式，可得：
故输出噪声的方差（功率）为：
f (n) ei (n)
i 0
N 1
(9.31)
f N e
2
2
因此，字长越短，滤波器阶数越高，由乘积误差所产生的输 出噪声就越大。 对于乘积在补码截尾处理下所产生的误差，除了输出噪声不再具 有零均值之外，其分析和计算完全可以同样进行。
经过量化编码之后，成为有限精度的数字信号。 9.2.1 量化效应的统计分析
A/D变换的结果一般都用定点制补码来表示。量化方法无论采取截
尾还是舍入，其误差都可以表示为：e=Q[x]-x。因此，量化后的抽样
值可以表示为：
x^(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n) （9.2）
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
对于一个数字系统，由于本应为无限精度 的数据变为有限字长来进行处理，因此肯定会 对系统的特性产生一定影响，这就是有限字长 效应问题。这个问题本来是数字信号处理中的 一个重要问题，但是，随着计算机和微处理器 技术的飞速发展，运算速度和运算精度都在不 断提高，使得有限字长效应的重要性已逐渐降 低。不过，在数字信号处理的一些实际应用中， 这个问题还是存在的，因此，有必要了解它的 影响以及降低影响的一些方法。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.2 定点制舍入处理的量化特性
由图9.2可知定点制舍入处理的量化误差er的范围为： -q/2<er≤q/2
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.2 A/D变换的字长效应
所谓A/D变换即由模拟到数字的变换，一般可分为两步，即抽样与
量化编码。抽样数据信号x(n)=xa(nTs)的每个抽样值的精度是无限的，
q 1 2 12 12
2 e
2
2 L
1 2 3
2 ( L 1 )
8.10
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3.1 IIR滤波器的有限字长效应
首先来分析一阶IIR滤波器：
y ( n) ay(n 1) x( n),
| a | 1
9.11
其中含有乘积项ay(n-1)。可以将与系数a相乘后乘积的舍入 误差所产生的影响等效为存在噪声源e(n)，如图9.6所示。
1 1 C
8.14
可用留数定理计算，被积函数为：
z 1 H ( z ) H ( z 1 ) z 1
z z 1 1 z a z 1 a ( z a)(1 az)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
选单位园为积分围线C，故被积函数在C内只有一个极点，
e2 2 f
0
H (e ) d
j
2
(9.7)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3
乘积误差的影响
y(n)=a x(n)
在数字网络中，典型的乘法运算可以表示为：
这里x(n)为数据值，a为乘法器系数。一般来说，每次相乘后要对乘 积作舍入或截尾处理。
图 9.5 相乘运算的统计模型
即z=a，于是有：
1 I Re s[ z H ( z ) H ( z ), z a] 1 az
1 1
z a
1 1 a2
代入 (9.13) 式可得
2 2 ( L 1) 2 f 3(1 a 2 )
由于乘积的舍入而产生的误差中，直接型最大，级联型次 之，并联型最小；这是各种结构中所有舍入误差所通过网
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
相乘后的实际结果为：
ˆ y n Q y n y n en axn en
由9.1节，舍入误差范围为：
8.8
Leabharlann Baidu
1 1 2 e(n) 2 2 2
L
L
8.9
e(n)的统计特性可利用9.2节的假设，故其均值为0，方差为：
返回
图 9.3 A/D 变换的模型
为了对此模型进行统计分析，要对量化误差序列e(n)作如下假设： 1) e(n)是一个平稳随机序列； 2) e(n)与信号x(n)不相关； 3) e(n)本身样值间不相关，即为白噪声过程； 4) e(n)具有等概率密度分布（在一定的量化间距上）。 我们将e(n)作为量化噪声，它是白噪声，量化后的信号可以等 效为无限精度信号与一噪声相叠加。量化噪声的均值和方差： 舍入时： 均值
