高职高专 高等数学 导数 导数的概念 说课课件
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（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探 索新知识.
《《
五、教学设想
创设情景，引入新课
问题一：自由落体运动中瞬时速度问题
如图，求 t0时刻的瞬时速度.取一邻近于t0 的时刻t
运动时间 t, 平均速度 v Δs s(t0 Δt) s(t0 )
Δt
Δt
当
t
t
时，取极限得瞬时速度
0
v lim Δs lim s(t0 Δt) s(t0 )
பைடு நூலகம்
0
y x
x
例5
讨
论
函
数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解
sin 1 是有界函数, lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f (x)在x 0处连续.
x0
但在x
0处有
y x
(0
x)sin 1 0 x
x
Δy lim Δx0 Δx
lim Δx0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
当极限不存在时，则称函数 y f(x) 在点 x0 处不可导.
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率， 它反映了因变量随自变量变化而变化的 快慢程度.
★ 如果函数 y f (x)在开区间I 内的每点处
都可导，就称函数f (x)在开区间I 内可导.
归纳能力；
（2）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知探求未
知、从特殊到一般的数学思想方法.
3.情态与价值：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生
掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习的兴趣.
《《
三、重点与难点
重点：导数概念的形成，导数内涵
的理解，通过问题一与问题二突出重点.
难点：在平均变化率的基础上去探求 瞬时变化率，理解导数内涵，会运用导数 的定义式求一些函数在某一点处的导数，
t 0
x
t0 x
f (1) lim f (1 x) f (1) lim (1 x)2 1 lim 2x (x)2 2
t 0
x
t0 x
t0 x
f (x) lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2 lim 2xx (x)2 2x
t 0
x
t 0
x
t 0
x
例2 讨论函数f (x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1,
h0
h
h h0
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1
h0
h
h h0
即 f(0) f(0),
函数y f (x)在x 0点不可导.
2.求导举例
步骤: (1)求增量 y f ( x x) f ( x);
(2)算比值 y f ( x x) f ( x) ;
(3)求极限
x y lim
y
x .
x0 x
例1 设 f (x) x2,求f (0, ) f (1), f (x).
解：由导数的定义
f (0) lim f (x) f (0) lim (x)2 0
★ 对于任一x I ，都对应着f (x)的一个确定的
导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的导函数.
记作 y, f (x), dy 或 df (x) . dx dx
即
y lim f (x x) f (x)
x0
x
或
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
注意: 1. f (x0 ) f (x) . xx0
3.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解， 有利于在大学阶段的学习.
通过以上的学习方法，展示了一个完整的数学探
究过程：提出问题、解决问题、发现规律、给出定义，
让学生经历了知识再发现的过程，促进个性化
学习.
《《
板书设计
第一节导数的概念
一、引例
例1
问题一 问题二 二、导数的定义
例2 例3 三、导数的几何意义
切线问题，因此本节课在教学中力图向学生传授逼 近思想.
《《
二、教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知水平， 制定如下教学目标：
1.知识与技能目标：通过实例分析，经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知
道瞬时变化率就是导数.
2.过程与方法： （1）通过生活中的实例，培养学生观察、分析、比较和
x x0
x x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
1.导数的定义：
设函数 y f (x)在点 x0 的某邻域内有定义，且当自变量 x 在 x0
处取得增量 x 时，函数相应的增量为 y f (x0 x) f (x0 ).
解 由于此函数在x 0处三的左、右表达式不同，
所以，可以先考虑左、右导数：
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x lim
x0 x
1
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x x
1
因此有
，
f(0) f(0)
则
f (x)在x 0处的导数存在，且f (0) 1
通过讲例题、做练习突破难点.
《《
四、教法与学法
（一）教法 本节课充分体现“一切为了学生发展”的教学原则，
着重采用师生互动、共同探索；教师引导、循序渐进 的教学方法. （二）学法
（1）合作学习：引导学生分组讨论、合作交流， 共同探讨问题；
（2）自主学习：引导学生通过亲生经历、动口动脑、 动手参与教学活动；
定义1：
例4
例题讲解：
四、可导与连续的关系 例5
作业： p9 7 1.(3) 2. 6.
