近世代数参考答案

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案

一、判断题（每题4分，共60分）

1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（ √ ）

2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ × ）

3、两个子群的交一定还是子群。（ × ）

4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。（ √ ）

5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。（ √ ）

6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。（ × ）

7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈，都有 1gHg H -= （ √ ）

8、唯一分解环必是主理想环。( × )

9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。 （ √ ）

10、欧氏环必是主理想环。（ √ ）

11、整环中，不可约元一定是素元。（ √ ）

12、子群的并集必是子群。（ × ）

13、任何群都同构于某个变化群。( √ )

14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。( √ )

15、集合,A Z B N ==，::2f A B n

n →+是从A 到B 的映射。（ × ）

二、证明题（每题20分，共300分）

1Q 上的最小多项式。

解：令=u 32==u u .

于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .

移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .

这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q .

又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，

知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及

[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ，

故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.

2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。 解：因为(a)为循环群，所以(a)为交换群，

又因为32的所有正整数因子为：1,2,4,8,16,26.

所以循环群(a)的所有子群为循环子群：

}{)())()()((),(),(03616842e a a a a a a a ==

并且这些子群都是不变子群。

3、记*\{0}C C =表示非零复数集合, {|}i U e R θθ=∈是模为1的复数集合, R +表示正实数集合,证明*/C U R +≅ 。

证明: Step(1) 证明*C 关于复数的乘法构成群

a) 因为*1C ∈,所以*C 非空

b) 易知,复数的乘法是***C C C ⨯→的一个映射,从而它是*C 上

的一个二元代数系统

c) *,,C αβγ∀∈ ()()αβγαβγ=成立,从而满足结合律

d) *C α∀∈,有11ααα==,所以1是单位元

e) *i re C θ∀∈,有1()()1i i re e r

θθ-=,所以*C 中任意元素均有逆元 综合以上五点可知, *C 关于复数的乘法构成群

Step(2) 证明 U 是*C 的正规子群

a) 可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证

明是子群即可

b) 12,i i e e U θθ∀∈,有12121()i i i e e e U θθθθ--=∈成立

综合上述两点,即知U 是*C 的正规子群

Step(3) 证明*/C U R +≅

a) 已证*C 关于复数的乘法构成群,U 是*C 的正规子群,且易知

R +关于数的乘法构成群

b) 定义:*()i C R re r ϕθϕ+−−→=，,可知ϕ是映射

c) 12*12,i i re r e C θθ∀∈,1212121212()()()i i i i re r e re r e rr θθθθϕϕϕ==,所以

ϕ是群同态

d) r R +∀∈,存在*r C ∈使得()r r ϕ=,所以ϕ是满射

e) 可知*ker(){|()1}i i re C re U θθϕϕ=∈==

综合上述几点,根据群同态基本定理,可知*/C U R +≅

4、设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环][x R 中把

])2[]5])([3[]7[]2([23+--+x x x x 计算出来，

并求]7[]2[]5[]4[)(234+-+-=x x x x x f 的导数。

解：R 是模8的剩余类环

（1）]6[]6[]7[]2[]2[]

6[]3[]7[]6[]7[]3[]4[]2[]2[]2][3[]3[]5][3[]2][7[]7[]5][7[]2][2[]2[]5][2[])

2[]5])([3[]7[]2([234522334522334523-+-+-=-+-+-++-=-+-+-++-=+--+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

（2）多项式]7[]2[]5[]4[)(234+-+-=x x x x x f 的导数为

]

2[]2[]4[]4[]2[]5[2]4[3]1[4)(2323-+-=-+-='x x x x x x x f

5、证明Q Q =

证明：（1）Step1，求零化多项式，令u =