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
定点表示法
所谓定点表示法，是指在计算机中所有数的小数点的位置人为约 定固定不变。这样，小数点的位置就不必用记号“．”表示出来了。 一般地说，小数点可约定固定在任何数位之后，但常用下列两种形式：
显然，定点数表示法使计算机只能处理纯整数或纯小数，限制了计 算机处理数据的范围。为了使得计算机能够处理任意数，我们事先要 将参加运算的数乘上一个"比例因子"，转化成纯小数或纯整数后进行 运算。运算结果比例因子还原成实际数值。比例因子要取得合适，使 参加运算的数、运算的中间结果以及最后结果都在该定点数所能表示 的数值范围之内。
x(n)
ˆ y ( n)
z 1
a
e(n) 图 9.6 一阶IIR 滤波器的统计模型
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
滤波器实际的输出为：
ˆ y n y n f n
2 2 1
8.12
1 2 e
根据9.2.2节，可以求出输出噪声f(n)的方差（功率）为：
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.13 FIR 滤波器的横截型结构以及其中的相乘误差
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
设y(n)是FIR滤波器在无限精度情况下的输出，而y(n)是乘 积为有限精度情况下的输出，f(n)为输出噪声，于是有：
ˆ y n y n f n
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.1.3 量化误差
数的定点表示：设寄存器长L+1位，则除了一位符号位
外，可表示的最小数为q=2-L，这个值称为量化间距。若 要处理的数有M+1位（含符号位），且M>L，则这个数要存 储于寄存器中就必须被量化。有两种量化方法：截尾和舍 入。截尾就是将寄存器容纳不下的低位数截断；舍入是在 数据的L+1位上加1，然后截断为L位。 可见，在定点制中可表示的数的位数由寄存器的长度 决定。 当数x被量化时，就引入误差e，有：
第九章 数字信号处理中 的有限字长效应
理工学院
9.1 引言
9.1.1 数字系统与有限字长效应
前面的内容，都只是涉及信号在时间上是离散的这一 特征，并没有涉及数值上离散的特征。而对于真正的数字 信号的处理，只需要在前面所讨论的离散时间信号处理的 原理和方法的基础上，加入字长效应的影响。实际实现一 个离散系统时，无论是软件还是硬件方式，都是以数字形 式实现的，都要对数据进行量化处理（即用有限字长来表 示），量化后的数据是有限精度的。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.1.2 关于数的表示
进行数字信号处理时，数的表示有定点制和浮点 制两种。 浮点制运算比定点制运算的动态范围大，处理精 度高，但实现较复杂而且运算速度较慢，因而常 用于计算机上的软件实现，进行非实时处理。 在实时处理中定点制运算得到广泛应用，因为它 运算速度较快而且硬件实现较经济，但是由于定 点运算的动态范围和处理精度受限制较大，因而 有限字长效应问题比较突出。本章主要讨论定点 制算法的有限字长效应。
定义:白噪声是指 功率谱密度在整个 频域内均匀分布的 噪声
me 0,
补码截尾时： 均值
me q 2 ,
方差 e q 2 12
2
方差 e q 2 12
2
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
图 9.4 量化噪声的概率密度函数
而信号功率与噪声功率之比即信噪比为：
12 2 2 12
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
（2）浮点表示法 在浮点表示法中，小数点的位置是浮动的。为了使小数点可以自 由浮动，浮点数由两部分组成，即尾数部分与阶数部分。
其中，尾数部分表示该浮点数的全部有效数字，它是一个有符号位 的纯小数；阶数部分指明了浮点数实际小数点的位置与尾数（定点纯 小数）约定的小数点位置之间的位移量P。该位移量P（阶数）是一 个有符号位的纯小数。 当阶数当为+P时，则表示小数点向右移动P位；当阶数为－P时， 则表示小数点和左移动P位。因此，浮点数的小数点随着P的符号和 大小而自由浮动。 从上述可知，一个浮点数是由两个定点数组合而成的。而一个定 点也可以看成是浮点数的一个特例。即当浮点数的阶数部分为零时 （表示访数实际小数点的位置与定点小数约定位置一致），这样，浮 点数只剩下尾数部分了。同理，定点数表示法是浮点数表示法的基础， 而浮点数表示法是定点数表示法的应用