谢谢指导！
导数的概念
说课大纲
一、教材分析 二、教学目标 三、教学重难点 四、教法和学法 五、教学设想 六、评价分析 七、板书设计
一、教材分析
导数所研究的是函数随自变量变化的快慢问题，它 来源于许多实际问题中的变化率，俗称变化率问题，它
描述了非匀速变化的现象在某瞬间的变化快慢.导数的 概念是高等数学（工专）教材中第三章第一节的内容.
例4 求等边双曲线y 1 在点(1 ,2)处的切线的斜率,
x
2
并 写 出 在 该 点 处 的 切 线方 程 和 法 线 方 程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k
y
x
1
(
1 x
)
2
x1 2
1 x2
x 1 4. 2
所求切线方程为
y
2
4(
x
1 ), 2
即
4x
y
4
0.
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
p 8.作业 9 7 1 .(3) 2 . 6 .
《《
六、评价分析
这节课由开始的两个不同问题：问题一，由
平均速度到瞬时速度再到求一个极限式；问题二，
由曲线的切线问题到切线的的斜率再到求一个极限式，
最后给出导数的定义，这样定义导数的优点：
1.避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；
2.将更多精力放在导数本质的理解上；
定理 1 函数 f ( x)在点 x0 处可导 左导数 f( x0 )和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果f (x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及f(b)都存在,
则称f (x)在闭区间[a,b]上可导.
例3
设函数f
(x)
sinx, x,
x 0,讨论f (x)在x 0处的可导性. x 0,
若当x 0时，极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称函数 y f(x) 在点 x0 处可导，并称此极限为函数 y f (x)
在点
x0 处的导数，记为
f
(x0 ),
y
x x0
,
dy dx
x x0
或者df (x) dx
x x0
,
即
f (x0 )
y y x
o
x
3. 单侧导数
（1）左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f ( x0 ) x0
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 ) ;
（2）右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f ( x0 ) x0
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) ;
42
5.函数的可导性与连续性的关系
定理2 若函数 f (x) 在点 x0处可导，则 f (x) 必在 x0处连续.
证 设函数f (x)在点x0处可导
y lim x0 x
f
(x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x0
y
lim [
x0
f
(
x0
)x
x]
t0
t
t
Δt0 Δt Δt0
Δt
问题二：曲线的切线问题
y
如图，如果割线MN绕点M旋转 而趋向极限位置MT,直线MT就称为 曲线C在点M处的切线.
y f (x)
N
极限位置即
MN 0, NMT 0.
CM
设M ( x0 , y0 ), N ( x,
割线MN的斜率为
y). tan
y
y0
o
x0
f (x) f (x0 ) ,
在此之前，学生已学习了极限与连续，并且在物理学中 学过平均速度与瞬时速度的求法，以及平均变化率，本 节课阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系以及切线斜 率的求法，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地
研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础.
教材从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方 法定义导数，是通过下面两个问题引出导数的定义：问 题一、自由落体运动的瞬时速度问题；问题二、曲线的
0
函数 f (x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
1.函数 f (x)连续 ,若 f(x0 ) f(x0 )则称点x0 为函数 f (x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如,
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
在 x 0处不可导, x 0为 f (x)的角点.
0
sin 1 x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在. x
f ( x) 在x=0处不可导
6.练习：课后习题9P6 1.(1、 )(2) 3，5.
7.总结
本节课首先从两个问题出发，引出了导数的 定义，我们要理解导数的内涵及它的几何意义： 在某点处的切线斜率存在，另外，我们要注意 一个函数在某点处可导的充要条件是左、右导 数都存在且相等，这个定理适用于判断分段函 数在间断点处的可导性.
4.导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y f(x) y 在 点M( x0 , f ( x0 ))处 的 切 线
的斜率
即
f ( x0 ) tanα(α为倾角)
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f ( x0 )
x0 ).