e Q[ x] x
其中Q[x]为x的量化值，即经截尾或者舍入后的值。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
(9.1)
图 9.1 定点制截尾处理的量化特性
由图9.1可知，定点制截尾处理的量化误差et的范围为： 补码： -q<et≤0 原码、反码： 当 x>0时， -q<et ≤0 当 x<0时， 0≤et<q
1 z H ( z ) H ( z )dz I 2j
f e C
8.13
这里σ e2 如式 (9.10) 所示。H(z)为系统的传递函数，有：
1 z H ( z) 1 1 az za
(9.13)式中的
1 I z H ( z ) H ( z )dz 2j
e2 2 z 1 H ( z ) H ( z 1 )dz f 2j C
(9.6)
这个积分可以用留数定理来计算，其中积分围线C是在H(z)与H(z-1) 的公共收敛域内的一条围绕原点的闭合曲线。如果H(z)是稳定系统， 则可选单位园为围线C，将z=ejω 代入(9.6)式，可以得到：
9.2.2
线性时不变系统对量化噪声的响应
当已量化的信号通过一LTI系统H(z)时，由于实际的输入信号如 (9.2)式所示，故输出信号为：
ˆ y n y n f n
(9.5)
其中y(n)是此线性系统对无限精度信号x(n)的响应，f(n)是系统对量 化噪声e(n)的响应，故f(n)为输出噪声。输出噪声的功率为：
1 2 q N 12
(9.32)
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.4 系数的量化效应
在实现数字滤波器时，系数的精度都要受到存储器字长 的限制，系数的量化误差必然使系统函数的零极点位置发 生偏差，也必然使频率响应发生偏差；在IIR滤波器的情 况下，还可能使某些极点从单位圆内移出，从而导致系统 不稳定。本节主要讨论系数的量化误差对IIR滤波器极点 位置的影响。
2 2 x x 2L 2 2 L
2 x
用对数表示：
e
x2 2 SNR 10 log10 2 6.02 L 10 .79 10 log10 x e
(9.4)
因此，寄存器长度每增加一位（L加上1），信噪比约提高6db。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
络的反馈环节的积累不同的结果。
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
9.3.2 FIR滤波器的有限字长效应
一个N阶FIR滤波器的系统函数为：
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
其差分方程为：
y (n) h(i ) x(n i )
i 0
N 1
FIR滤波器的横截型结构是对其差分方程和系统函数的直接实现， 图9.13中的em(n)(m=0,1,…,N-1)是每次相乘后所产生的舍入噪声， 所有这些噪声都直接加在输出端，因而总的输出噪声就是这些噪声 的简单求和。
（9.29）
每一次相乘后产生一个舍入噪声，故实际的输出为
ˆ y ( n) Q[ h(i ) x ( n i )] h(i ) x ( n i ) e ( n)
m 0 m 0 m 0 m
N 1
N 1
N 1
y ( n) e ( n)
m 0 m
N 1
8.30
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——
比较(9.29)式和(9.30)式，可得：
故输出噪声的方差（功率）为：
f (n) ei (n)
i 0
N 1
(9.31)
f N e
2
2
因此，字长越短，滤波器阶数越高，由乘积误差所产生的输 出噪声就越大。 对于乘积在补码截尾处理下所产生的误差，除了输出噪声不再具 有零均值之外，其分析和计算完全可以同样进行。
经过量化编码之后，成为有限精度的数字信号。 9.2.1 量化效应的统计分析
A/D变换的结果一般都用定点制补码来表示。量化方法无论采取截
尾还是舍入，其误差都可以表示为：e=Q[x]-x。因此，量化后的抽样
值可以表示为：
x^(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n) （9.2）
——第九章 数字信号处理中的有限字长效应——