《《
五、教学设想
创设情景，引入新课
问题一：自由落体运动中瞬时速度问题
如图，求 t0时刻的瞬时速度.取一邻近于t0 的时刻t
运动时间 t, 平均速度 v Δs s(t0 Δt) s(t0 )
Δt
Δt
当
t
t
时，取极限得瞬时速度
0
v lim Δs lim s(t0 Δt) s(t0 )
பைடு நூலகம்
0
y x
x
例5
讨
论
函
数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解
sin 1 是有界函数, lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f (x)在x 0处连续.
x0
但在x
0处有
y x
(0
x)sin 1 0 x
x
Δy lim Δx0 Δx
lim Δx0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
当极限不存在时，则称函数 y f(x) 在点 x0 处不可导.
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率， 它反映了因变量随自变量变化而变化的 快慢程度.
★ 如果函数 y f (x)在开区间I 内的每点处
都可导，就称函数f (x)在开区间I 内可导.
归纳能力；
（2）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知探求未
知、从特殊到一般的数学思想方法.
3.情态与价值：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生
掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习的兴趣.
《《
三、重点与难点
重点：导数概念的形成，导数内涵
的理解，通过问题一与问题二突出重点.
难点：在平均变化率的基础上去探求 瞬时变化率，理解导数内涵，会运用导数 的定义式求一些函数在某一点处的导数，
t 0
x
t0 x
f (1) lim f (1 x) f (1) lim (1 x)2 1 lim 2x (x)2 2
t 0
x
t0 x
t0 x
f (x) lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2 lim 2xx (x)2 2x
t 0
x
t 0
x
t 0
x
例2 讨论函数f (x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1,
h0
h
h h0
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1
h0
h
h h0
即 f(0) f(0),
函数y f (x)在x 0点不可导.
2.求导举例
步骤: (1)求增量 y f ( x x) f ( x);
(2)算比值 y f ( x x) f ( x) ;
(3)求极限
x y lim
y
x .
x0 x
例1 设 f (x) x2,求f (0, ) f (1), f (x).
解：由导数的定义
f (0) lim f (x) f (0) lim (x)2 0
★ 对于任一x I ，都对应着f (x)的一个确定的
导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的导函数.
记作 y, f (x), dy 或 df (x) . dx dx
即
y lim f (x x) f (x)
x0
x
或
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
注意: 1. f (x0 ) f (x) . xx0
3.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解， 有利于在大学阶段的学习.
通过以上的学习方法，展示了一个完整的数学探
究过程：提出问题、解决问题、发现规律、给出定义，
让学生经历了知识再发现的过程，促进个性化
学习.
《《
板书设计
第一节导数的概念
一、引例
例1
问题一 问题二 二、导数的定义
例2 例3 三、导数的几何意义
切线问题，因此本节课在教学中力图向学生传授逼 近思想.
《《
二、教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知水平， 制定如下教学目标：
1.知识与技能目标：通过实例分析，经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知
道瞬时变化率就是导数.
2.过程与方法： （1）通过生活中的实例，培养学生观察、分析、比较和
x x0
x x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
1.导数的定义：
设函数 y f (x)在点 x0 的某邻域内有定义，且当自变量 x 在 x0
处取得增量 x 时，函数相应的增量为 y f (x0 x) f (x0 ).
解 由于此函数在x 0处三的左、右表达式不同，
所以，可以先考虑左、右导数：
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x lim
x0 x
1
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x x
1
因此有
，
f(0) f(0)
则
f (x)在x 0处的导数存在，且f (0) 1
通过讲例题、做练习突破难点.
《《
四、教法与学法
（一）教法 本节课充分体现“一切为了学生发展”的教学原则，
着重采用师生互动、共同探索；教师引导、循序渐进 的教学方法. （二）学法
（1）合作学习：引导学生分组讨论、合作交流， 共同探讨问题；
（2）自主学习：引导学生通过亲生经历、动口动脑、 动手参与教学活动；
定义1：
例4
例题讲解：
四、可导与连续的关系 例5
作业： p9 7 1.(3) 2. 6.
谢谢指导！
导数的概念
说课大纲
一、教材分析 二、教学目标 三、教学重难点 四、教法和学法 五、教学设想 六、评价分析 七、板书设计
一、教材分析
导数所研究的是函数随自变量变化的快慢问题，它 来源于许多实际问题中的变化率，俗称变化率问题，它
描述了非匀速变化的现象在某瞬间的变化快慢.导数的 概念是高等数学（工专）教材中第三章第一节的内容.
例4 求等边双曲线y 1 在点(1 ,2)处的切线的斜率,
x
2
并 写 出 在 该 点 处 的 切 线方 程 和 法 线 方 程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k
y
x
1
(
1 x
)
2
x1 2
1 x2
x 1 4. 2
所求切线方程为
y
2
4(
x
1 ), 2
即
4x
y
4
0.
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
p 8.作业 9 7 1 .(3) 2 . 6 .
《《
六、评价分析
这节课由开始的两个不同问题：问题一，由
平均速度到瞬时速度再到求一个极限式；问题二，
由曲线的切线问题到切线的的斜率再到求一个极限式，
最后给出导数的定义，这样定义导数的优点：
1.避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；
2.将更多精力放在导数本质的理解上；
定理 1 函数 f ( x)在点 x0 处可导 左导数 f( x0 )和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果f (x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及f(b)都存在,
则称f (x)在闭区间[a,b]上可导.
例3
设函数f
(x)
sinx, x,
x 0,讨论f (x)在x 0处的可导性. x 0,
若当x 0时，极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称函数 y f(x) 在点 x0 处可导，并称此极限为函数 y f (x)
在点
x0 处的导数，记为
f
(x0 ),
y
x x0
,
dy dx
x x0
或者df (x) dx
x x0
,
即
f (x0 )
y y x
o
x
3. 单侧导数
（1）左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f ( x0 ) x0
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 ) ;
（2）右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f ( x0 ) x0
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) ;
42
5.函数的可导性与连续性的关系
定理2 若函数 f (x) 在点 x0处可导，则 f (x) 必在 x0处连续.
证 设函数f (x)在点x0处可导
y lim x0 x
f
(x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x0
y
lim [
x0
f
(
x0
)x
x]
t0
t
t
Δt0 Δt Δt0
Δt
问题二：曲线的切线问题
y
如图，如果割线MN绕点M旋转 而趋向极限位置MT,直线MT就称为 曲线C在点M处的切线.
y f (x)
N
极限位置即
MN 0, NMT 0.
CM
设M ( x0 , y0 ), N ( x,
割线MN的斜率为
y). tan
y
y0
o
x0
f (x) f (x0 ) ,
在此之前，学生已学习了极限与连续，并且在物理学中 学过平均速度与瞬时速度的求法，以及平均变化率，本 节课阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系以及切线斜 率的求法，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地
研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础.
教材从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方 法定义导数，是通过下面两个问题引出导数的定义：问 题一、自由落体运动的瞬时速度问题；问题二、曲线的
0
函数 f (x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
1.函数 f (x)连续 ,若 f(x0 ) f(x0 )则称点x0 为函数 f (x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如,
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
在 x 0处不可导, x 0为 f (x)的角点.
0
sin 1 x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在. x
f ( x) 在x=0处不可导
6.练习：课后习题9P6 1.(1、 )(2) 3，5.
7.总结
本节课首先从两个问题出发，引出了导数的 定义，我们要理解导数的内涵及它的几何意义： 在某点处的切线斜率存在，另外，我们要注意 一个函数在某点处可导的充要条件是左、右导 数都存在且相等，这个定理适用于判断分段函 数在间断点处的可导性.
4.导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y f(x) y 在 点M( x0 , f ( x0 ))处 的 切 线
的斜率
即
f ( x0 ) tanα(α为倾角)
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f ( x0 )
x0 ).